分析法与综合法

1、分析法与综合法1、 分析法与综合法的定义1、 定义 所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法分析法的思维全貌可概括为下面形式：“结论需知需知已知”所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知可知可知结论”二 、例题赏析 例1、已知：，且，求证：证明一：（分析法）要证，即证，因为，故只需证，即证，即证，因为，所以成立，所以成立证明二：（综合法）由，知，即，则又，则，即实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是

2、比较少的问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径上面所言的思维模式可概括为如下图所示：综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它

3、对于培养思维的严谨性极为有用把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法下面举一具体例子加以说明：例2、若是不全相等的正数，求证：证明：要证只需证，只需证但是，且上述三式中的等号不全成立，所以因此注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法例3、例1 如图1，在四面体中，求证：平面平面 分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面内作，则平面，所以即为我们所要寻找的直线要证明平面，除了已知的之外，还需要在平面内找一条直线与垂直，

4、哪一条呢？假设已知知道平面，则与平面内的任意直线均垂直，即必有，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？连结呢？假设已经知道平面，则必有通过计算可得到，原题得证证明：设的中点为，连结，因为，所以；设，因为，所以，所以，即，又已知，所以平面，又平面，所以平面平面例4、如图，在长方体中，证明：平面平面 分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有均与平面平行，选择任意两条均可，不妨选择要想证明与平面平行，需在平面内寻找两条直线分别与平行，假设与平面平行已知，则根据线面平行的性质定理，过的平面与平面相交所

5、得的交线与平行；过的平面与平面相交所得的交线与平行即为所要寻找的直线从而易知分别与平行，原题得证证明：因为为长方体，所以有，即四边形为平行四边形，从而有，又已知平面平面，进而有平面；同理有，从而有平面；又已知，所以有平面平面从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.例4、 设A、B、C是双曲线xy=1上的三点，求证：ABC的垂心H必在此双曲线上分析：如图11，设H的坐标为(x0，y0)，要证H在此双曲线上，即证x0y0=1而H是两条高A

6、H与BH的交点，因此需求直线AH、BH的方程，进而从所得方程组中设法推出x0y0=1证明:如图11，由已知可设A、B、C的坐标分别为设点H的坐标为(x0，y0)，则 由式左乘式右及式右乘式左，得化简可得x0y0(-)=- ，x0y0=1故H点必在双曲线xy=1上解说:本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1这为综合法证明此题指明了目标在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子与相乘，巧妙地消去参数、，得到x0y0=1从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度练习：1、设的最小值是 （ ） A B C3 D2、在中，则一定是（）锐角三角形直角三角形钝角三角形不确定3观察式子：，则可归纳出式子为（）4、已知实数，且函数有最小值，则=_。5、已知是不相等的正数，则的大小关系是_。6、若正整数满足，则7、a,b,cR+，求证：(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3256a2