中值定理与导数的应用21456

1、第三章 中值定理与导数的应用第一节微分中值定理导数的应用是微分学的重点内容和最终目的，可以说，前几章的内容都围绕着这部分内容展开的，为了将导数的概念和计算方法等知识更好地应用到具体问题中，我们必须建立二者相互联系的桥梁和纽带，它们就是微分中值定理一、 罗尔定理罗尔定理如果函数在上连续，在内可导，且在区间端点的函数值相等即，那么在开区间内至少存在一点，使得图3-1首先，我们来分析一下定理的几何意义，函数在上连续、在内可导说明了函数的图形是一条连续的曲线（设为），并且除端点外处处具有不垂直于轴的切线，表明函数在端点处的函数值相等定理的结论表示：在连续曲线弧上至少有一点，该点处曲线的切线是水平的（如

2、图3-1）证因函数在上连续，由连续函数的最大值和最小值定理知，函数在上必有最大值和最小值，这样有两种可能：（1）如果，因为，所以在闭区间上必恒等于常数，其导数在该区间内也为零，即任取内每一点作为，都有（2）如果，因为，则和至少有一个不在端点处取得，不妨设（如设证法类似），那么在内至少存在一点使下面我们来证明在点处的导数等于零，即因为，根据假设可知存在，即极限存在，而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此，由于是在的最大值，因此不论还是，只要在上，总有，即当时，有，从而，根据函数极限的性质有，同理，当时，有，相应地有因此必然有例1不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在区间解显然，

3、在区间、上满足罗尔定理的条件，所以至少存在点和使得，即方程至少有两个实根，又因为是一个一元二次方程，最多有两个实根，所以方程有两个实根，且分别在和内二、 拉格朗日中值定理罗尔定理中的条件是比较特殊的，一般的函数很难满足这个条件，这样就大大限制了罗尔定理的应用范围，如果取消这个条件而保持定理另外的两个条件不变，那么结论就要做相应的改变，从而就得到了微分学中的另外一个重要定理，即拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数在上连续，在内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得（1）图3-2或成立我们也来分析一下定理的几何意义，根据图3-2，函数在上连续、在内可导，说明函数的图形是一条连续的曲线（设为），

4、并且除端点外处处具有不垂直于轴的切线，而结论中的表示弦的斜率，而为曲线在点处的切线的斜率，因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么在弧上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦在上述定理中，若我们令（弦平行于轴），此时有，这说明在弧上至少有一点，该点处的切线平行于轴，实际上也平行于弦，这就是罗尔定理的结论，由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广从上述两个定理的关系自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理，但在拉格朗日中值定理中，函数不一定具备这个条件，为此我们构造一个与有密切关系且满足罗尔定理条件的函数

5、，然后对函数应用罗尔定理，再把得到的结论转化到上，证得所要的结果从图3-2中看出，有向线段的值是的函数，把它设为，且有，为求得函数的表达式，设直线的方程为，则，由于点、的纵坐标分别为及，故表示有向线段的值的函数为下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理证引进辅助函数，显然函数满足罗尔定理的条件：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且，根据罗尔定理可知，在内至少存在一点，使，即，由此得，即定理证毕显然，公式（1）对于仍然成立，（1）叫做拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式有时也可写成另外的形式，如取为内的一点，为内的另外一点（或），则公式（1）在区间（当时）或（当时）上就成为（2）这里数值介于与之

6、间，所以就介于和之间，的存在是肯定的，一般它的准确值是不知道的，但这并不影响公式（2）的应用如果记为，则（2）可写成（3）我们知道，函数的微分是函数增量的近似表达式，一般说来，以代替时所产生的误差只有当时才趋于零，而（3）式表示在为有限时增量的准确表达式，因此这个定理也叫做有限增量定理它在微分学中占有重要地位，有时也叫做微分中值定理它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在此区间内某点处的导数之间的关系，在某些问题中当自变量取得有限增量而需要函数增量的准确表达式时，拉格朗日中值定理就显示出了它的价值拉格朗日中值定理有如下两个重要推论，今后在积分学中要常用到推论1设函数在闭区间上连续，在开区间

