预备知识07 基本不等式（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题07预备知识七：基本不等式1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．如果，有（当且仅当时，取“”号）特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.知识点二：利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；知识点三：基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）知识点四：三个正数的基本不等式如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）对点特训一：对基本不等式的理解典型例题例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个不等式与成立的条件是相同的.()（2）当时，.()（3）当时，.()（4）函数的最小值是2.()【答案】错误正确正确错误【分析】根据基本不等式的概念和定义一一判定即可.【详解】对于（1），不等式成立的条件是；不等式成立的条件是，错误；对于（2），是基本不等式的变形公式，正确；对于（3），是基本不等式的变形公式，正确；对于（4），当时，是负数，错误；故答案为：（1）错误

（2）正确

（3）正确

（4）错误.例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是．①若，则；②若，则；③若，则.【答案】②【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可.【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当，即时，等号成立，因为，所以，故①错误；②因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故②正确；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件，当时，，故③错误．故答案为：②.精练1．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（

）A．不等式恒成立B．存在实数,使得不等式成立C．若,,则D．若,且,则【答案】BCD【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”判断ABC的正误,用“1”的代换判断D的正误.【详解】解:不等式只有在a,b都为非负数的时候才恒成立,故A错误;当时,,故B正确;若,则由基本不等式得,当且仅当即时,等号成立,故C正确;因为,,且,所以,所以当且仅当且时取等号,即时取等号;故D正确.故选:BCD.2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【分析】利用充分不必要判断即可【详解】当时，，当且仅当时，取等号，所以充分性成立，由，所以，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要对点特训二：利用基本不等式求最值角度1：和为定值求积的最值典型例题例题1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】直接由基本不等式即可求解.【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当.故选：B.例题2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】利用基本不等式直接求出最大值.【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为3.故选：D例题3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，则“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由均值不等式判断充分条件，再举出反例得到不是必要条件即可.【详解】因为，解得，所以是充分条件；当时满足，此时，所以不是必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：B精练1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据基本不等式直接计算即可.【详解】由题意得，，则，，即，当且仅当，即时等号成立.故选：C2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于，，，所以，故，当且仅当，即时等号成立，故选：B3．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为．【答案】【分析】由基本不等式求积的最大值.【详解】，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即的最大值为.故答案为：角度2：积为定值求和的最值典型例题例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：C例题2．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由题意知，所以，所以.当且仅当，即时，等号成立.故选：B.例题3．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是.【答案】【分析】借助基本不等式即可得.【详解】由，故，当且仅当时，等号成立.故答案为：.精练1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.则的最小值是.故选：D.2．（23-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值为（

）A．50 B．40 C．20 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】由，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为20．故选：C3．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值为.【答案】【分析】根据基本不等式进行求解即可.【详解】由已知，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.角度3：常数代换法典型例题例题1．（2024高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案.【分析】因为且，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2.故选：A.例题2．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9.故选：C例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（

）A． B．10 C．9 D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由可得，，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为9，故选:C.精练1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】B【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得.【详解】因，，故由，当且仅当时，等号成立.由解得：即当且仅当时，取最小值为4.故选：B.2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为【答案】1【分析】利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案.【详解】因为，且，所以，因为，当且仅当时，取到等号，所以，即的最小值为1.故答案为：13．（2024·全国·模拟预测）已知，若，则的最小值为.【答案】/【分析】将所求的式子乘以“1”,然后利用基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当，即时等号成立.故答案为：角度4：凑配法典型例题例题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（

）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故选:D例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【详解】由，则，当且仅当时等号成立，故最小值为.故选：C例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，则的最小值是.【答案】6【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值是6.故答案为：6.精练1．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）若，则的最小值为（

