概率论答案-李贤平版-第三章

1、概率论计算与证明题153第三章随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p或1 p向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动(以Sn表示时间n时质点的位置)。2、设 为贝努里试验中第一个游程(连续的成功或失败)的长，试求的概率分布。3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：(1) f(k) ,k 1,2,N,N； (2) f(k)kc一, k 1,2, k!0。4、证明函数f(x)2eM(x)是一个密度函数。5、若的分布函数为(104),求落在下列范围的概率:(1) (69)； (2) (712); (3)

2、 (13, 15)。6、若的分布函数为(5,4),求 a使：(1) P a 0.90; (2) P|5|a 0.01。7、设 F(x) P x,试证F(x)具有下列性质：(1)非降；(2)右连续；(3)F()0, F()8、试证：若Px2,PXi1,则 P XiX2 1)。9、设随机变量 取值于01,若Pxy只与长度y x有关(对一切x y 1 ),试证从0, 1均匀分布。10、若存在上的实值函数Q()及口()以及T(x)及S(x),使f (x) exoQ( )T(x)D( ) S(x)，则称f ,是一个单参数的指数族。证明(1)2、正态分布N(m0,),已知m0,关于参数(3)普阿松分布p(

3、k,)关于 都是一个单参数的指数族。但0,上的均匀分布，关于不是一个单参数的指数族。22x七211、试证f (x, y) ke (ax 2bxycy)为密度函数的充要条件为a 0, c 0, b(2)正态分布N(m0, 0 ),已知°,关于参数m；ac 0, k 上空 12、若f(x), f2(y)为分布密度，求为使 f(x,y) f(x)f2(y) h(x, y)成为密度函数，h(x,y)必须而且只需满足什么条件。13、若(，)的密度函数为Ae(2xy), x 0,y 0X,y0,其它试求：（1）常数A; （2） P 2,1;的边际分布；（4） P 2；（5） f（x|y）； （6

4、） P 2|1。14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。15、设二维随机变量（，）的联合密度为p(x, y)x)k2 1e y1k1 1.x (y(K) (k2)k10, k2 0, 0 x y，试求与 的 边际分布。16、若 *x）, f2（x）, f3（x）是对应于分布函数F1（x）, F2（x）, F3（x）的密度函数，证明对于一切（11）,下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数f（x）, f2（x）, f3（x）：f1(x), f2(x), f3(x)f1(x/f2(x2),f3%)12F1(x1)12F2(x2)12F3(x3)1。17、设 与 是相互独立的随机变量，均服从几

5、何分布g(k, p) qk 1 p, k 1,2,令 max(,),试求（1）（,）的联合分布；（2） 的分布；（3）关于的条件分布。18、（1）若（，）的联合密度函数为f （x, y）4xy, 0 x y, 00,其它y 1，问与 是否相互独立?19、设（）的联合密度函数为f（x, y）的联合密度函数为p(x, y, z)8xy, 00,y, 0其它y 1,问与是否相互独立?-1sin xsin y sin z),0,0 x当0 y0 z其它试证：，两两独立，但不相互独立。,|x|其它1 | y | 1,2,2, y ，试证与不独立，但 与是相互独立的。1 2及，试直接证明21、若1与2是独

6、立随变量，均服从普要松分布，参数为（1）12具有普承松分布，参数为 12； P 1 k| 12 n1 一22、若,相互独立，且皆以概率 一取值+1及1,令 ，试证，两两独立但不相互独立。 223、若 服从普阿松分布，参数为 ，试求(1) a b; (2)2的分布。124、设 的密度函数为p(x),求下列随机变量的分布函数：(1)，这里P 0 。；(2)tg ;(3)| |。25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于(a b)内，试求圆面积的分布密度。26、若，为相互独立的分别服从0, 1均匀分布的随机变量，试求的分布密度函数。27、设，相互独立，分别服从 N(0,1),试求 一的密度函数。2

