江苏省南通市高一上学期期末数学试题

2020～2021学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算点到原点的距离，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】点到原点的距离，由三角函数的定义可得：，故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，化简集合，由集合，根据交集的概念，即可得出结果.【详解】因为，，所以.故选：D.3.若命题，，则命题p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得正确答案.【详解】命题，，则命题p的否定是，，故选：C4.在一种新型流行病疫情防控中，病毒检测是确诊患病与否的有效快捷手段.某医院在成为病毒检测的定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天每个检测对象平均耗时为16小时，第64天和第67天每个检测对象平均耗时均为8小时，则第25天每个检测对象平均耗时大致为（结果精确到个位）（）A.16小时 B.13小时 C.9小时 D.8小时【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，先确定，得出，求出和，进而即可得出结果.【详解】因为第n天，每个检测对象平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为，其中为定值，又第64天和第67天每个检测对象平均耗时均为8小时，所以，，又第16天每个检测对象平均耗时为16小时，所以，，解得，代入可得，所以，因此第25天每个检测对象平均耗时为小时，故选：B.5.若，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，由题中条件，即可求出结果.【详解】因为，所以，即，即，所以.故选：B.6.已知函数的图象如图，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由的零点可排除选项A；由时，，可排除选项C，由可排除选项D，即可得正确选项.【详解】对于A：，令，可得，由图象知只有，故选项A不正确；对于选项C：，由的图象知当时，，故选项C不正确；对于选项D：在处没有定义，由的图象可知，故选项D不正确；由排除法可知选项B正确，故选：B【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式：根据图象的定义域，单调性、奇偶性、特殊点的函数值、极限思想等利用排除法可求解.7.已知函数满足，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用周期性求出后可求的值.【详解】因为，故，故，故，所以，故选：B.8.已知，，，则使得的实数对有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】D【解析】【分析】先判断函数是奇函数，且在上单调递增；根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为的定义域为，显然定义域关于原点对称，又，所以是奇函数，当时，显然单调递增；所以当时，也单调递增；又，所以函数是连续函数；因此在上单调递增；当时，，因为，所以为使，必有，即，解得或或，即使得的实数对有，，，共对.故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数是奇函数，且在上单调递增，得出时，的值域，列出方程，即可求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（）A. B.收缩压为120C.舒张压为70 D.每分钟心跳80次【答案】BCD【解析】【分析】由图象的周期可求出的值，可判断A，分别求最大值、最小值可判断选项B、C，计算频率可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】由图知：，所以，可得，故选项A不正确；所以，由图知在一个周期内最大值为，最小值为，所以收缩压为120，舒张压为70，故选项B、C正确；每分钟心跳数为频率，故选项D正确，故选：BCD.10.已知函数，则（）A.的图像关于y轴对称 B.的最大值为3C.是的一个周期 D.在上的最小值为【答案】AC【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义周期性以及对勾函数单调性与值域直接判断.【详解】由得函数的定义域为，，为偶函数，故A选项正确；，故是的一个周期，C选项正确；设，函数，在和上单调递减，故函数无最大值，故B选项错误；时，，此时，故D选项错误；故选：AC.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．11.下列说法中，正确的有（）A.B.幂函数图像过原点时，它在区间上一定是单调增函数C.设，则“”是“”的必要不充分条件D.“”是“函数为偶函数”的充要条件【答案】ABC【解析】【分析】A选项，根据对数运算性质，直接计算，可判断A正确；B选项，根据幂函数过原点，得到的范围，即可判断函数单调性，得到B正确；C选项，根据对数运算性质，以及充分条件与必要条件的概念，可判断C正确；D选项，根据充分条件与必要条件概念，由三角函数的性质，即可判断D错.【详解】A选项，，即A正确；B选项，幂函数图像过原点时，，所以，因此在区间上一定是单调增函数，即B正确；C选项，，若，则，则，所以，因此或；若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，即C正确；D选项，若，则显然是偶函数；若是偶函数，则，所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，即D错；故选：ABC12.已知正实数x，y，z满足，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】令则，可得：，，利用对数的换底公式计算可判断选项A，验证是否正确可判断选项B，由于，比较可判处选项C，利用基本不等式可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】令则，可得：，，对于选项A：，若则，因为，所以，故选项A不正确；对于选项B：由可得，即，因为，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，因为，所以，因，所以，即，即，故选项C正确；对于选项D：，，因为，因为所以等号不成立，所以，即，所以，根据“或”命题的性质可知选项D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令则，可得：，，再利用对数的运算性质以及换底公式化简每一个选项的等式，注意利用基本不等式时等号能否成立.