2015苏教版选修2

1、抛物线的几何性质【课时目标】1了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线 方程研究抛物线的几何性质的方法 2了解抛物线的简单应用.1. 抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2 = 2px(p>0)范围：抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是 ，抛物线在y轴的侧，当x的值增大时，|y也，抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性：抛物线关于 对称，抛物线的对称轴叫做 .顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 .抛物线的顶点为离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的，用e表示，其值为.抛物线的焦点到其准线的距离为 ，这就是p的几何意

2、义，顶点到准线的距离为p,焦点到顶点的距离为.2. 抛物线的焦点弦设抛物线y2= 2px(p>0) , AB为过焦点的一条弦，A(xi, yi), B(xp, yp), AB的中点M(x o, yo),则有以下结论.(1) 以AB为直径的圆与准线 .(2) AB =(焦点弦长与中点坐标的关系 ).(3) AB = xi + X2 +.A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即xiX2=, yiy2 =-柞业设计一、填空题I .边长为I的等边三角形 AOB , O为原点，AB丄x轴，以0为顶点且过 A , B的抛 物线标准方程是.2. 抛物线y2= 2px (p>0)上横坐标为4的

3、点到焦点的距离为 5,则此抛物线焦点和准线 之间的距离是 .3. 若过抛物线 x2=- 2py (p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为6,则其焦点坐标是. 2 24. 若抛物线y2 = 2px的焦点与椭圆x + y = I的右焦点重合，贝V p的值为.6 25. 已知F是抛物线C : y2 = 4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段 AB的中 点为M(2,2)，则 ABF的面积为 .6. 抛物线y2= 2px与直线ax+ y-4 = 0的一个交点是(i,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为.2-> ->7设0为坐标原点，F为抛物线y =4x的焦点，A为抛物线上一点，若

4、OA AF = - 4, 则点A的坐标为.&已知点Q(4,0), P为y2 = x+ I上任意一点，则 PQ的最小值为 .二、解答题9. 设抛物线y= mx2 (m工0)的准线与直线y= i的距离为3，求抛物线的标准方程.10. 已知抛物线y2= 2px (p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为 m, n的两1 1部分.求证：一+ -为定值.m n【能力提升】11. 设抛物线y2= 8x的焦点为F,准线为I, P为抛物线上一点，PA丄I , A为垂足，如 果直线AF的斜率为(3,那么PF=.12 已知直线I经过抛物线y2= 4x的焦点F,且与抛物线相交于 A、B两点.(

5、1)若AF = 4,求点A的坐标；求线段AB的长的最小值.通反思感悟1. 研究抛物线的性质要结合定义，理解参数p的几何意义，注意抛物线的开口方向.2 解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦，焦半径公式的应用. 解题时注意整体代入的思想，可以使运算、化简简便.3 与抛物线有关的最值问题具备定义背景的最值问题， 可以转化为几何问题； 一般方法是建立目标函数，求函数的最值.2. 4.2抛物线的几何性质知识梳理1. (1)x> 0右 增大 (2)x轴抛物线的轴顶点 坐标原点离心率1(5)p p2Pp22. (1

6、)相切(2)2(xo+ 2)(3)p(4)；- P作业设计1. y2=±rx解析 易求得A, B的坐标为于,±1或-"f，±1，又由题意可设抛物线标准方程为 y2= i2px (p>0)，将A, B的坐标代入即可求得.2. 2解析由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故4 +号=5, p = 2，此抛物线焦点和准线之间的距离为p = 2.3. 0， 3解析易知弦的两端点的坐标分别为一p,- 2 , p, - 2，则有2p = 6, p= 3故焦点坐标为0,- 2 .4. 42 2解析 椭圆6 +专=1的右焦点为(2,0)，即p

7、= 2，得p= 4.5. 2解析设 A(* , y1), B(x2 , y2),则 y1= 4x1, y2= 4x2.(y1 + y2)(y1 y2)= 4(X1 X2).tx1M x2 ,y1- y24= =1.X1 X2 y1+ y2直线AB的方程为y 2= x- 2,即y= x.2将其代入 y = 4x，得 A(0,0) , B(4,4).AB = 4 2.又 F(1,0)到 y = x 的距离为'S/ABF6攀解析坐标是由已知得抛物线方程为y2= 4x,直线方程为2x+ y 4= 0,抛物线y2= 4x的焦点|2+ 0 4|2/5F(1,0)，到直线2x+ y 4= 0的距离d

8、=，=亡5.寸2 + 157. (1,2)或(1 , 2)解析 设 A (X0,yo) ,F(1,0),(X0, yo),AF= (1 x0, y0),OA AF= x°(1 xo) y0= 4.22 y0= 4X0,. X0 X0 4X0 + 4 = 0, 即 x0+ 3x0 4= 0, x0= 1 或 x0= 4(舍). X0= 1, y0= ±8迈8. 2解析 设点 P(x, y).Vy2= x+ 1,.x> 1.PQ = X='x2 7x+ 17 =4 2 + y2 =寸(x- 4 $+ x+ 1 卜2)+詈.当 x=,PQ min =2 .2219.

9、 解由y= mx (m 0)可化为x =匚丫，1 其准线方程为y=.4m1 1由题意知一4m= 2或-4m= 4，1 1解得m = 8或m = 16.所以所求抛物线的标准方程为x2= 8y或x2 = 16y.10. 证明 若AB丄x轴，直线AB的方程为x= p, 则 A p, p , Bp，一 p ,.m= n = p,1 1 2m n p，若AB不与x轴垂直，设直线 AB的方程为(p 、工y= k x 2，设 A(X1, y) B(X2, y2), 则 m= AF = X1+ 2， n = BF = X2+ *. 将AB方程代入抛物线方程，得.2 2,22八2小、k p小kx (k p+ 2

10、p)x+ 4 = 0.22k P + 2p£ 'x1 + X2=r2, X1X2= 4 ,11X1 + X2 + P牛_=2m nppX1 + X2+ pX1X2 + 2 X1 + X2 + 2"2= -X1 + X2 + 2-1 1故m+1为定值.11.8L7期Jq 一1rV2联立得A解析 如图所示，直线 AF的方程为y=3(x-2)，与准线方程X(-2,4 ,3).设 P(xo,4 3),代入抛物线 y = 8x，得 8x0= 48,.xo= 6,PF = xo+ 2= 8.12. 解 由y2= 4x,得p = 2，其准线方程为x=- 1,焦点F(1,0). 设 A(X1, y1), B(X2, y2).分别过A、B作准线的垂线，垂足为A'、B'.(1)由抛物线的定义可知，AF = X1 + -从而 X1= 4- 1 = 3.代入 y2= 4x,解得 yi= ±J3.点A的坐标为(3,2 .3)或(3 , - 2 .3).(2)当直线I的斜率存在时， 设直线I的方程为y= k(x-1).y= k(x 1)与抛物线方程联立2y = 4x消去 y,整理得 k2x2- (2k2+ 4)x+ k2= 0,因为直线与抛物线