7、8、若，是独立随机变量，均服从 N(0,1)，试求U , V的联合密度函数。29、若1, 2, , n相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为1, 2, , n,试求 m 1, 2, , n) 的分布。30、在(0,a)线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。2 一31、若气体分子的速度是随机向量V (x, y,z),各分量相互独立，且均服从N (0,)，试证s &一y2z2斑点服从马克斯威尔分布。32、设，是两个独立随机变量,2 .服从N(0,1), 服从自由度为n的x 分布(3.14),令t试证t的密度函数为这分布称为具有自由度Pn(x)1-(n 1),n - n21,22(n

8、1 n1)分布在数理统计中十分重要。r6(1x yz)4,当 x 0, y0, z 0时33、设，有联合密度函数f (x, y, z) 、 y)y，试求0,其它U的密度函数。22 . 一34、若，独立，且均服从 N(0,1),试证U与V一是独立的。与一也独立。35、求证，如果与 独立，且分别服从分布G( ,1)和6( ,r2)，则36、设独立随机变量，均服从p(x)_ xe0,< r 问是否独立?37、若(,)服从二元正态分布(2.22),试找出相互独立的充要条件。38、对二元正态密度函数,、11C 2p(x, y)exp-2x222xy 22 x 14y 65 ,(1)把它化为标准形式

9、(2.22 ); (2)指出 a,b, 1,2；(3)求 pi(x) ；(4)求 p(x| y)。7 3 2、一 一 _ 139、设a 0, B 3 4 1 ,试写出分布密度(2.12),并求出(1, 2)的边际密度函数。2 1 240、设，是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0,且有二阶导数，试证若与相互独立，则随机变量，均服从正态分布。11141、若f是 上单值实函数，对 B R1,记f IB) : f( ) B。试证逆映射f 1具有如下性质：(1) f 1Bf 1(B );(2) f 1Bf 1(B );(3) f 1(B) f 1(B). 2 cx 0x142、设随机变量 的

10、密度函数是f(x)(1)求常数C; (2)求 使得p( a)= p( a).0 其它43、一个袋中有k张卡写有k,k 1,2,L ,n,现从袋中任取一张求所得号码数的期望。(y x)2212 244、设r,v, N(m, 2), 在 x的条件密度分布是P(y|x) -= ，求y的条件下2的密度p(x|y)?45、设与独立同服从(0, a)上的均匀分布，求 X的分布函数与密度函数。Ae (x y) x 0,y 046、设(，)的联合分布密度为 f(x,y)，(1).求吊数A； (2)求给7E时的条0 其它件密度函数。47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过4的概率。48、若(，)的分布列是(见

11、下表)(1)求出常数A; (2)求出 =2时 的条件分布列。-10111/61/81/821/121/4A31/241/241/2449、设（，）独立的服从N （0,1）分布，令U,求（U ,V）的联合密度函数及边际密度函数。4X350、设随机变量的密度函数为 P（X） 00 X 1 ,(1).求常数匕a,使 P >a = P <a;(2).求常数 b,使 P >b = 0.05 。51、地下铁道列车运行的间隔时间为2分钟，旅客在任意时刻进入月台,求候车时间的数学期望及均方差。52、设二维随机变量（,）的联合密度函数为：p（x, y）6xy(2y),x 1,0其它=2 +3的

12、密度函数;1 .(2)求 p | (y|x); (3) p -| 2253、若二维随机变量（,）的密度函数为:P(x, y)2e (2xy)54、2)求 P(2)；(3)P 1|20,0,y其它1)求的密度函2若 r,v N(a, 2),求的密度函数。55、将两封信随机地往编号为1,2,3,4的四个邮筒内投,k表示第k个邮筒内信的数目,求:(1, 2)的联合分布列；2） 2 1的条件下，1的条件分布。56、若 r,v N(0,1),求2 .的密度函数。57、某射手在射击中，每次击中目标的概率为 P（0 P 1）,射击进行到第二次击中目标为止，用k表不第K次击中目标时射击的次数 （K 1,2）,

