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文档简介
1、广东省揭阳市2014届高三4月第二次模拟数学(理科)一、选择题:1设全集,则( )A B C D 2. 已知是虚数单位),则实数的值为( )A. B.1 C. 2 D. 3已知等差数列中,前7项和,则等于( )A.18 B. 20 C.24 D. 324运行如图1的程序框图,则输出s的结果是( )A. B. C. D. 5已知命题:函数是最小正周期为的周期函数,命题:函数在上单调递减, 则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 6某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:x681012y2356 根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程中的的
2、值为,则记忆力 为14的同学的判断力约为( )(附:线性回归方程,其中,为样本平均值)A7 B C8 D7若,则( )A B C D8已知点、的坐标满足不等式组,若,则取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分(一)必做题(913题)9不等式的解集为 10的展开式中的系数为 11过点(2,1)作圆的弦,其中最短的弦长为 12已知一棱锥的三视图如图2所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形, 正视图为直角梯形,则该棱锥的体积为 13已知函数为偶函数,且若函数,则= (二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)图 314(坐标系
3、与参数方程选做题)在极坐标系中,过点引圆 的一条切线,则切线长为 15(几何证明选讲选做题)如图(3),是圆O的切线,切点为, 交圆于两点,且则的长为 .三解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)在中,已知且(1)求角B和的值;(2)若的边,求边AC的长17. (本小题满分12分)下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直径小于等于2.5微米的颗粒物)24小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良日期编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10空气质量指数(AQI)17940
4、98124291332414249589“PM2.5”24小时平均浓度()13558094801001903877066(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率;(2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析,设事件M为“抽取的两个日期中,当天PM2.5的24小时平均浓度不超过75”,求事件M发生的概率;(3)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取3天,记为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75的天数,求的分布列和数学期望18(本小题满分14分)已知等比数列满足:公比,数列的前项和为,且().(1)求数列和数列的通项和;(2
5、)设,证明:.19(本小题满分14分)如图4,已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,且ACB90°,BAC30°,BC1,AA1,点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点(1)求证:PN/平面ABC;(2)求证:AB1A1M;(3)求二面角C1A B1A1的余弦值 20(本小题满分14分)已知抛物线的方程为,直线的方程为,点A关于直线的对称点在抛物线上(1)求抛物线的方程;(2)已知,点是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,求的最小值及此时点M的坐标;(3)设点B、C是抛物线上的动点,点D是抛物线与轴正半轴交点,BCD是以D为直角顶点的直角三角形试探究直线BC是
6、否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由 21(本小题满分14分)已知函数(为常数)(1)函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;(2)若,、使得成立,求满足上述条件的最大整数;(3)当时,若对于区间1,2内的任意两个不相等的实数,都有成立,求的取值范围数学(理科)参考答案及评分说明一、选择题:CDAB DBAD解析:7. 因,而,故,所以选A.8. 设,由条件知:、,、,则,当且仅当点时上式取得最小值-7,当且仅当点点时,上式取最大值7.故选D.二、填空题:9; 10-120 ; 11; 1216, 132014, 14, 15. .解析:12. 该几何体是底
7、面为直角梯形的四棱锥,依题意得.13. 由函数为偶函数得,则,故.14把A点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得,圆,A点到圆心的距离为6,半径为2,所以切线长为15. 由可得: ,由已知,可解得,所以圆直径为3,又由可解得三.解答题:16. 解(1)由,得且-1分可得-2分,-3分-5分 -6分,在ABC中,-9分(2)在ABC中,由正弦定理得:,-10分,-12分17. 解:(1)由上表数据知,10天中空气质量指数(AQI)小于100的日期有:A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天,-1分,故可估计该市当月某日空气质量优良的概率.-3分(2)由(1)知10天中表示空气质量为优良的天数为
8、5,当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75有编号为A2 、A9 、A10,共3天,-4分,故事件M发生的概率.-6分(3)由(1)知,的可能取值为1,2,3. -7分,且-8分,-9分,-10分,故的分布列为:123-11分,的数学期望-12分18.(1)解法一:由得,-2分,由上式结合得,则当时,-4分-5分,-7分,-8分,数列是首项为,公比为4的等比数列,-9分,.-10分解法二:由得,-2分,由上式结合得,则当时,-4分-5分, -6分,-8分,-9分,.-10分 (2) 由得,-11分,-13分【或】,-14分19(1)证明:连结CB1,P是BC1的中点 ,CB1过点P,-1
9、分N为AB1的中点,PN/AC,- -2分又面,面,PN/平面ABC. -3分(2)证法一:在直角ABC中,BC1,BAC30°, ACA1C1-4分棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,且,以点C1为原点,以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示,则,, , -6分,-7分-8分, A1MAB1-9分证法二:连结AC1,在直角ABC中,BC1,BAC30°, ACA1C1,=,-4分-5分,即AC1A1M. -6分B1C1C1A1,CC1B1C1,且,B1C1面AA1CC1,-7分B1C1A1M,又,故A1MA B1C1,-8分,面A B1C1, A1
10、MAB1. -9分证法三:连结AC1,在直角ABC中,BC1,BAC30°, ACA1C1-4分设AC1A1,MA1C1,,-5分+90° 即AC1A1M. -6分,B1C1C1A1,CC1B1C1,且B1C1平面AA1CC1,-7分,B1C1A1M,又,故A1M面A B1C1,-8分面A B1C1, A1MAB1. -9分(3)解法一:棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,且,以点C1为原点,以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系,依题意得,,-11分设面的一个法向量为,由得,令得.-12分,同理可得面的一个法向量为-13分故二面角的平面角的余弦值为-14
11、分解法二:过C1作C1EA1B1交A1B1于点E,过E作EFAB1交AB1于F,连结C1 F,平面AA1BB1底面A1B1C1, C1E平面AA1BB1, C1EAB1, AB1平面C1EF, AB1C1F,故为二面角C1A B1A1的平面角,-11分在中,,,,-12分又故-13分,-14分20. 解:(1)设点A(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),则解得-3分把点(1,3)代入,解得a = 4,所以抛物线的方程为-4分(2)是抛物线的焦点,抛物线的顶点为(0,-1),抛物线的准线为,-5分过点M作准线的垂线,垂足为A,由抛物线的定义知,=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立,-7分即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时,取最小值,这时点M的坐标为-9分(3)BC所在的直线经过定点,该定点坐标为,令,可得D点的坐标为,设,显然,则-10分,-11分,即直线BC的方程为即-13分所以直线BC经过定点.-14分21. 解:(1),函数的图象在点()处的切线方程为
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