定积分的概念63345

1、选修2-2 1.5定积分的概念目标：理解求曲边梯形面积的过程：分割、以直代曲、逼近通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念重点：“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法，定积分的概念，几何含义难点：“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法，定积分的概念教学过程一、引入平面图形面积测量方法1、生活中的求面积问题水田、梯田等生活中图形面积测量方法问题：生活中如何度量这些图形的面积？ 2、几何中测量平面图形面积的方法(1)长方形面积 (2)三角形面积 (3)圆的面积 （其中r为圆的半径）(4)曲边多边形面积由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=f

2、(x)所围成的图形称为曲边梯形如何计算曲边梯形的面积？对精度要求不高的情况下，可以将此种图形分割成若干个小长方形和三角形，分别计算面积，然后求和即可提出新问题：如何计算曲边梯形的准确面积？二、新课定积分1、曲边梯形的面积问题：求由抛物线f(x)=与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积S分析：考虑将曲边梯形的面积转化为“直边图形”的面积把区间0，1分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好也即

3、：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积我们通过如下步骤来具体实施这种方法：（1）分割在区间0，1上等间隔地插入n1个点，将区间等分成n个小区间：0，1其中第i个区间为，（i=1，2，n），其长度为x=分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作： ，显然，S=.（2）近似代替当n很大，即x很小时，在区间，上，可以认为函数f(x)=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f()从图形上看，就是用平行于x轴的直线近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间，上，用小矩形的面积近似地代替，即在局部小范围内“以直代曲”，则有=

4、 f()x=x= （i=1，2，n）（3）求和图中阴影部分面积为=从而得到S的近似值S=（4）取极限当n趋向于无穷大，即x趋向于0时，=趋向于S，从而有S=即所求曲边梯形面积为注：计算完毕后动画演示分割、近似代替、逼近的过程。思考：分割得到的小曲边梯形的高是否可以用区间，右端点的函数值代替？是否可以用此区间内任意一点处的函数值代替？可以证明：当，时，都有S=2、定积分的概念求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限，此问题可以归结为求一个特定形式和的极限S=一般的，我们有如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点a=b将区间a，b分成n个小区间，在每个小区间，上任取一点(i=1，2，n

5、)，作和式=，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间a，b上的定积分，记作，即=，这里，a与b分别叫做积分下限和积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式根据定积分的概念，开篇问题中曲边梯形的面积S=3、定积分的几何含义从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分表示直线x=a，x=b，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义思考：1、利用定积分的定义，计算下列定积分的值（1） （2）2、由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：（1）=k (k为常数)（2）（3） (其中acb)如何解释（或证明