学习微积分在数学文化中的价值

1、第一章 绪论1.1 课题背景和意义如今，数学已成为大学生的必修课之一，而微积分则是数学学习中的重要的基础课程，贯穿整个数学学习的始终。随着我国教育思想的根本转变，如何贯彻落实素质教育，提高学生运用数学思想在实际运用中的作用则越来越受到社会各界的关注，对于如何通过对微积分的学习来提高我们对数学文化的认识也成为教育部门积极探讨的话题。可见，研究微积分在数学文化中的价值有着重要的现实意义。所谓微积分，故名思义，它包括微分学和积分学。但在数学发展的长河中，它们是相互独立地发展起来的，先有积分再有微分，最后才有微积分。同时我们也应该看到，微积分的创立远非几个人的工作，它经历了一个漫长而曲折的过程。早期的

2、数学家们勇于开拓并征服了众多的科学领域，把微积分应用到天文学、力学、光学、热学等各个领域，为微积分的发展提供了广阔的空间，并在此过程中形成了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等等，大大扩展了数学研究的范围。所以，微积分的建立与发展对数学历史发展有着重要的意义。数学的发展有其悠久的历史，尤其是微积分的发展，不但是一部文明史，而且也是一部文化发展的史书。无论是公元600年以前的早期数学，还是公元前600年到300年之间的古希腊数学，数学都作为一门有组织的、独立的和科学的学课而存在。但此时的数学，往往是为数不多的数学家们研究的对象，普及率很低，人们普遍使用的数学仅仅

3、停留在简单的加减乘除阶段。经过数百年的发展与演变，如今的数学已然已经成为一门大众化的课程，我们从小学开始就学习数学，从简单的加减乘除开始到复杂的高等数学，可以说数学贯穿了我们整个学习生涯，对他的研究已经不在是少数几个数学家的专利，而 是我们普及义务教育的基础的和重要的课程。微积分作为整个数学发展过程中的重要主线，对数学的发展起着举足轻重的作用。17世纪后半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼茨以其卓越的天才首先明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系，建立了微积分基本定理，并且系统地总结出了一套强有力的算法，也正是因为这几点，使他们俩成为微积分的创立人。微积分建立以后，分析学飞快地向前发展，18

4、世纪达到了空前灿烂的程度，其内容的丰富，使人来不及检查和巩固这一领域的理论基础，因而遭受到了种种非难。到了19世纪初年，许多迫切的问题已基本上得到解决，数学家便开始了基础的重建与严格化。微积分这部无穷交响乐的演奏过程，引人注目的变化则是20世纪初，数学家们将函数的积分概念作了推广，提出了包罗广泛的积分理论，既实变函数论，而现在国内已有不少学者对此作出了比较深入的研究。而今，我们在总结前人已有的研究的基础上，更加应该注重把它的思想方法运用到实际中来，解决实际问题，从而使微积分的价值得以体现。例如：我们在解决一动态问题时，对于学过微积分并掌握得很好的同学来说，他们可以运用微积分的原理建立一个模型，

5、用动态的方法轻松得解决。而对那些没有学过微积分或者学的很少的人来说，他们对于这个问题则只能用静态的方法来处理，显然两者运算结果的差距会很大，用简单的静态的方法比运用微积分的原理的方法结果误差会更大些，更不精确些。因此，学好微积分对我们解决实际问题至关重要，尤其是要很好的掌握它的思想方法，具有重要的现实意义。1.2 国内外文献综述 我国于2001年颁布了义务教育阶段国家数学课程标准，在其基本理念中明确提出：“数学是人类生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行运算、推理和证明，数学模型可以有效的描述自然现象和社会现象，数学为其他学科提供了语言、思维和方法，是一切重大技术发展的基础

6、，数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。” 现在国内外已有不少学者在这方面做出了较深入的研究，比如：李渺在文献中着重阐述了微积分在数学文化方面的各种价值。第一，微积分具有思维价值。如果把微积分的研究单纯地看作一种技术，是谈不上对学生的思维养成的。正如当代著名数学家苛朗曾指出的：“微积分，或数学分析，是人类思维的伟大成果之一。”，所以我们应着重分析微积分对人的思维方式的培养。例如在一种新产品的销售模型上，厂家和商家总是采取各种措施，他们希望对产品的销售速度与销售数量做到心中有数，以便于组织安排。此时，如果我们运用微积分的思维方式安排一个数学模型来描绘产品推销速度，

