第一章电磁现象的普遍规律

1、第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：解：矢量性为 微商性 由得 +得上式得令得 2.设是空间坐标x，y，z的函数，证明：解： 3.设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。 证明下列结果，并体会对源变数求微商（）与对场变数求微商 （ ）的关系 （最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节） 求及，其中及均为常矢量。解：或这样证明（梯度的旋度恒为零）。 （注！这里如果没有引入张量。可以采用分量的方法进行证明,如下）第一项 注，这个题出错率比较高，也可以这样证明：4. 应用高斯定理证明 应用斯托克斯（Stokes）定理证明解：用一非零任意常矢量点乘原式左边

2、，得所以上式右边= 应用高斯定理得再利用三矢量混合积，得因为为任意非零常矢量，故注，这个题出不会证的同学比例较高，大家也可以试着这样证明：等式左边的x分量为利用 所以再利用高斯定理，得可见，的x分量与的x分量相等。同理，可证y 与z分量都如上所证相等。故 （证毕） 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为利用电荷守恒定律证明的变化率为解： 取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的，则 6. 若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。解： 7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷

3、，求 空间各点的电场； 极化体电荷和极化面电荷分布。解：对空间做高斯面，由： 对空间：做高斯面，由 对空间: 做高斯面，由 由 时,由边值条件:(由1指向2)8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：由 所以 所以方向为 对区域由 方向为 对区域有: (2) 由 由 由同理由 得9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。即：解：由均匀介质有 10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）解：令两个线圈中的电流分别为和。

4、电流圈对另一个电流圈中的电流元的作用力为： 其中 是电流圈在电流元处激发的磁感应强度，是从中的电流元到电流元的矢径。将式代入式，并对积分，利用斯托克斯定理,同时注意到,即得到电流圈对的作用力： 同样，电流圈对中的电流元的作用力为: 其中 是电流圈在电流元处激发的磁感应强度,是从电流元到电流元的矢径。对的作用力为 注意到于是有 11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 和 ，电容率为 和，令在两板接上电动势为 的电势，求：电容器两板上的自由电荷面密度介质分界面上的自由电荷面密度；若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解： 由 得当介质漏电时由得有同理1

5、2. 证明： 当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。当两种导电介质内流有恒电流时，分界面上电场线曲折满足，其中1和2分别为两种介质的电导率。解：因为两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷，故边值关系为 若两种介质都是线性均匀的，即，则 当电流恒定时，边值关系为 ，若两种介质都是线性均匀的，即 则 13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体的电场线总是平行于导体表面。解：设导体为1介质，介质为2介质。设导体表面自由电荷面密度为，静电平

6、衡条件下，导体内电场为零，由边值关系： ，知，即导体外表面处的电场的切向分量为零，电场线垂直于导体的表面。在恒定电流情况下：由稳恒条件，在界面上有，又由于，代入上式，得 即导体内表面处电场线总是平行于导体表面。14. 内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，极间填充电导率为的非磁性物质。（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求随时间的衰减规律（3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度（4)求长度为l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。解：（1）证明：由电流的连续性方程：，根据高斯定理即即传导电流与位移电流严格抵消。【本题也可以这样证明：由题意知电容器外部无电场，若内部介质线性均匀，便有。以圆柱的中心轴为z轴，则根据体系的对称性，可根据高斯定理得介质中的 (1)介质中的传导电流密度和位移电流密度分别为：(2)将上两式都求散度，并由场方程和电流连续性方程，(3)得电极上自由电荷密度的时变率为： （4）将(4)代入（2）的第二式，再与相加，得介质内任何一点任意时刻均