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1、上海海事大学2012-2013学年第 2 学期研究生 数值分析 课程考试试卷A（答案）学生姓名： 学号： 专业：一 填空题（每小格2分共28分）1. 利用Seidel迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是；当系数矩阵A满足 严格对角占优 时，Seidel迭代法收敛 。 x 0 1 2. 已知函数有数据 f 1 9 则其线性Lagrange插值多项式为 插值余项为 3. 求解常微分方程初值问题 的Euler二步法公式为， 它是2 阶方法。4. 设则差商 3 05. 5个节点的Newton-Cotes数值求积公式的代数精度至少具有5 次，其最高代数精度为9 6. 对于非线性方程的Newton迭代法公式

2、为 ，它在方程根附近是 平方 阶收敛的方法。 7. 反幂法是求可逆矩阵按模最小 特征值和特征向量的计算方法QR法是计算 可逆矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法 8. 二求在上的一次最佳一致逼近多项式，并估计误差。 （已知） （7分） 解：上不变号，所以二端点为交错点组点。故：而 ，所以所以误差三 用代数精度确定求积公式的求积系数，并指出其具有的代数精度。（7分）已知，证明求积公式余项为：解： 具有二次代数精度。以作Hermite二次插值，得余项 四 设方程组系数矩阵可逆，其扰动方程组为证明 ： 当时，有 和 成立（6分） 解： 由得故又， 五设是关于互异节点的Lagrange插值基函数，试

3、证明： （7分）解：设的n+1阶导数存在，则有： 当时（）， 所以 六设方程组Ax=b有唯一解，其等价变形构造的迭代格式为，如矩阵谱半径，但B有一个特征值满足，求证：存在初始向量，使得迭代产生的序列收敛于。 （7分）证明： 由， 对于B的一个特征值满足，特征向量设为，故取初始向量，有，所以收敛于七在0，2上具有五阶连续导数，已知，试用基函数构造法求Hermite插值多项式，使其满足上列插值条件，并估计误差。（7分） 解：解：； 插值余项：， ，,由得 又=，八给定函数函数，对于一切，存在，且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。 （7分）解：，,单调，根存在条件下必唯一。迭代函数，

4、有条件，可得故： , 所以 所以九设，1. 证明：中矩形求积公式截断误差2. 又设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（9分）解：1. 令f(x)=1,x 等式成立。 ,所以是1阶代数精度因此：； 故： =2.又：分划a,b2n等分，得：，k=1,2,n，得复合公式：所以：=其中：有：十 初值问题的解为，是由Euler法得出的数值解 证明：整体误差 ,并说明其收敛性。 （7分）解：对任意固定值x0,取，所以，由Euler法=所以， 对任意固定点，的所以收敛。十一. 对于初值问题，试利用数值积分导出梯形公式，证明公式是具有是二阶精度的。对于梯形公式求常微分方程数值解时，当试验方程，为保证数值方法的绝对稳定性，确定其步长的限制

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