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为______.【答案】.【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】由扇形的面积公式可得该扇形的面积为，故答案为：.14.已知函数图象的一条对称轴是直线，则的值为______.【答案】【解析】【分析】将代入结合即可求解.【详解】将代入可得，所以，因为，所以，，故答案为：.15.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在某次事故中，根据现场勘测结果，肇事汽车的刹车距离为72m，经查询知该车的刹车距离sm与车速v之间的关系为，则该车的速度为______.【答案】.【解析】【分析】将代入即可求解.【详解】将代入可得，即，可得，解得：或（舍）故答案为：.16.若，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】令，则，代入原不等式利用立方差公式进行因式分解可得，令，利用导数证明，结合，可得，进而可得，即可求出的范围，也即是的范围，即可得最大值.【详解】令，则，代入原不等式可得，即，所以，即，所以令，令，则，所以，因为，所以，即，因，所以，解得：，又因为，所以，即，所以的最大值为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用换元法可简化所解不等式，利用立方差公式可进行因式分解，再判断每一个因式的符号，即可求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）用区间表示集合P；（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：①充分不必要；②必要不充分；③充要.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）解不等式后可得集合.（2）根据条件关系可得对应集合的包含关系，从而可得参数的取值范围.【详解】（1）因为即，所以，.（2）若选择①，即是的充分不必要条件，则且（两个等号不同时成立），解得，故实数m的取值范围是．若选择②，即是的必要不充分条件．当时，，解得．当时，且（两个等号不同时成立），解得．综上，实数m的取值范围是．若选择③，即是的充要条件，则，即此方程组无解，则不存在实数m，使是的充要条件．【点睛】方法点睛：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．18.已知.（1）化简.（2）若锐角满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式，将原式逐步化简，即可得出结果；（2）根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，求出，再将所求式子化为关于的式子，即可求出结果.【小问1详解】【小问2详解】因为，且是锐角，所以，所以，则．19.已知.（1）求实数a的取值范围；（2）求不等式的解集；（3）若函数在区间上有最小值，求a的值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用指数函数单调性，先将所给不等式化为，求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，由对数函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果；（3）令，设，，讨论和两种情况，结合二次函数的单调性，确定最小值，结合题中条件，列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，所以，所以；（2）因为且，所以，解得．所以不等式的解集为；（3）令，则，设，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，解得．当时，在区间上单调递增，所以，解得（舍去）．综上可得：．20.为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组.该小组计划用两块全等的、周长为40的矩形材料拼成如图所示的物件.其中，矩形和矩形的对角线交点重合，.依次取，，，的中点，然后沿图中虚线剪去八个全等的三角形，形成一个星状图形.（1）当四边形的面积为36时，求星状图形面积；（2）求星状图形周长的最小值.【答案】（1）星状图形面积为84；（2）星状图形周长的最小值．【解析】【分析】（1）利用平面几何性质，星状图形中每个角的面积是所在矩形面积的一半，故四个角的面积之和等于矩形与矩形的面积之和，从而星状图形的面积等于矩形的面积；（2）设，，根据勾股定理求得星状图形的边长，及周长，再利用二次函数性质求最值.【详解】（1）设，因为四边形是正方形且面积为36，所以．因为，所以．星状图形中每个角的面积是所在矩形面积的一半，故四个角的面积之和等于矩形与矩形的面积之和，从而星状图形的面积等于矩形的面积，所以星状图形面积为84．（2）由题意得星状图形边长均相等．设，，则．因为，所以，所以．记的中点为P，则，，所以，记星状图形周长l，则，当，时满足，．由于，满足，故符合答案的星状图存在.21.已知函数的最大值为2，其图象与y轴交点为.（1）求的解析式；（2）求在上的单调增区间；（3）对于任意，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）和；（3）.【解析】【分析】（1）先由最值，求出，再由函数过点，求出，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间上的增区间；（3）先由，得到，令，将问题化为在时恒成立，进而可求出结果.【详解】（1）因为最大值为2，所以．因为过点，所以，又因为，所以．所以．（2）因为，所以．当时，；当时，．又因为，所以在上的单调增区间是和．（3）因为，所以，所以．令，则在时恒成立，即在时恒成立，令，，任取，则，，所以，即，所以在上单调递减，则，所以只需，即实数m的取值范围是.【