高等数学教案3

1、第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理1.费马引理: 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有 (或)，那么.2.导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点)3.罗尔中值定理: 如果函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导；在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少存在一点，使得 .例1.判别函数在上是否满足罗尔中值定理的条件，若满足试求.解: 由于是初等函数，所以在上是连续的，在内是可导的，而，故在上满足罗尔中值定理的条件，从而在内至少存在一点，使得，即 ，解得.例2.若函数在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点，使得 .证: 令，则在上连续，

2、在内可导，而，所以在上满足罗尔中值定理的条件，故在内至少存在一点，使得，即 .例3.若，证明方程在内至少有一个实根.解: 令，则在上连续，在内可导，而，所以在上满足罗尔中值定理的条件，故在内至少存在一点，使得，即 ，从而是方程在内的一个实根.4.拉格朗日中值定理: 如果函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使得.4'.如果函数在上满足拉格朗日中值定理的条件，那么，或 ，其中. 例4.证明: 其中.证: 令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，故在内至少存在一点，使得，.由于，所以(第一步即构造函数运用定理） 例5.证明:.证: 令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件

3、，故在内至少存在一点，使得由于，所以. 例6.证明: .（形式变化而已，代换1即可）证:令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，故在内至少存在一点，使得由于，所以.例7.若函数在上连续，在内具有二阶导数，且， ，证明在内至少存在一点，使得 .证: 由于在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在内至少存在一点，使得.由于，所以.由于在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在内至少存在一点，使得.由于，所以.由于在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在内至少存在一点，使得.由于，所以，故.（此题甚为巧妙考虑了原始函数和几阶函数的关系，即公式中的联系关系，又有参数C的代换）5.如果函数在区间上的导数恒为零，那么

4、在区间上是一个常数.6.柯西中值定理: 如果函数及满足 在闭区间上连续； 在开区间内可导； 对任一，那么在内至少存在一点，使得.（在题目中若出现比值关系优先考虑柯西）例8.若函数在上连续，在内可微，且，证明在内至少存在一点，使得.观察式子很重要证: 令. 由于，在上满足柯西中值定理的条件，所以在内至少存在一点，使得，.例9.若函数在上连续，在内可微，其中，证明在内至少存在一点，使得.证: 令. 由于，在上满足柯西中值定理的条件，所以在内至少存在一点，使得.§3.2 洛必达法则 1.型未定式: 如果，那么称为型未定式.2.型未定式: 如果，那么称为型未定式.3.洛必达法则: 如果；在点

5、的某去心邻域内，及都存在且；存在（或为无穷大），那么.3'.洛必达法则: 如果；当时，及都存在且；存在（或为无穷大），那么.例1.求下列极限.解: 原式.原式.原式.原式.原式.原式. 4.其它类型未定式: 型，型，型，型，型.可通过转换得到例2.例3.例4.求极限.解: .（两步）例5.求极限.解: .例6.求极限.解: .构造固定对数.§3.3 泰勒公式1.泰勒中值定理: 如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数，则对任一，有，在与之间. 2.上式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式，而的表达式称为拉格朗日型余项. 3.由于当时，所以，而称为佩亚诺型余项，此公

6、式称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式. 4.带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.5.带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式.例1.写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.解:， ().6.几个函数的阶麦克劳林公式:，.方法一(直接展开).，方法二(间接展开).由于，所以.原式.原式 .§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 1.函数单调性的判别法: 设在上连续，在内可导，如果在内，那么在上单调增加；如果在内，则在上单调减少.例1.求的单调区间.解: . .令，得.由于在内，所以在上单调减少.由于在内，所以在上单调增加.例2.讨论的单调性.解: . .由于在处无定义，所以原函数