13、求1和2的联合分布和条件分布。58、进行独立重复试验， 设每次试验成功的概率为p。将试验进行到出现r次成功为止,以X表示所需试验的次数。求X的分布列。59、已知某种类型的电子管的寿命X （以小时计）服从指数分布，其概率密度为1 e 1000f (x)10000,其它一台仪器中装有 5只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作。求仪器正常工作 的概率。1000小时以上60、设连续随机变量X的概率密度为f（x）Ax2e kx0,x 0 .,其中k为已知常数。求：（1）常数A; （2）其它1P 0 X 。k61、设离散随机变量X的分布列为:求：（1） X的分布函数F（x）;3_(2)PX 3,P

14、1 X 4 , P 1 X262、从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数 X的分布列及分布函数。63、（1）设连续随机变量 X的概率概率为fX（x）,求Y X3的概率密度。（2）设X服从指数分布E（）。求Y X3的概率密度。64、对圆片直径进行测量，测量值 X服从均匀分布U （5,6）。求圆面积Y的概率密度。65、设电压V Asin ,其中A是一个正常数，相角是一个随机变量，服从均匀分布U -,2 2求电压V的概率密度。66、箱子里装有12件产品，其中2件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取2次。定义随机变量 X,Y如下X 0,若第1次取出正品，

15、丫1,若第1次取出次品0,若第2次取出正品1,若第2次取出次品分别就下面两种情况求出二维随机向量（X,Y）的联合分布列和关于 X,Y的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。67、一个大袋子中，装有3个桔子，2个苹果，3个梨。今从袋中随机抽出4个水果。若X为为桔子数，Y 为苹果数，求（X,Y）的联合分布列。68、把一枚硬币连掷 3次，以X表示在3次中出现正面的次数, 面的次数的绝对值，求（X,Y）的联合分布列。Y表示在3次中出现正面的次数与出现反69、设二维随机向量的概率密度为:f (x, y)k(6 x y),0,0 x 2,2 y 4甘。求(1) k; (2)其它PX 1,Y 3;

16、(3) PX 1.5; (4) PX Y 4。70、设随机向量（X,Y）的概率密度为：f（x, y）A(R "x2 y2, x2 y2 R2,求：(i)常数 a；0,其它（X,Y）落地圆域G:x2 y2 r2 （r R）中的概率。71、设二维连续随机向量（X,Y）的概率密度为:f (x,y)622 ""2""(4 x )(9 y )求：（1） （X,Y）的分布函数；（2）关于X及关于Y的边缘分布函数。72、设二维连续随机向量（X ,Y）的概率密度为：f （x, y）概率密度。e y, 0 x0, 其它y ,求关于X及关于Y的边缘273、设X与Y

17、相互独立，且 X服从均匀分布U a,a, Y服从正态分布N（b,）。求Z X Y的概 率密度。74、若（，）的密度为（p（x, y, z）但不相互独立。1 ,-3(1 sin xsin y sin z) 8x, y,z 2，则，其它两两独立,75、若，相互独立，且同服从指数分布，密度函数为:e x 0p(x),证明:0x0+与一相互独立。76、证明:p（x）x 0为一概率密度函数。x o2的普阿松分布，且相互独立，求证:服从参数为1277、设R,V ,分别服从参数为1的普阿松分布。1|y|78、证明函数f （x） e （ x）是一个密度函数。279、设 F(x) Px,试证F（x）具有下列性质

18、：（1）非降；（2）右连续；（3） F（)0, F( )1。80、试证：若 Px2 1PXi 1，贝U PXix21 (81、设随机变量取值于0, 1,若Px从0, 1均匀分布。y只与长度y x有关（对一切0x y 1）,试证服82、定义二元函数F（x,y）1, x y 0。验证此函数对每个变元非降，左连续，且满足（2.6）及（2.7）,0, x y 0但无法使（2.5）保持非负。(2 2b 2)2ac b283、试证f(x, y) ke为留度函数的充要条件为a 0, c 0, b ac 0, k 。84、若fi（x）, f2（x）, f3（x）是对应于分布函数Fi（x）, F2（x）, F3