7、并由此分析出有用结果，以指导生产和销售。这种运用微积分的思维价值的批判的、理性的、开放的思维方式的养成有利于学生的认识结构的优化，开阔思路，从而能使学生形成良好的创造性思维和创新意识。第二，微积分具有美学价值。数学美一直是指引数学家前进和奋斗不息的一盏明灯，而微积分的美，尤其具有数学美的特性。因为微积分中概念、定理、算法是一曲曲令人神往的歌曲，是一首首令人回味无穷的诗歌，在此基础上构成的微积分，体现了数学美，同时也反映了数学本质，它们都以科学、匀称、明快的语言表达出来，体现数学的简洁美、和谐美、奇异美。其中微积分的简洁美首先表现在符号美。我们知道，符号可使人们摆脱一些约束，集中精力于主要环节，

8、增加了人们的思维能力，极大地促进了数学的发展。如前所述，牛顿和莱布尼兹各自独立地发展了微积分，由于两个人研究的出发点不同，两人使用的符号也不一致。尽管如此，这些符号却被沿用至今。可以看到，微积分符号的产生与数学发展的背景有着密切的联系，同一概念开始运用不同的符号，人们在使用过程中不断对其进行鉴别，以确定优劣性，其中蕴涵着一个审美过程。其次表现在统一美。如多元微积分中的三个公式：格林公式、高斯公式、斯托克司公式都是牛顿莱布尼兹公式的推广，同时又可用高维空间的斯托克公式的推广，给人一种清新的感觉。而统一美的另外表现形式是把微积分应用于中学数学的统一，同时提高了中学数学的品位。对以上微积分的分析，使

9、人们认识到，看待事物不能用简单的“二分法”，看待纷繁复杂的世界要抓住事物的本质，从多方面、多角度去考察，让人们以动态的、辨证的、全面的、系统的观点看待问题。年仁德在文献中15中研究了微积分在数学文化中的价值。第一，微积分的学习可以培养人的创新精神。微积分是一门创新的科学，可以说创新是没有止境的，而且每一步的创新都是前人的丰富和完善。正如H.汉克指出：“在大多数科学里，一代人推倒另一代人所修筑的东西，一个人所建立的另一个人要加以摧毁。只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。”数学文化几千年的发展实践，已经充分证明了这一点。第二，微积分的学习可以感受到数学文化的艺术魅力。把文学语言与数学语言相

10、结合，可以发现美学价值另具神韵。张敬书在文献中着重指出微积分在数学文化中的重要价值。他认为，首先，我们学习数学尤其是学习微积分，应该把它看成是我们思维的工具。(a)数学具有严谨的逻辑性、高度抽象性、丰富的直觉和想象性，这就决定了数学是一种思维工具。(b)数学是人们分析问题和解决问题的思想工具，其研究方法是抽象的。人们总是通过科学抽象，建立模型，在数学模型上展开数学推导和计算，形成对问题的认识，把握现实力量。(c)数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，是使认识从感性认识上升到理性认识的阶段，并使理性认识进一步深化的重要手段。(d)数学是辨证的辅助工具和表现方式，即用数学符号语言、公式等表示各

11、种辨证的关系和转化，是一个运用数学进行思维的过程。其次，数学是一种思想方法。数学是研究量的科学，在提炼量的规律性的基础上形成各种量的推导和演算的方法，为解决问题提供数量分析和计算工具，提供推理工具和建立模型，具有一般方法论的性质和特征。1.3 本文的研究内容第一部分：认识学习微积分思想在解决实际问题中的必要性、重要性，在绪论中已有较详细的阐述。第二部分：如何体现微积分在实际运用中的重要价值，进一步运用例子加以说明。第二章 学习微积分在实际应用中的价值2.1 学习微积分在经济领域的价值众所周知，当今数学的应用几乎遍及所有的科技领域，它不仅为自然科学、工程技术以及社会科学提供了有力的工具，而且随着

12、现代科学技术和社会的发展，不断产生新的高科技，成为现代经济技术的关键部分。微积分作为数学的一个重要的分支，在经济学、管理科学中也有着广泛的应用，随着计算机技术及其它高科技的普及和发展，它在经济及管理中的重要作用性日渐突出，并且越来越多的渗透到经济领域。2.1.1 微积分中的极限理论在经济中的应用学过微积分的人肯定都知道在我们刚开始学习微积分的时候就会首先学习极限的定义，即给定数列Xn.如果当n无限增大时，Xn无限趋近于某个确定的常数a，我们就说数列Xn当n（读作n趋向无穷大）时以a为极限，记为Xn =a 或 Xna.这样一个基本的定义在我们的经济领域却有着广泛的应用。例如，货币理论中的连续复利