7、在处不可导.令，得.由于在内，所以在上单调减少.由于在内，所以在上单调增加.由于在内，所以在上单调减少.由于在内，所以在上单调增加.例3.当时，证明: .证: 令.由于当时， ，所以在上单调减少，故当时，有即 . 2.设在区间上连续，如果对上任意两点，恒有 ，那么称在上的图形是凹的；如果对上任意两点，恒有 ，那么称在上的图形是凸的.3.曲线凹凸的判定法: 设在区间上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么若在内，则在上的图形是凹的.若在内，则在上的图形是凸的.证: 对于、，不妨设.在、上分别应用拉格朗日中值定理，得，即 ，即 ，其中、，.在上应用拉格朗日中值定理，得，其中.由于，所以，故，从而，即，

8、在上的图形是凹的.例4.求的凹凸区间.解: . ，.令，得.由于在内，所以在上的曲线是凸的.由于在内，所以在上的曲线是凹的.4.拐点: 曲线上凹与凸的分界点.例5.求的凹向区间与拐点.解: .，.令，得，.由于在内，所以在上的曲线是凹的.由于在内，所以在上的曲线是凸的.由于在内，所以在上的曲线是凹的.由于当时，; 当时，所以点，都是曲线的拐点.证: 令. ，.由于，所以的图形在上是凹的，故任意的，当时，从而 .证: 令. ，.由于当时， 所以的图形在上是凹的，故当，时，.§3.5 函数的极值与最大值最小值 1.函数的极值: 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内内的任一，有

9、，那么称为极大值. ，那么称为极小值. 2.取极值的必要条件: 设函数在处可导，且在处取得极值，那么. 3.取极值的第一充分条件: 设函数在点处连续，且在点的某去心邻域内可导， 若时，而时，则是极大值.若时，而时，则是极小值.若时，的符号保持不变，则不是极值.例1.求函数的极值.解: . .令，得驻点，.正0负0正 极大值 极小值 极大值，极小值.例2. 求的极值.解: .，由上式可知，在处不可导.令，得驻点，.由于当时，;当时，;当时，;当时，所以极小值: ，; 极大值: .4.取极值的第二充分条件: 设函数在处具有二阶导数且，那么当时，是极大值;当时，是极小值.例3.求的极值.解: . ，

10、.令，得驻点，.由于，所以是极大值.由于，所以是极小值. 5.闭区间上的连续函数的最大值与最小值一定在区间端点或极值点上取得. 其中极值点即驻点或导数不存在的点. 6.开区间内的可导函数的唯一驻点，若是极大值点一定是最大值点，若是极小值点一定是最小值点.例4.求在上的最大值与最小值.解: .令，得驻点，.由于，所以是最大值，是最小值.例5.周长为12的一个矩形，求长宽各为多少时面积最大.解: 设长为，面积为，则宽为， .，.令，得唯一驻点.由于，所以是极大值，也是最大值，故当长宽各为3时面积最大，面积为9.§3.6 函数图形的描绘例6.作函数的图象.解: ，奇函数.，.令，得驻点，.

11、 令，得. 正0负 负负0 凸极大值下凸拐点负0正正正 凹极小值 凹由于，所以和都是斜渐近线. ，. Y 0 Xx§3.7 曲率1.弧函数: 设在内具有连续导数.在曲线上取固定点作为度量弧长的基点. 对曲线上任一点，当有向弧段的方向与增大的方向一致时的值等于的弧长，相反时的值等于的弧长相反数，则 .2.弧微分公式: ， .习 题 课1.讨论方程有几个实根.解: 令.，.令，得唯一驻点. 由于，所以是极大值，且是最大值.当时，即时，由于，所以在内有一个零点；由于，所以在内有一个零点，故方程有两个不等实根.当时，即时，由于，所以方程有两个相等实根.当时，即时，由于，所以在内没有零点，故方程没有实根.2.求方程 (其中) 有唯一实根的条件.解: 令.，. 令，得，. 由于，所以是极大值，是极小值. 由于，所以当或时，有唯一零点，即当或时，方程有唯一实