19、（x）的密度函数，证明对于一切（11）,下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数fl（x）, f2（x）, f3（x）：fl(x), f2(x), f3(x) f1(x1),f2(x2),f3(x3)12Fi(Xi)12Fz(X2)12F3(x3)1。0x21 .c 、儿、人,".上/、o （1 sin xsin ysin z）, 当0 y 2 时85、设（，）的联合留度函数为p（x, y, z） 8 3丫y0 z 20,其它试证，两两独立，但不相互独立。86、若1与2是独立随变量，均服从普要松分布，参数为1 2及，试直接证明（1） 12具有普承松分布，参数为 12；kn kn

20、12（2） P 1 k| 12 n 1。k 12121 -87、若相互独立，且皆以概率 一取值+1及1,令 ，试证，两两独立但不相互独立。，288、若气体分子的速度是随机向量V （x, y,z）,各分量相互独立，且均服从_2.N (0,)，试证S &一7z2斑点服从马克斯威尔分布。89、求证，如果 与 独立，且分别服从分布G（）和6（心），则与一也独立。90、证明：是一个随机变量，当且仅当对任何x Ri成立 ()C F。第三章解答1、解：令n表在n次移动中向右移动的次数，则n服从二项分布,2、3、4、5、PkCk k / np (1n kp) , k01,以Sn表时刻时质点的位置，则n

21、的分布列为Sn的分布列为解：P所以解:解：Sn(nn)2 n1P2(1(1p)nnp)nC：p(1n1C：p(1P失成P成失n 1 p)2p)npqp失失成 p成成失的概率分布为p kp(1)(2)f(x)CnC2qp ，ppq2q p,f(k)1£ N，1。1 ck 1 k!c(e 1)0,且f (x)dx1x|dxf (x)是个密度函数。(1) P(69) P12(610)1 2(10)P(712) P112(7 10)2(11 1(2 2(3) P(132 p2(1n p2(1qqp1,2,(e1)10)10)10) 11115) P -(13 10) -(10)22111P

22、1(10) 22 22p)n4p)n|x|e dx2(91 (1221 (1522122q p,10)(2)10)10)0.2857880.7745380.060597i一 、J,6、解：(i)(i.3) 0.90,而 PaP -(2i5)2(a 5)2(a5)i令-(a 5) i.3解得a 7.6。(2)由 P|5| a 0.0i 得 P 5i a 0.005，从而 P -( 25)1a =0.995,而2(2.6)i 八-0.995 所以一a 2.6, a25.2。7、证：(1)设X2Xi, Fd)F(Xi)PXiX20,所以 F(X2)F(Xi)F(x)非降。(2)XnXnXiX0XiX

23、由概率的可加性得由此得(Xii 0Xi)PxXoF(Xi) F( i)F(Xo)F(x)。F(Xo)F(x)lim F(x0) nF(x)，F (x) limF(Xn)F(x 0),F(x)右连续。i PPnnn iF(n i)F(n)limnF(n)lim F(m)。 m由单调性得limXF (x)与lim F (x)均存在且有穷，由F(x)i及上式得F(0, F( ) io8、证：PxiX2PX2PXiPX2 (iPX2)，不等式成立。9、证法一：定义F(x)2x 0,i有 P0PX2PXii (i)(i).0, P0 i,X,0(0,i 则F(x)是 的分布函数。(i,)由题设得,对任意

24、xPx2x,即有 P 02x 2P0x。由此得F(2x) 2F(x)o逐一类推可得，若inx 0,i,则 F(nx) nF (x),或者一F (x) nF(-)o从而对n有理数m,若mx与x都属于0,i,则有F mx n nnmF(x)o再由F(x)的左连续性可得，对任意无 n理数a ,若ax与x都属于0,i,则F (ax)aF (x)。因为区间0,i)与0,i的长度相等，由题设得F(1)P01P01 1.xF(1) x,即 F(x)为由此及上段证明得，对任意x 0,1有F(x)0, x 0F (x) x, 0 x 11,x1服从0,1上均匀分布。证法二：如同证法一中定义的分布函数F(x),由

25、F(x)单调知它对0,1上的L测试几乎处处可微。设xx2(0,1),当x1x 0,1(i 1,2)时，由题设得F(x1x) F(x1) Px1x1xPx2x2x F (x2 x F (x2)等式两端都除以x,再令x 0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且F'(x2)F'(x1)。从而对任意x (0,1)有F'(x) c。当x0,1时显然有F'(x) 0。一点的长度为0,由题设得P 0 P 1 0。由上所述可知是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c 1。至此得证服从0,1均匀分布。10、证：(1)f(x) ?