13、问题：设一笔贷款A0(本金)年利率为r，则k年后的本利和为Ak=Ao(l+r)k气若一年分n期计息，年利率仍为r,每期利率为，一年后的本利和为A1=A0(1+)n而k年后的本利和为Ak=A0(1+)nk，让n，则k年后的本利和为Ak=A0(1+ )nk=A0enk，即有连续复利公式:Ak=A0enk。2.1.2 微积分中的导数理论在经济中的应用例如：经济学的边际成本C二定义为:增加一个单位产品引起总成本CT的变化。边际收益定义为:附加销售一个商品引起总收益RT的变化。总成本和总收益都是产量Q的函数。所以，边际成本和边际收益在数学上可以表达为各自总函数的导数。也就是:若:Cr=Cr(Q),Rr=

14、Rr(Q),则Cm=,Rm=。边际概念的实质就是经济函数的导数。例2. 设某企业总成本函数Cr=0.001Q3-0.3Q2+20Q+500(元)，求:边际成本函数和产量Q=30件时的边际成本，并解释后者的经济意义。解：边际成本函数：Cm=0.003Q2-0.6Q+20Q=30单位时的边际成本：Cm|Q=30=(0.003Q2-0.6Q+20)|Q=30=4.7(元/件)经济意义:表示生产第30件产品时所花费的成本为4.7元。2.1.3 微积分中的极值理论在经济中的应用 例5. 设某厂成本C关于产量Q的函数为:C(Q)=5Q+200(元)，收人函数为:R(Q)=325Q-Q2(元)。间每批生产多

15、少件产品才能使利润L(Q)最大?要解决此类经济中的极值问题，则必须用到微积分中的极值理论。解：L(Q)=R(Q)-C(Q)=320Q-Q2=-200L'(Q)=320-2Q令L'(Q)=0，得Q=160(件) L"( Q )=-2<0 , L(160 )=25400(元)为极大值，也就是最大值。即每批生产160件产品时，利润最大。2.1.4 微积分中的积分理论在经济中的应用在应用这个理论之前我们先来明确几个概念即： 消费者剩余与生产者剩余:消费者以高于均衡价格购买的部分，叫消费者剩余;生产者以低于均衡价格所供应的部分，叫生产者剩余。 例1：设需求函数P=45-O

16、.5Q , PQ=32.5 ,QQ=25，求消费者剩余CS 解: CS=-32.5·25 =156.25 例11.设供给函数P=(Q+3)2·P0=81,Q0=6，求生产者剩余PS 解:Ps=81·6-=252 例12. 已知净投资率为I(t)=180t，原始成本(即t=0时的成本)为200，求资本K作为时间的函数K(t).解： K(t)=·180t+C=100t+CK(0)=200,C=200所以K(t)=100t+2002.1.5 微积分中的微分方程理论在经济中的应用 例16某市工农业总产值y随时间t的变化率为:-0.002y+0.00203 ,假定

17、y(0)=0，求该市工农业总产值y与时间t的函数关系。解:由题意，有=-0.002y+0.00203对应的齐次方程为:=-0.002y,分离变量得dy=-0.002dt，积分得lny=-0.002t+C1 y=ce-0.002t用常数变易法，令y=c(t)e-0.002t有=c'(t)e-0.002t-c(t)·0.002e-0.002t代人得。c'(t)=0.00203·e0.002t积分得c(t)= 0.002t方程的通解为y=+ce-0.002t=1.015+ce-0.002t y(0)=0,c=-1.015-0.002t 2.2 学习微积分在日常生活

18、中的价值一般人们一提起数学，都会用抽象、精确等等词来形容，仿佛它是一座不可逾越的高山。然而，随着社会的进步，科技的发展，数学方法比任何一种科学方法的应用范围都更为广泛，或者说，任何一门学科的发展都必须引进和应用数学方法。可以说，目前只存在尚未运用数学方法的领域，而不存在不能运用数学方法的领域。许多相同形式的数学模型可用于不同的实际问题，并且具有重要的类比和借鉴意义。在人们的日常生活中，经常接触到的是具体的极限、连续与间断问题。例如在购买商品时，当某种商品的价格不变时，购买的商品数量X，就决定了应该支付的货币Y，即Y=f(x)。如果某种商品的单价为P，则无论要购买多少商品，对应于某商品数量x的每

