314空间向量的正交分解及其坐标表示

1、选修2-1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（教案）【教学目标】1掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量.【重点】空间向量的基本定理及其推论.【难点】 空间向量基本定理唯一性的理解. 【创设情景】平面向量基本定理的内容及其理解：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 92 页第 94 页）1.空间向量的分向量的概念：如图.设是空间三个两两垂直的向量,且有公共起点.对于空间任意一个

2、向量,设点为点在所确定的平面上的正投影.由平面向量基本定理可知,在,所确定的平面上,存在实数,使得 .而在所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对,使得.由此可知,如果是空间三个两两垂直的向量,那么,对于空间任一向量,存在一个有序实数组,使得.我们称为向量在上的分向量. 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的微向量，能得出类似的结论吗？2.空间向量的基本定理及基底的概念：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.由此可知， 若三向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成

3、空间的一个基底.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示.3.空间向量的坐标的定义：设为空间向量的一个单位正交基底,以公共起点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.对于任意一个空间向量,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,得到向量.由空间向量基本定理,存在有序实数组,使得.我们把称作向量在单位正交基底下的坐标,记作.【基础练习】【典型例题】OA/CMED/B/ADB例1 如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和

4、【审题要津】解：； .【方法总结】例2 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量【审题要津】解： 【方法总结】 1O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+2)=0，则DABC是（）A以AB为底边的等腰三角形 B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形 D以BC为斜边的直角三角形2P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心3在四边形ABCD中，且·0，则四边形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的

5、一条对角线长为（）A B C D5O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心6设平面向量=(2，1)，=(，-1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A B C D7若上的投影为 。8向量，且A，B，C三点共线，则k 9在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在AOB的平分线上且|=2,则=10在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_。选修2-1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（学案）【教学目标】1掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以

6、用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量.【重点】空间向量的基本定理及其推论.【难点】 空间向量基本定理唯一性的理解. 【创设情景】平面向量基本定理的内容及其理解：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 92 页第 94 页）1.空间向量的分向量的概念：如图.设是空间三个两两垂直的向量,且有公共起点.对于空间任意一个向量,设点为点在所确定的平面上的正投影.由平面向量基本定理可知,在,所确定的平面上,存在实数,使得 .而在所确定的平面上,由平面向

7、量基本定理可知,存在有序实数对,使得.由此可知,如果是空间三个两两垂直的向量,那么,对于空间任一向量,存在一个有序实数组,使得.我们称为向量在上的分向量. 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的微向量，能得出类似的结论吗？2.空间向量的基本定理及基底的概念：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.由此可知， 若三向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量

8、时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示.3.空间向量的坐标的定义：设为空间向量的一个单位正交基底,以公共起点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.对于任意一个空间向量,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,得到向量.由空间向量基本定理,存在有序实数组,使得.我们把称作向量在单位正交基底下的坐标,记作.【基础练习】【典型例题】OA/CMED/B/ADB例1 如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和【审题要津】解：； .【方法总结】例2 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量【审题

9、要津】解： 【方法总结】 1O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+2)=0，则DABC是（）A以AB为底边的等腰三角形 B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形 D以BC为斜边的直角三角形2P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心3在四边形ABCD中，且·0，则四边形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A B C D5O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心6设平面向量=(2，1