）A．-2 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】变形后由基本不等式求出最值.【详解】因为，所以，当且仅当,即时，等号成立.故选：B2．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为．【答案】4【分析】利用基本不等式即可求值.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：43．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当时，取最小值为．【答案】514【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取最小值为.故答案为：；.角度5：二次与二次（或一次）商式典型例题例题1．（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【分析】由基本不等式求解，【详解】因为所以，(当且仅当即时，等号成立故最小值为，故选：A例题2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函数的值域是.【答案】【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解.【详解】，当时，当时，所以，所以函数的值域是，故答案为：【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域.例题3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为．【答案】【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：精练1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的最小值为．【答案】1【解析】将函数解析式化简后，利用基本不等式求得函数的最小值.【详解】．当且仅当，即时等号成立．故答案为：1【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.2．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为.【答案】/【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.【详解】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.3．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为．【答案】【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.【详解】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：对点特训三：基本不等式在实际中的应用典型例题例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可.【详解】依题意，，而，因此，当且仅当时取等号，所以.故选：B例题2．（22-23高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油．(1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价；(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．【答案】(1)第一种方案的均价为；第二种方案的均价为；(2)第二种加油方案比较经济划算，详见解析.【分析】（1）根据题意即得；（2）利用基本不等式即得.【详解】（1）由题可得第一种方案的均价为，第二种方案的均价为；（2）因为，，所以，，所以，即第二种加油方案比较经济划算.例题3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.(1)求y关于x的函数解析式；(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？【答案】(1)(2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式.（2）平均费用为，利用基本不等式计算即可.【详解】（1）设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，可得，，故.（2）平均费用，当且仅当，即时，等号成立.故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.精练1．（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长.【答案】大于【分析】根据力矩平衡原理，列出等量关系，即可由基本不等式求解.【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即．因此，顾客购得的黄金大于．故答案为：大于2．（22-23高二上·广西南宁·开学考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．【答案】5km；最小费用为8万元【分析】先设出，代入自变量及对应的函数值，求出，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值.【详解】设，当时，，∴，∴，∴两项费用之和为．当且仅当时，即当时等号成立．即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．3．（23-24高一·全国·课后作业）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点.当的面积最大时最节能．（1）设米，用表示图中的长度，并写出的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？【答案】（1）；（2）长为米，宽为米.【分析】（1）根据可得，由勾股定理可得的关系，再根据可得的取值范围；（2）设的面积为，计算可得，利用基本不等式可得何时取最大值.【详解】解：（1）由题意，.因，故.设，则.因，故.由，得，化简得.（2）设的面积为，，当且仅当)时，取得最大值．答：当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好．【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，本题中注意折叠前后各几何量之间的关系，利用基本不等式求最值时注意“一正、二定、三相等”.对点特训四：与基本不等式有关的恒成立问题典型例题例题1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）“对所有，不等式恒成立”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式恒成立和构造基本不等式可确定，即可求解.【详解】由不等式恒成立，得恒成立，因为，当且仅当，即时取得等号，所以不等式恒成立，则，因为是的充分不必要条件，故选:D.例题2．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，由任意，恒成立，

所以，符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；故选：ACD例题3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】首先根据已知条件得到，然后结合基本不等式即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.【详解】因为，，，所以，则，当且仅当时，即时取等号，所以，解得.故答案为：精练1．（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}【答案】A【分析】利用基本不等式求出不等式x的最小值为4，转化为4≥a2﹣3a，由此解得实数a的取值范围．【详解】解：∵x＞0，∴不等式x24，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式xa2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，可得4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故选：A．2．（2024高三·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分离变量可得在时恒成立，然后利用均值不等式求最值即可.【详解】解：当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立，即等价于；而因为，故,当且仅当，即时取得最大值.故.故选：D.【点睛】本题考查了分离变量最值法，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题.3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若对有恒成立，则的取值范围是【答案】【详解】试题分析：因为，而恒成立，则，当且仅当x=2y时取得等号那么可知只要小于等于表达式的最小值8即可，故答案为考点：本试题主要考查了运用均值不等式求解最值．点评：解决该试题的关键是对于不等式的恒成立问题，我们一般转换为函数的最值来研究，从而得到参数a的范围．一、单选题1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C.2．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.【详解】因为x，y为正实数，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.3．（20-21高一下·内蒙古赤峰·期末）若，且，则的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故选：A.4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.【详解】因为，可得，且，，可知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1.故选：B.5．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立，所以不等式恒成立，故，故，故选：D6．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．以上选项都有可能【答案】A【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可.【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，.由杠杆原理得，，解得，，则，当且仅当取等号.又，故.故选：A7．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解.【详