19、个变动x，就会有相应的支出额y的变动y。这些在我们平时都习以为常的买卖过程中，其实就蕴涵了很多的数学知识在里面。再如，公路运输中，当运距在10公里以内时，运价要高一些，10公里至100公里则要低一些，100公里以上的长途运输运价就更低一些。假设10公里以内的运价为5元/吨公里，10公里至100公里为3元/吨公里，100公里以上为2.5元/吨公里、并设运输工具的载重量都是1吨。则此时，作为一个公司的老板，就必须考虑如何分配货物的运输，才能使得总收益减去总成本后的总利润最大。这些问题的解决，无不体现微积分在实际应用中的价值。在经济日益发展的今天，微积分的地位也与口俱增，贷款、养老金、医保等金融问题

20、越来越多地进入普通人的生活。随着住房的私有化，个人住房抵押贷款成了人们生活中的重要一项，所以，各种各样的贷款方式铺天盖地，如何选择一种既经济实惠又符合自己经济能力的贷款方式，成为想贷款买房的人首先应该考虑的事情。例如：设贷款额为S0，月还款为m，贷款后第k个月时欠款余额为BK，则由第k个月到第K+1个月中，除月还款m外还有什么因素参与?无疑是月息，设月利率为r,则BK+1=(1+r)BK-m k=0,1,2 (1)即BK=(1+r)BK-1-m k=0,1,2 (2)由(1)式减去(2)式，得递推公式：BK+1- BK=(1+r)( BK-BK-1) k=0,1,2 (3)令AK-1= BK-

21、 BK-1 k=0,1,2 (4)则(3)式变为:AK=(1+r) AK-1 k=0,1,2 (5)于是有AK=(1+r)k-1 A1 k=0,1,2 (6)由(4)式和(6)式可知：Bk-B0=A0+A1+A2+AK-1= A01+(1+r)+(1+r)k=( B1-B0)=(rB0-m) = B0(1+r)k+1- B0-(1+r)k+1-1 k=0,1,2 从而得到Bk=B0(1+r)k+1-(1+r)k+1-1 k=0,1,2 （7）设第n个月已还清贷款，则Bn=0,代入(7)式得m=rB0(1+r)k+1/(1+r)k+1-1 (8)因此，若某人掌握微积分的知识，如他贷款B0，月利率

22、为r,共贷款n个月，则每月需还贷款公式马上可用(8)式来代。上式同样也适用于购车贷款等的按月还款，使用非常方便快捷，给我们的生活带来了很大的帮助。 2.3 学习微积分对培养人的能力上的价值在微积分的学习中，我们主要是运用“具体抽象具体”、“联想变换联想”、“观察思考归纳”、“概念升华应用”等方法，经过这样长时间的训练，可以提高学生的自学能力、运算能力、推理能力和综合应用所学知识分析和解决问题的能力，并能运用所学知识为后续课程和工作中进行必要数学模型的建立做好工作。2.3.1 自学能力的培养我们知道，微积分中最基本的概念就是极限的概念，要求一个极限或者证明一个极限问题时，有时候方法会很巧妙。例如

23、：(1+)n= e是重要极限之一。在我们要证明它成立时，可以令v=则(1+)n=e 再把v换成V(x),就抽象成公式：=e ,有了这一抽象公式，我们就知道许多“1”型极限问题皆可用此公式加以解决。这种问题的长时间的训练，能使我们在解决问题时养成举一反三的思维能力，有利于自学能力的提高。 推理能力的培养1.在求极限的过程中，我们往往会联想到初等函数的连续性，通过简单的变量替换，再联想到已知的简单的极限式不难计算出较复杂的极限式的值。例如： 当f(u)为连续时， 则 2.在级数求和的论证和推导中，我们从简单的等比级数的和函数出发，通过变换可得出另一种幂级数与其和函数的关联，再联想到级数在其收敛区间

24、范围内可逐项求积和求导的特征，不难推证某些级数和式。 例如：证明级数 1-(-1)n +收敛于解：先回顾等比级数1+q+q2+qn+当|q|<1时是收敛的，其和函数为 ，即= ，把式中的q换成(-x2)则式子变为+(-1)kx2k+两边积分+(-1)k 即arctgx=x-(-1)k 令x=1代入则得 1-(-1)n +=arctg1= 各种运算能力、运算过程的培养当我们利用微积分中的分部积分公式uv'dx = uv一vu' dx求原函数时，很多人往往选错u,v而解不下去。这时候我们可以先让学生观察一些实例，提出思考问题，并从中得到启发，得出规律。当解x21n(x十1)d