7、内可导且导数恒为零，则在上有（为常数）证在上任取两点、，并设，应用式（1）可得，由已知条件，故，即因为、是区间上的任意两点，所以上式表明：在区间上的函数值总是相等的，即推论2如果函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，则在上与最多只相差一个常数证设，则在闭区间上连续，在开区间内可导且，由推论1可知，在上，即例2证明当时，证设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有，由于，因此上式即为，又因为，故有，即例3证明恒等式（）证设，显然在内可导，且，因为内任一点，故由推论1知（常数）又，所以则当时，当时，原等式显然成立，证毕三、 柯西中值定理我们已经知道，如果连续曲线弧上除端点外处处具有

8、不垂直于轴的切线，那么这段弧上至少存在一点，使曲线在点处的切线平行于弦，设弧由参数方程，表示（如图3-3），其中为参数，那么曲线上点处的切线的斜率为，弦的斜率为，假定点对应于参数，那么曲线上点处的切线平行于弦，可表示为相应地，有如下定理：柯西中值定理如果函数及在上连续，在内可导，且在内的每一点处均不为零，那么在内至少存在一点，使等式（4）成立显然，如果取，那么，公式（4）就可以写成：这正是拉格朗日中值定理，因此，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，或者说，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广第二节洛必达法则如果当时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在也可能不存在，通常

9、把这种极限叫做未定式，并分别简记为或，例如就是型未定式对于这两种类型的未定式，它们的极限值可能存在，也可能不存在，并且即使它们的极限存在，也因为分母的极限为零或无穷大，导致我们不能直接利用商的极限运算法则来求，所以我们必须寻找一种适合它们自身特性的求极限方法定理1如果（1），；（2）在点的某去心邻域内（或），及都存在且；（3）存在（或为无穷大）；那么有 （为有限或无穷大）证（1）当时，由条件（1）可知，函数和在点处或连续或间断，如果在点处间断，那么是其可去间断点（因为在处的左右极限存在且相等），所以可设设为邻近的任一点，当时，对和在上应用柯西中值定理得，当时，于是，当时，对和在区间上应用柯西中

10、值定理，可得同样结果（2）当时，设，当，由（1）已证，定理证毕此定理适用于型的未定式该定理说明，当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，为无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法叫做洛必达法则如果仍为型，且此时、仍能满足定理的条件，则可以继续重复使用洛必达法则例1求 解此题属型，符合洛必达法则的条件，则有例2求 解此题属型，符合洛必达法则的条件，则有定理2如果（1），；（2）在点的某去心邻域内（或），及都存在且；（3）存在（或为无穷大）；那么（为有限或无穷大）该定理证明从略，它适用于型的未定式例3求 解此题属型，应用洛必达法则有例4求 解此题属型，应用洛必达法则

11、有例5求 （为正整数，）解连续使用洛必达法则次，得未定式除了上面讨论的两种类型外，还有许多种，如等等，求这些未定式时，我们可以通过适当的变形将之化成或型，然后再利用洛必达法则例6求 解此未定式为型，因为，当时，上式右端是未定式，应用洛必达法则，得例7求 解此未定式为型，应用洛必达法则，有从以上例子，我们可以看出，洛必达法则确实是求未定式的一种有效的方法，但未定式种类很多，只使用一种方法并不一定能完全奏效，最好与其他求极限的方法结合起来使用，例如能化简时应尽可能化简，可利用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可使运算过程简化例8求 解显然，直接利用洛必达法则，在对分母求导时比较麻烦，这

12、时如果作一个等价无穷小替代，那么运算就方便得多，其运算如下：最后，我们指出，本节定理给出的是求未定式的一种方法，当定理条件满足时，所求的极限当然存在（或无穷大），但当定理条件不满足时，所求极限却未必不存在，即当不存在时，有可能存在如对的分子分母分别求导后得，而此时不存在，但第三节泰勒（Taylor）公式在工程问题中，经常会遇到一些较复杂的函数，为了便于计算或研究，我们常常将它们简化，用其近似的形式来表达它们由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值，因此用多项式来近似表达函数是一种很好的思想其实，在前面学习的过程中，我们就不知不觉地用多项式来对函数

