空间向量知识点归纳总结

1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。1 .空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。(2)向量具有平移不变性2 .空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如r b ra 加B 山。 戕运算律：加法交换律：abba加法结合律：(a b) c a (b c)数乘分配律：(a b) a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3 .共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b,记作

2、ab。(2)共线向量定理：空间任意两个向量a、b (b?0) , a/b存在实数 入 使a =心。(3)三点共线：A、B、C三点共线<=>AB AC<=> OC xOA yOB其板 y 1)一a(4)与a共线的单位向量为=a4.共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件一， 一 r r r是存在实数x, y使p xa ybo(3)四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>AP xAB yAC<=>OP xOA yOB zO

3、C (其中 x5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向araja量p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y, z,使p xa yb zca,br,c 叫a r aa r若三向量ab,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底, 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设o,a,b,c是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的三urnaunauuumua个有序实数x, y, Z,使OP xOA yOB zOC。6 .空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系 O xyz中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组

4、V*(x, y, z)，使OA xi yi zk ,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x,y,z), x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A (x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点 为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位yj zk= (x,y,z)r r r一 +正交基底，用i, j,k表示。空间中任一向量a xi(3)空间向量的直

5、角坐标运算律：rrr r若a(明道2自)，b(匕达心)，则a b(&b?，%4),r rra b (ai n b?© b?), a ( a, a?, a3)(R),r ra b a1bl a2b2 a3b3,r ra/b aibi,a2b2,a3bs(R),r ra ba1bl 32b2 a3b3 0。uur若 A(xi,yi,zi) , Bmz),则 AB d X, y2 *2 4)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A(xi,yi,zi), B(x2,y2,z2), ap pB,则点p坐标为('x2

6、yiV2ziz2,i )。推导：设 P ( x,y,z )则(x Xi,y yi,z Zi)依 x，v? y22 z),显然，当 p为AB中点时，P(Xi X2 yi V2 Zi Z2 ABC中，A (%,丫12),8%，丫2，4)区，丫3,23),三角形重心P坐标为 P(XiX2X3 yiV2 V3 Zi Z2Z3' ABC的五心:内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AB AC、AP (尸尸=)(单位向ABAC外心P:外接圆的圆心，中垂线的交点。P.PBPC垂心P:高的交点：PA PB PA PC PB PC(移项，内积为0,则垂直)重心P:中线的交点，三等分点(中位线比)APi

7、-(AB AC) 3中心：正三角形的所有心的合一。rr(4)模长公式：右 a (a,a2,a3) , b (bbh),则1J | VaT Ja； a22 a32 , |b | ,n222* bib2b3r r r a b(5)夹角公式：coS a b 1 丁 r=2lai 1bIaiaibia2b223均-22 r222 °a2a3 blb2b3 ABCAB ?AC 0 <=>A为锐角AB? AC 0 <=>A为钝角，钝角(6)两点间的距离公式：若 A(X), yi, Zi) , B(X2,y2,Z2),uuuuur 2-贝U |AB | VABJ(X2 为)

8、2 (y 丫了 4,或 dA,B(X2 Xi)2 (y2 yi)2 S 4)27 .空间向量的数量积。r(i)空间向量的夹角及其表不：已知两非零向量a,b,在空间任取一点o,wo作MB wo rar rr rAOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定r a若*raJr br ,一，一，则称a与b互相垂直,2cr J一一，r .0a,b,显然有 a,br记作：a b。(2)uuu向重的模：设OA a ,则有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模,记作:|a| 0.r .r r . r r(3)向量的数量积：已知向量 a, b ,则|a| |b| cos a, b 叫做a,b的r r rr

9、r r r数量积，记作a b,即 a b|a| |b|cos a,b°(4)空间向量数量积的性质：rer ar bra o reJ r ar brararara(5)空间向量数量积运算律：rrrrrrrrrr(a)b(ab)a(b)。 abba(交换律)rJr、rJrra(bc)abac(分配律)。-f -*不满足乘法结合率：(a b)c a(b c)二.空间向量与立体几何1.线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直2-1线面垂直 线与面的法向量平行2-2面面垂直 两面的法向量垂直3线

10、线夹角 （共面与异面）0O,90O两线的方向向量ni,nr的夹角或夹角的补角，cos cos n1, n23-1线面夹角0O,90O：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即11是线面的夹角8ncos AP,n3-2面面夹角（二面角）0°,180°:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.cos cos n1,n24.点面距离h :求点P xo,yo到平面的距离：在平面上去一点Q x,y , 一uuuPQ ? n得向量PQ.； 计算平

11、面 的法向量n ;. h =；n4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1 .基本运算与基本知识（）例1.已知平行六面体 ABCDabcd ,化简下列向量表达式，标出化简 结果的向量。uur uur AB BC ;uuu uuuruuir(2) AB AD AA ;uur uuur 1 uuuu AB AD - CC ； 21 uuu uuir uuur一(AB AD AA) 3例2.对空间任一点。和不共线的三点A,B,C,问满足向量式：uuu uuu uuu uuurOP xOA yOB zOC (其中x y z 1)的四点P,A,B,

12、C是否共面?例 3 已知空间三点 A (0, 2, 3) , B ( 2, 1, 6) , C (1, 1, 5)。求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S;若向量a分别与向量AB,AC垂直，且图=值,求向量a的坐标。2 .基底法(如何找，转化为基底运算)3 .坐标法(如何建立空间直角坐标系，找坐标)4 .几何法编号03晚自习测试；17, 18题例4.如图，在空间四边形 OAB», OA 8, AB 6, AC 4, BC 5,OAC 45°,OAB 60o,求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如Oa,Ac1350易错写成uur uuur

13、OA,AC 45。，切记！例5.长方体ABCD A1B1CR中，AB BC 4, E为Ap1与BR的交点，F为BC1与B1C的交点，又AF BE,求长方体的高BB1。【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点，化简uur uuu uuurF列各表达式，并标出化筒结果向量：(1) AB BC CD;uuu 1 umr uuuruuur 1 uuu uuu AB 一(BD BC)；(3) AG -(AB AC)。222 .已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量。uuur uuruuruuu umr uuur uuuruurOE kOAOF kO

14、BQG kOC,OH kOD。(1)求证：四点E,F,G,H共面;(2)平面AC 平面EG。3 .如图正方体 ABCD ABiCiDi中，BE DR AB一 求BE1与DF1所成角的余4弦。5 .已知平行六面体ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 900,BAA DAA 60 o ,求 AC 的长。3.参考答案1.解:如图,2.uuuuuituuuruuuruuruuur(1)ABBC CD ACCDAD ;uuu1 uuuruuuruur1 uuur1 uuur(2)AB(BD BC)AB-BC BD。222uuuUUUUuuuuuuurABBMMG AG ；uu

15、ur1 uuuuuuruuuruuuu uuuu(3)AG-(AB AC) 2AGAM MG。解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.uuuruuuruuu EGOGOE ,uur AC二 e,f,g,h共面;UUT(2)解：EFUUir uuuOF OE/. EF /AB, EG / AC 。所以，平面AC平面EG。解：不妨设正方体棱长为1,uuuABuuurAD ,uuu uuu uur UULTk(OB OA) k AB ,又 Y EG建立空间直角坐标系O xyzuuurAC3则 B(1,1,0),E1(1,3,1),41D"UUUU二 BE11 UUUU(0,4,1), DF11叼八UULUI二 BE1UUUUDF1174 ，UULUI UUUUBE1 DF1UUUU UULUI cos BE1, DF1, 1 *()4 4151617 171517UUU4.分析：(1) Q AB2,./ BAC