26、21exp(x m)22 2若令Q(expx 2.1m°)ln _2(x m)2exp 2 ln ln . 22 21_，、),T(x)(22)2(x m°) , D(ln,S(x) ln 2这就证明了正态分布M (m0,(x) exp Q(2)是单参数)T(x) D( ) S(x)0)的指数族。 fm(x) 一2 exp0(xm)22 02120exp22x 2mx mexpmx2 02m2 022x2 02lnm右令 Q(m) 2 , T(x)0x, D(m)1 m220,S(x)一22x2 01 ln.2fm(x) expQ(m)T(x) D(m) S(x)2、所以正

27、态分布 N(m, 0 )是单参数m( m)的指数族。k(3) p(k； ) 一e exp k In Ink!。k!若令 Q( ) In ,T(k) k, D(),S(k) In k!,则p(k; ) expQ( )T(k) D( ) S(k),所以 p(k;)是单参数 (0)的指数族。(4)关于0,上的均匀分布，其密度函数为f (x)1/0,f (x)是定义在的函数，由于它是x的分段表示的函数，所以无法写成形式f (x) exoQ( )T(x) D()S(x)f (x)关于不是一个单参数的指数族。11、证：必要性:2f(x,y)dxdyb 2 ac b2a(x y) yke a e a dxd

28、y人b一b令 ux - y, v y,得 y v, x u -v, J 1。设aaf(x,y)dxdy2ke au duac b2 2 va dv要积分收敛，必须a 0, (ac b2)/a 0 ,由此得应有ac b2 0以及c 0。利用 e u du 厂可得ac b2 2,au2-v1 一 a -ke du e a dv k _ .1, a ac b2,2 ac b k 从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。G(x)f2(y)。又12、解：设 f(x,y)f1(x) f2(y) h(x, y)是密度函数，则由 f (x, y) 0 得 h(x,y)1 f (x, y)dxdy

29、 f1(x)dx f2(y)dy h(x,y)dxdy 1 h(x, y)dxdy,反之，若h(x, y)所以应有 h(x, y)dxdy 0。f1(x) f2(y) , h(x, y) 可积且 h(x, y)dxdy 0 ,显然有 f (x, y) 0且13、14、f(x, y)dxdy 1,即 f(x,y)是密度函数。所以为使f(x, y)是密度函数h(x, y) dxdy解：(2)(3)(4)(5)(6)利用利用h(x, y)必须而且只需满足h(x, y)f1(x)f 2(y) 且0。(1) 10P 2,Ae2xdx0 e ydy2xy |0的边际分布,P2e 2xdxe ydye y

30、|0(1 e4)(11)。f (x)0 2e22 x2e Xdx 0 e ydy2_2x(2 x)2x2e (1 e dx 0(2e0时有2xeydy2e2x2e(2 x)dx(1 e 4) (2e 4 2e 2)1 e0, y 0 时110dy(2)的结果可得设多项分布为(2)可以把(1)2e 2(12)2.f(x| y) 0;当 x 0, yf(x| y)f(x, y)(y)2,0时有2e (2x y)e y2e 2x2e (2x改写成PP 1 k1,y)dxydy2e (2x y)dx2,1(1 e4)(11 e 1e 1)ki0,n!k1! kr 1! (n k1由边际分布的定义并把(