13、值作近似计算了，如当与很接近时有，此公式就说明，要求函数在某点的函数值，可用关于的一次多项式来近似计算，显然这种近似计算还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估计出误差的大小，因此对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就不能用关于的一次多项式来简单近似计算，那么能否用关于的高次多项式来作近似计算呢？如果能，需要具备怎样的条件且是否能解决上述问题呢？答案是肯定的，下面的泰勒中值定理就很好地回答了这些问题泰勒中值定理如果函数在包含的某个开区间内具有直到（）阶导数，为该区间内的任一点，则可以表示为其中，（介于和之间）（证明从略）该

14、公式叫做在点处的阶泰勒公式，称为拉格朗日型余项当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：（介于和之间）因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果设那么当我们用近似代替时，其误差为，如果对于某个固定的，当在开区间内变动时，总不超过一个常数，则有估计式及由此可见，当时，是比更高阶的无穷小，即这样我们提出的问题完满地得到解决在泰勒公式中，如果取，则在与之间，令（），那么泰勒公式变为，此时（介于和之间）是比更高阶的无穷小，此公式叫做的阶麦克劳林公式（证明从略）由此可得另一个较常用的近似公式：例1将多项式按的幂进行展开解即求在点处的泰勒展开式，因为，所以其泰勒展开式为例2写出的阶麦克劳林公式解因为；所以显

15、然，对于任何有限值，从而有近似公式，当时，其余项当时，可算出，其误差不超过例3求的阶麦克劳林公式解因为，所以，其中 如果，则得近似公式 此时误差为 如果分别取和，则可得的3次和5次近似多项式为和，其误差的绝对值不超过和用类似的方法还可得到某些函数的麦克劳林公式：（1）；（2）第四节函数单调性的判定在第一章里，我们已经介绍过函数在区间上单调的概念，但直接利用定义来证明函数在某区间内是单调增加还是单调减少，对于稍微复杂的函数来说是很困难的，本节利用导数来对函数的单调性进行研究如果函数在区间上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线（如图3-4、图3-5），这时，曲线上各点

16、处的切线的斜率是非负的（是非正的），即图3-4图3-5由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系，那么我们能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们给出利用导数的符号来判断函数单调性的方法函数单调性的判定方法设函数在闭区间上连续，在开区间内可导（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少证在内任取两点、，并设，应用拉格朗日中值定理，得，（1）由条件，而，所以，在上单调增加（2）由条件，而，所以，在上单调减少如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立例1判定函数在上的单调性解因为在内，所以函数在上单调增加例2讨论函数的单调性

17、解，函数的定义域为，因为在，所以函数在上单调减少，因为在内，所以函数在上单调增加例3讨论函数的单调性解函数的定义域为图3-6当时，当时，不存在，导数不存在的点把分成二个部分区间及当时，从而函数在上单调减少；当时，从而函数在上单调增加（如图3-6）如果函数在定义区间内连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程的根及不存在的点来划分函数的定义区间，就能保证在各个部分区间内保持固定符号，因而函数在每个部分区间上单调例4利用函数的单调性，证明不等式（）证设，则有函数在内连续，且在开区间，因此在上函数单调增加，从而当时，而所以有，即第五节函数的极值及其求法函数的极值点描述了函数局部范

18、围内的变化情况，是揭示函数性态的关键点之一，在应用上具有重要意义，本节将对其作一般性的讨论定义设函数在区间内有定义，是内的一点，如果存在着点的某一个去心邻域，对于该邻域内的任何点，都有（1）成立，则称为函数的一个极大值图3-7（2）成立，则称为函数的一个极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点显然，函数极值的概念是局部性的，如果是函数的一个极大值（或极小值），那么仅就的两侧邻近的一个局部范围来说，是函数的最大值（或最小值），但就的整个定义域来说，未必是最大值（或最小值）在图3-7中，函数有两个极大值：和；有三个极小值：、和，其中，极大值比极小值还小，函数就整个区

