三角形四心的向量性质及其应用

1、三角形“四心”的向量性质及其应用东阳市中天高级中学数学组：蔡航英自从2003年高考(江苏卷)第5题向量考出彩后，在中学数学向量教学时，挖掘三角形“四心”向量性质及其应用，引起了广泛重视。与三角形的“四心”(重心、垂心、外心、内心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试卷中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，现将有关三角形“四心”向量性质及其应用罗列如下：一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知是不共线的三点，是内一点，若则是的重心证明：如图1所示，因为，所以 以，为邻边作平行四

2、边形，则有，所以又因为在平行四边形中，交于点，所以，所以是的边的中线故是的重心点评：解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法例1如图2所示，的重心为为坐标原点，试用表示解：设交于点，则是的中点，图2而点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键变式：已知分别为的边的中点则证明：如图的所示， 图3 变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则证明：，点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则（2）若与重合，则上式变为0 二、三

3、角形的外心的向量表示及应用命题二：已知是内一点，满足，则点为ABC的外心。例2 已知G、M分别为不等边ABC的重心与外心，点A，B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），且，（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线过点（0，1），并与曲线交于P、Q两点，且满足，求直线的方程。解 （1）设C（x,y），则G（）， 其中， 由于， 故，外心M（0，），得轨迹E的方程是 （2）略。三、三角形的垂心的向量表示及应用命题三：已知是内一点，满足，则点G为垂心。（2005全国文12）证明:由. 即则所以P为的垂心. 点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧

4、妙结合。变式：若H为ABC所在平面内一点，且则点H是ABC的垂心BCHA图6证明: 0即0同理，故H是ABC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四：O是内心的充要条件是变式1：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件是 变式2：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件也可以是。例4（2003江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足，则P的轨迹一定通过ABC的内心 。 PECOABD图7解： 如图由已知， ，设，D、E在射线AB和AC上。 AP是平行四边行的对角线。又 ， ADPE是菱形。点P在 即 的平分线上。故P点的轨迹一定通过ABC的内心。 五、三角形外心

5、与重心的向量关系及应用命题五：设ABC的外心为O，则点G为ABC重心的充要条件为：图8证明：如图8，设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。 反之，若，则由上面的证明可知：设D为BC的中点，则，从而，G在中线AD上且AG=AD，即G为重心。六、三角形外心与垂心的向量关系及应用命题六：设ABC的外心为O，则点H为ABC的垂心的充要条件是。证明：如图2，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，图9则 O为外心，OB=OC， 平行四边形OBDC为菱形 ODBC，而AHBC， AHOD，存在实数，使得 。同理，存在实数，使得 比较、可得， 反之，若，则， O为外心，OB=

6、OCAHCB，同理，BHAC。 H为垂心。例6、已知H是ABC的垂心，且AH=BC，试求A的度数解：设ABC的外接圆半径为R，点O是外心。 H是ABC的垂心 ，AH=BC， 而A为ABC的内角， 02A360° 从而2A=90°或270° A的度数为45°或135°。七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用命题七：ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=GH。图10证明：如图10，由命题五、六知，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。，O、G、H三点共线，且OG=GH。

7、例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三个顶点。试写出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线。（2002年全国）解：重心G为，设H点的坐标为 ，BC=(b-1，c)， ，故 H点的坐标为 设外心F的坐标为由|FO|=|FC|，得，所以F点的坐标为（，）。 从而可得出GH=（，），FH=（，） ，GHFH，F、G、H三点共线。 点评：向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的重要工具。它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突破。例8、已知P是非等边ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，P

8、A2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如图11，设外接圆半径为R，点O是外心，则图11PA2+PB2+PC2=（由命题六知：H为垂心，）当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R2+2R·OH当P为OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R22R·OH随着新课改的深入，向量成为高中新教材中新增加的重要内容之一, 近几年高考都将向量放在显著的位置。向量有着丰富的物理背景，它既是代数研究的对象，又是几何研究的对象，是集“数、形”于一身的数学概念。向量主要以平面几何、直角坐标系、三角函数等知识为基础。通过向量的学习，一方面将我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，另一