31、3)代入得kr 1krkikr1)!k1Pin!k1！kr!k1PikrPi ，(1)n,rPii 1(2 )krPi (1 Pi nPr 1)k1kr 1(3)P 1k1, r 2kr2P 1k1,kr1由二项式定理得P 1k1,kr 1k1kr 1 n,k1 0ki!(1n! p；1 kr 2!(npkr22k1kr 2)!n kikrkr 2p1Prn 2pr 1)kikr2 kr 2)n!ki! kr 2!(n k1kr 2)!k1p1kr 2pr 2(1P1把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得P 1k1n!k1!(n kJ!从而知任意边际分布均服从多项分布（包

32、括二项分布）15、解：（1）的密度函数为，当 x0时 p (x) 0；当(2)(x)p(x, y)dyk1 1x tk2(ki (2) 0的密度函数为，当 y(y)(k1) (k2)x txe dt 0时 p (y)P(x,y)dxk10,当xp (y)(K)他)k1 1 k2y y21tk10其中用到16、证：我们有(n kikr 1!(n k1k1n k1p1 (15)k1 x(k1)n k1pr 2)x 0时，注意积分取胜有选取,1k2 1 y ,(y x) dy0；当y0时,(k1) (k2)k1x 11k2 1(y x)(令y xydx1,1(1所以t)1 ydtk.y(K)B(k1

33、,k2) 他)函数的关系式。0 Fi(xi)k1y 1k2 1(K)化）(K)化)(k1k2)(k1k2)1,1 2fi(xi) 1 2 11,1 2E(x1) 12F2(x2) 12F3(x3) 11,kr 2)!nkr1pr 1kr 1)!k21)k1 k2 1 yy 2 e(4)代入f (x1, x2, x3)的表达式得(x1, X2, X3 )又有2匕(为)1fi(x)dxj2Fi(X)IdFi(x)_ 2一F1 (X) Fi(xi)(xi,x2,x3)dxdx2 dx3f1 (x1)dx1f2 (x2)dx2£3(x3 )dx3 1(2)(2)知f (x1,x2,x3)是密

34、度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为17、解:(x1出区心2dx3i便)，(x1,x2,x3)dx1dx2f3 (x3)(%?2,乂3心心3 fzM) .(1)为求,)的联合概率分布，分别考虑下列三种情况:(i,k 1)其中利用到独立性。(a)Pk,k) Pk,j)kPj 1k,j1 qk1 qk 1pq(1(b) iPk,i) Pi,k(c) ik,i,Pk,i(2)因为max(,),所以k)1 i,k)k,j)(3) PPk 1k) Pi 1i,k)Pk,j)k2p qj 1p k)(2、k)pq(k1,2,)i,P kk)k 1k、pq (1 q )k 1k 1 kpq (2

35、 q q )21 k 2p qk 1k 1 kpq (2 q q )12 q pqk,(i,k 1)18、解：(1)边际分布的密度函数为，当x 0.1时f(x) 0;当0 x 1时,同理，当y 0.1时f立。(2)边际密度函数为，当当 y 0.1时 f (y)f (y)g (x, y) dx在区域0y 1中均有f (x)(y) 0；当0x 0.1时f (x)0;当010 8xydxg(x, y) f1f (x, y)dy o 4xydy 2xy 1时 f(y) 2y。f(x,y) f(x)f(y),所以 与1f (x, y)dy Q8xydy 4x(14y2(x)f(y),所以与不独立。x2)

36、19、证：当0的联合分布密度为p (x,y)-3 ,8 (1 sin xsin ysin z)dzz-3 sin xsin y( cosz)8其余p(x, y)x 2时,22 1(x)0 dy 0 8-13(1 sin xsin ysin z)dz ；其余p(x)0。由于三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当时，pz 2 时，p (x, z) 1/4 2；当 0 y 2 , 0 z 2 时，p (y, z) 1/41/2 ；当0 z 2时，p (z) 1/2 ；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于p (x,y) p(x)p(y),p (x, z) p(x)p (z), p (y,z