19、间来说，只有一个极小值同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值 为了掌握求函数极值的方法，我们先讨论函数取得极值的必要条件定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在点处取得极值，那么函数在点处的导数为零，即证不妨设为的一个极大值（极小值的情形类似）根据极大值的定义，在点的某个去心邻域内，对任意点有成立，于是当时，因此；当时，因此；从而有使函数导数等于零的点叫做函数的驻点定理表明：可导函数的极值点必定是它的驻点但反过来，却不一定是极值点注1 是点为极值点的必要条件，但不是充分条件，例如，因此不是函数的极值点注2对于导数不存在的点，函数也可能取得极值，例如函数，不存在，但在处也取得极小值注3由定理1

20、，若点既不是函数的驻点又不是导数不存在的点，则一定不是函数的极值点由注1和注2知，函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点，但是驻点和导数不存在的点不一定是函数的极值点，如果仅按定义对其进行判断是比较麻烦的，因此我们必须找到一种更合适的判定方法，下面的定理2就给我们提供了一种很好的判定方法定理2（第一充分条件）设函数在点的某个邻域内可导且，为该邻域内任意一点（1）如果当在的左侧邻近取值时，有，当在的右侧邻近取值时，有，则在点处取得极大值（2）如果当在的左侧邻近取值时，有，当在的右侧邻近取值时，有，则在点处取得极小值（3）如果当取的左右两侧邻近的值时，恒为正或恒为负，则在点处没有极值证就情形（

21、1）来说，根据函数单调性的判定法，因为在的左侧邻近取值时，有，说明在点左侧邻近处，函数单调增加；当在的右侧邻近取值时，有，说明在点右侧邻近处，函数单调减少，所以函数在点处取得极大值（如图3-8（a）类似地可论证情形（2）及情形（3）（图3-8（b）、（c）、（d）（a） （b） （c） （d）图3-8根据上面的两个定理，如果函数在所讨论的区间内各点处都具有导数，我们就可以按下列步骤来求的极值点和极值：（1）求出导数；（2）求出的全部驻点（即求出方程在所讨论的区间的全部实根）；（3）考察的符号在每个驻点的左、右邻近的情形，以便确定该驻点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理确定对应的函数值是极大

22、值还是极小值；（4）求出各极值点处的函数值，就得函数的全部极值例1求函数的极值解（1）；（2）令，得驻点，它们为的可能极值点；（3）讨论由左到右经过时的符号：因为的定义域为，那么将定义区间划分为三部分：、和当时，函数单调增加；当时，函数单调减少；当时，函数单调增加；所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，将上述结果列成下表：01+00+极大值极小值（4）则函数在处取得极大值，在处取得极小值当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可利用下列定理来判定在驻点处取得极大值还是极小值定理3（第二充分条件）设函数在点处具有二阶导数且，那么（1）当时，函数在点处取得极大值（2）当时，函数在点处取得极小值

23、证（1）由于，按二阶导数的定义有，根据函数极限的局部保号性，当在的足够小的去心邻域内时，有，因为，所以，因此，当即时，；当即时，于是根据定理2知，在点处取得极大值类似地可证（2），定理证毕例2求函数的极值解（1）；（2）令，求得驻点；（3）；（4）因，在处取得极小值，极小值为；（5）因，用定理3无法判别，考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号：当取-1左侧邻近的值时，；当取-1右侧邻近的值时，；因此在处没有极值同理在处也没有极值第六节函数的最大值与最小值在工程技术及科学实验中，我们常常需要解决在一定条件下，怎样才能使用料最省、成本最低、产品最多及效率最高等问题，这些问题在数学上有时可归结为求某一函