25、x或arctgxdx时,显然只能x2做v'这时v=，如果选反三角函数，对数函数做v'，就很难想出v是什么函数，故对数函数和反三角函数只能选做u，而当解 或时，则应选幂函数为u,而以三角函数、指数函数为v'。这样我们就可以归纳出如下的顺序:对数函数，反三角函数，幕函数，三角函数，指数函数。如果是上述两种函数乘积的积分，则按上面排序的左侧选为u而右侧选做v'。当然不是所有的函数都可用初等函数表示其原函数的。例如与都不能用初等函数给予表达。此时再反过来解决原来的问题肯定会容易得多。通过这种方法的训练，能培养学生在解决问题前会自然而然寻找问题的规律，以求用简便的方法得到

26、解决。 综合能力的培养 1.导数概念，我们将之升华有关联的两变量(它们之间可建立起连续性的函数关系)之增量比。于是经济领域中的边际问题，化学中变化率，物理中的速率，生物学中的增殖率都和导数挂上钩，从而还可通过建立各领域中的微分方程模型，去处理相应问题。 2.定积分中分割求和取极限思想升华为一般积分微元思想，并插入各领域中去建立相应的积分微元思想。 3.把利用导数求极值的思想方法加以扩充则可以解决经济分析中的最大利润，最少库存费用等问题，网络中的最佳路线选择，配料中的最低耗费，电子原器件的最优配置等。 4.综合利用所学微积分知识及其它数学知识进行理论，再配合电脑中多媒体与网络技术配合，会使学生有

27、更强更全面的知识和能力去迎接各方面和挑战。 2.4 学习微积分对培养人的思维上的价值当代著名数学家柯朗曾指出：“微积分，或数学分析，是人类思维的伟大成果之一。”这让我们知道，微积分的学习不仅包括其知识价值，更重要的是它对人的思维方式的养成具有重要的作用。 例如：1+，其项数取得越多，精确度就越高。再如，当变化很小时，用dy代替,即是以直代曲的思想。对它们的深入分析，使人们认识到，看待事物不能用简单的“二分法”，看待纷繁复杂的世界要抓住事物的本质，从多方面、多角度去考察，让人们以动态的、辨证的、全面的、系统的观点看问题。又如：极限，如果按照一般的做法，很困难，但采取化简为繁的方法，把它写成的形式

28、，此题立即得出结果。体味这些数学思维方式，有利于培养学生的数学创造能力。在联系到我们的实际生活，有个新产品销售模型：一种新产品面市，厂家和商家总是采取各种措施，包括大做广告等，促进销售。他们希望对产品的销售速度与销售数量做到心中有数，以便于组织生产、安排进货。我们运用微积分的知识就可以建立一个数学模型来描绘产品推销速度，并由此分析出有用的结果，以指导生产和销售。假设需求量有一个上界M，用x(t)表示时间t内已售出的产品数量，则尚未购置的数量大约为M-x(t),社会调查表明，与x(t)和M-x(t)的乘积成正比，记比例系数为k，则=kx(M-x),从而可分析出在某t0时刻销售量可达到最大值，从而

29、表明销售量小于最大销售量的一半时，销售速度是不断增大的，销售量大于最大销售量的一半时，产品最为畅销，其后销售速度开始下降。 这种批判的、理性的、开放的思维方式的养成有利于学生的认知结构的优化，开阔思路，从而能使学生形成良好的创造性思维和创新意识。结论在这篇毕业论文中，我们讨论了如何说明学习微积分在实际运用中的价值问题。 论文从两个部分对微积分在实际运用中的价值问题进行了归纳和总结。第一部分绪论介绍了课题背景和意义，国内外文献综述，本文主要研究内容；第二部分介绍了学习微积分在我们实际应用中的价值，包括微积分的学习在经济领域的价值，其中有极限理论在经济中的应用、导数理论在经济中的应用、极值理论在经

30、济中的应用、积分理论在经济中的应用、微分方程理论在经济中的应用，还包括微积分的学习在培养人的思维上的价值、微积分的学习在培养人的能力上的价值和微积分的学习在日常生活中的价值，其中包括自学能力的培养、推理能力的培养、各种运算能力、运算过程的培养和综合能力的培养。 致 谢 从2007年1月份开始，经过多次的补充和改进，本篇毕业论文终于完稿。在撰写论文的过程中，我得到了许多老师和同学的热情帮助，在此谨表示深深的感谢。 我要感谢我的导师嘉兴学院数学与信息科学学院的副教授柴惠文老师对我的辛勤指导。在论文的选题、资料的查找、初稿的拟订、对论文的反复修改，直至定稿，都得到了柴老师悉心的指导和无微不至的关怀，在此向柴老师表示深深的感谢。 同时，我要也