37、)p (y)p (z),故，两两独立；但当02 ,0 z2 时有 p(x, y,z) p(x)p (y)p (z)，故，不相互独立。20、证：当 |x| 1 时，p (x)p(x,y)dy其余p (x) 0。同理当Iy I 1 时，p(y) 1/2其余 p (x)0 当 0 |x| 1,0 y 1时有p(x,y) p (x)p (y),所以 与 不独立。现试能动分布函数来证2与2独立。2的分布函数记为F1(x),则当0 x 1时,Fi(x)2P 2 xP ,XBx-dx 2同理可求得 2的分布函数F2(y),得0,Fi(x)X, 0F2(y)1,1,0,.y,1,y1,（2, 2）联合分布函数

38、记为F3(x,y),则当01, y 1 时同理得当0F3(x, y)F3(x,y)P2x,y P 2xy 1, x 1 时 F3(x, y)、）;当 0x 1,p22x,y Pyx_ds'x.xy合起来写得0, x,F2(x, y) y,xy,1,1,y1, y 1,x 1,01不难3证F3(x,y)F（x）F2（y）对所有x, y都成立,所以2 .独立。21、证：（1）由褶积公式及独立性得P 1kk P 1i 0i,iP 1iP2 k i这就证明了 P 1 k|k i 1一 ei 0 i !e(k i)!k2)k!i 0i !(k1)!(12)kk!e ( 1 2) e0,1,2,2

39、具有普阿松分布，且参数为、P 1 k, 122 nP 12 nnP 1 k, 2 n kP 12 nP1PkP 2k12 n22、证：由题设得P123、P1PP同理可证所以所以解：P1,1,P11P(P1,P(Pk1-e k!P(P(11,11,(n k)!1,11,1,11,1,111PP1相互独立。用同样的方法可片P 1,1,1P(P只两两独立而不相互独立。kk-e k!k 0,1,2由此得(1)Pakkb e k!(2)Pk2k一e k!1,P1P1,1P1P111Pn2) J 12)e n!证毕。1)1)1,1,111111111111)P 1 P1)1P1P1，1 , P也相互独立。

40、1 1Pk 0,1,20,1,21,11,1P1P1.124、解：（1）由P 00知， 以概率1取有限值。当y 0时,1,1)，f (y)P 0当y 0时,f (y)当y 0时,(2) F (y) Ptgy(3)当 y 0时，F(y)0；f (y)k万0时,f (y) p25、解：设直径为随机变量d,圆面积1 d2。当144Pd(x)1 2 b时, 4Fa(y)PSyp(x)dx。p(x) dx 1 p(x)dx;01 p(x)dx;yarctg y)p(x)dx。k arctg yk p(x)dx22a 时 Fa(y) 0 ;当得圆面积的分布密度为，当 y(b0,a)其它1 d24b2时 F

41、a(y)a2 14Pd , 4y4y-dx ； b a1。由此对Fa(y)求导(利用对参数积分求导法则)b2 时 pa(y)y pa(y)F'a(y)-：(b a) y26、解：与的密度函数为(x) p(x)1,0,(1)由卷积公式及独立性得的分布密度函数为p (y)p (x)p (yx) dx(2)其它0 x y，当 11。所以当A00 y 1时（2）中积分为当1 y 2时，（2）中积分为yp (y)01 1dx y1p (y) 丫 J 1dx 2 y;把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0x1,0 y x 1,满足此不等式组的解 （x, y）构成 D图中平面区域平形四边形 ABC

42、D当0 y 1时 1 B对其余的y有p （y）0 o27、解：p (x) p(x)1 _x2(x, y)由求商的密度函数的公式得p (y)|x| p(xy,x)dx|x|1-(e 1 22x2)dxxe1x2(1 y2)2 dx111 y21x2(1 2y2)1(1 y2)28、解：作变换，令s x y, t一服从柯西分布。的联合密度应是它们单个密度的乘积,由此得1-x211 y2puv (s-t)2=e 22=e 2|J| 2U,12 eV的联合密度函数为st 2s t 2 214(s2 t2)1一 ee4.22所以u,v两随机变量也相互独立，且均服从12N (0-e 22)。pu (s)pv (t)29、解：当y 0时由独立性得1 f (y) P yP1 y,y,ynP 1i 1yn(1i 1(