24、数（常称为目标函数）的最大值或最小值的问题下面我们就来研究一下函数的最大值或最小值的求法如果函数在闭区间上连续，那么我们可有如下结论：第一，由闭区间上连续函数的性质，可知在上的最大值和最小值一定存在第二，当在开区间内可导且至多在有限个点处的导数为零时，若函数在内的点处取得最大值（或最小值），那么一定也是的极大值（或极小值），一定是函数的驻点（即），但若函数在内有导数不存在的点时，它的最值也可能在导数不存在的点处取得，另外区间的端点也可能是函数的最大值（或最小值）点，故可用如下方法求在上的最大值和最小值设函数在内的驻点或导数不存在的点为，则比较的大小，其中最大的便是函数在上的最大值，最小的便是函

25、数在上的最小值特别地，函数在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个极值点，那么当是极大值时，就是在该区间上的最大值（如图3-9（a）；当是极小值时，就是在该区间上的最小值（如图3-9（b）（a） （b）图3-9例1求函数的最大值、最小值解，解方程，得到，由于所以在处取得最小值，在处取得最大值例2铁路线上段的距离为100km，工厂距处为20km，垂直于（如图3-10），为了运输需要，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？解设（km）那么，由于铁路上每公里货运的运费与公路上每公

26、里货运的运费之比为3:5，因此我们不图3-10妨设铁路与公路上每公里货运的运费分别为和（为某个正数），设从点到点需要的总运费为，那么，即，现在，问题就归结为：在内取何值时目标函数的值最小因为，令，得（km）由于，其中以为最小，因此当km时，总运费为最省例3已知某地的水稻产量（单位：公斤亩）与施氮肥量（单位：公斤亩）有如下函数关系，每公斤稻谷售价为1.33元，氮肥每公斤售价为6.02元，求：（1）当每亩施用多少氮肥时，可使水稻产量最高？（2）当每亩施用多少氮肥时，可获利润最大？解（1）水稻产量为，则令时，公斤故当每亩施氮肥3.1公斤时，水稻产量最高，最高产量公斤亩（2）设为每亩所获利润，依题意有

27、令，则（公斤亩）故当每亩施肥2.67公斤时，获最大利润为元第七节曲线的凹凸与拐点要想准确完整地描述函数的性态，仅仅知道函数的单调性与极值还是不够的，如函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的图形都是单调增加的，但曲线 SKIPIF 1 < 0 是向上凹的， SKIPIF 1 < 0 是向上凸的，它们的凹凸性不同，图形有显著的差别，所以我们必须研究曲线的凹凸性及其判别法从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点弧段的上方（如图3-11（a），而有的曲线弧则正好相反（如图3-11

28、（b），曲线的这种性质就是曲线的凹凸性，因此我们可利用连接曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述下面给出曲线凹凸性的定义（a）（b）图3-11定义设在区间上连续，如果对上任意两点、，恒有，那么称在上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有，那么称在上的图形是（向上）凸的（或凸弧）如果函数在内具有二阶导数，那么可以用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，于是我们有下面的曲线凹凸性的判定定理，我们仅就是闭区间的情形来叙述定理，当不是闭区间时，定理类同定理1设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的

29、； 当然，有时函数在定义区间内的凹凸性不是固定不变的，可能在某些点的左右两侧曲线的凹凸性不同，一般地，连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点例1判断的凹凸性解的定义域为及，当时，曲线是凸的；当时，曲线是凹的例2求函数的拐点解因为，所以当时，曲线是凹的；当时，曲线是凸的，显然，在的左右两侧曲线的凹凸性不同，因此它是函数的拐点对于在定义区间内存在二阶导数的函数来说，函数曲线在拐点的左右两侧的凹凸性发生变化，根据凹凸性与二阶导数的关系，能否用二阶导数的符号来判别某点是否为拐点呢？我们有如下定理定理2如果函数在点的某邻域内二阶导数存在，且，在的左右两侧，的符号相反，则点为曲线的拐点对于二阶可导函数来说，由定理2可知，的点有可能是曲线的拐点，但如果函数在某点的二阶导数不存在，且在该点的左右两侧的符号相反，这样的点也是曲线的拐点，因此我们可按如下步骤来求曲线的拐点：（1）求；（2）求方程的实根和使不存在的点，不妨设为；（3