导数的若干应用

1、数学与统计学学院中期报告学院: 数学与统计学学院专业: 数学与应用数学 年级:2010级 题目: 导数的若干应用 学生姓名: 学号: 指导教师姓名:职称: 2012年6月10日目 录引言21微分中值定理22.1 型不定式极限52.2 型不定式极限64导数在研究函数问题中的应用74.1导数在研究函数单调性中的应用74.2导数在研究函数极值与最值中的应用84.2.1函数极值的求法84.2.2 函数最值的求法94.3导数在研究函数的凹凸性和拐点中的应用94.4导数在函数作图中的应用105导数在经济中的应用125.1 边际分析125.1.1 边际成本12在经济学中,产品的总成本是指生产一定数目的产品所

2、需的全部经济资源投入(包括劳力原料设备等)得价格或费用总额.它由固定成本与可变成本组成.125.1.2 边际收益135.1.3 边际利润145.2 弹性分析145.2.1 供给弹性145.2.2需求弹性156.导数在物理中的应用18结论18致 谢19参考文献19导数的若干应用摘 要：导数是重要的数学工具，用它可以解决很多数学问题，如利用导数研究不定式极限，以及利用导数解决函数的相关问题（如利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值和最值，利用导数研究函数的凹凸性和拐点）.此外导数在经济分析中以及物理方面也有广泛应用.关键词:导数；应用；极限；函数；边际；弹性；物理Number of appl

3、ications of the derivativeAbstract: Derivative is an important mathematical tool. It can solve many mathematical problems. Such as the use of the infinitive limit of the derivative and the use of derivative function(such as the use of derivative monotonicity, the use of extreme value and the most va

4、lue of the derivative function, the derivative function of the bump and the inflection point).In addition, the derivative is also widely used in economic analysis as the physical aspects of.Keywords:Derivative;Application; Limit ; Function; Marginal analysis; Elastic analysis ; Physical引言导数在解题中处于重要地

5、位，它是衔接初等高等数学中的重要知识.它为解决更多数学问题提供了方法.本文从导数在研究不定式极限、研究函数相关问题以及经济分析和物理中的应用方面进行探究.显然导数的应用不仅限于数学它还应用于其它学科，因此，对于导数的应用进行研究是非常有意义的.1微分中值定理微分中值定理在微积分中占有重要地位,它提供了导数应用的基本理论依据.微分中值定理包括罗尔(Rolle)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理柯西(Cauchy)中值定理及泰勒(Taylor)公式.费马(Fermat)定理定理1.1设函数在点的某邻域内有定义,且在点处可导.若点为的极值点,则必有.罗尔中值定理定理1.2设函数满足1) 在

6、闭区间上连续；2) 在开区间内可导；3) ,则至少存在一点,使得.证 因为函数在闭区间上连续，所以它在上一定存在最大值和最小值，下面分两种情形来讨论：（1）若，则在上恒为一个常数，于是在区间内恒有，此时定理结论显然成立.（2）若，因为，所以和中至少有一个不等于端点的函数值.不妨设，则在内至少有一点，使得.于是对于内的任意，都有所以 当时，；而当时，.进一步由存在且等于其左右极限及极限的保号性可知：因此，必定有.拉格朗日中值定理定理1.3设函数满足1) 在闭区间上连续；2) 在开区间内可导；则至少存在一点,使.推论 1 若在内恒等于零,则在内必为某常数.推论 2若在内恒有,则有,其中为某常数.例

7、 1.1 当时,试证不等式.证 由于,因此,而,从而可取则在区间上满足拉格朗日中值定理,因此知必定存在一点,使得.由于,因此有,.由于,因此进而知即.柯西中值定理定理1.4设函数与满足:1) 在闭区间上都连续;2) 在开区间内都可导;3) 和不同时为零;4) ,则存在,使得.泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式设函数在含的某区间内具有直至阶导数,则当时有常称为泰勒展开式中的佩亚诺型余项.带有拉格朗日型余项的泰勒公式泰勒定理 定理1.5若函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得其中(介于和之间)常称为泰勒展开式中的拉格朗日型余项.通常称为带有拉格朗日型余

8、项的泰勒公式.2导数在研究不定式极限中的应用以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达（LHospital）法则.2.1 型不定式极限定理 2.1 若函数和满足：1. ；2. 在点的某空心邻域内两者都可导，且；3. （可为实数，也可为或）,则.例2.1 求.解 利用，则得.2.2 型不定式极限定理2.2 若和满足：1)；2)在的某右邻域内两者都可导，且；3)（A可为实数，也可为，）,则.例2.2 求.解 .例2.3 求.解 3导数在证明不等式中的应用例3.1 证明:当时,.证 作辅助函数,则因此当时所以在上单调增加.又因,故当时,有即>.例 3.2 证明方程有且仅有一个正实根.证

9、令,显然在上连续,且,根据零点定理可知,在内至少有一点,使得即方程至少有一个正实根.又因所以函数在内单调增加,从而方程在内至多有一个根.综上所述,方程有且仅有一个正实根.4导数在研究函数问题中的应用4.1导数在研究函数单调性中的应用单调增加函数和单调减少函数的图形自左向右看分别是上升的和下降的.对于函数,导数,曲线是上升的,导数,曲线是下降的,由此我们想到利用导数的正负来判断函数的单调性.定理4.1设函数在区间上连续,在区间内可导1)若在内,则在上单调增加;2)若在内,则在上单调减少.例4.1判断函数的单调性.解 因为,且只有当(为整数)时,使得所以在内单调递增.4.2导数在研究函数极值与最值

10、中的应用4.2.1函数极值的求法定理4.2 (函数存在的必要条件) 设点是函数的极值点,则或不存在.定理4.3 (极值存在的第一充分条件) 设函数在点的某去心邻域内可导,且在点处连续.1) 如果在的左侧邻近有,而在的右侧邻近有,则函数在处取得极大值;2) 如果在的左侧邻近有,而在的右侧邻近有,则函数在点处取得极小值;3)如果在的左右两侧邻近同号,则函数在处无极限.定理4.4 (极值存在的第二充分条件) 设函数在点处具有二阶导数,且,.1)若,则为的极小值;2)若,则为的极大值.例 4.2 求函数的极值.解 令,得驻点由于所以为极大值;又由于所以为极小值.4.2.2 函数最值的求法要求函数的最值

11、,通常首先需要看是在闭区间上求最值还是在开区间内或者半开半闭区间内求最值.下面分两种情况讨论:1) 在闭区间上求最值我们知道,若函数在闭区间上连续,则在该区间上一定存在最值.显然,函数只可能在极值处和区间短点处取得最值,因此求在区间上最值一般可按下列步骤进行:（1） 求出在区间内的驻点和导数不存在的点;（2） 求出这些点处的函数值及和;（3） 这些函数值进行比较,最大者即为最大值,最小者即为最小值.2) 在开区间或半开区间内求最值在开区间或半开区间内求最值,我们知道,最值不一定存在,所以只能对一些特殊情形才能把最值求出来,.而在一些实际问题所对应的情形,常常是在开区间内或半开区间内只有一个极大

12、值没有极小值或只有一个极小值没有极大值,而求最值也是只求一个最大值或只求一个最小值,对于这种情况,极大值就是最大值,极小值就是最小值.4.3导数在研究函数的凹凸性和拐点中的应用定义设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凸函数,若总有则称为上的严格增函数.反之,如果总有则称为上的凹函数,若总有则称为上的严格凹函数.引理为上的凸函数的充要条件是:对于上的任意三点,总有.定理4.5设为区间上得可导函数,则下述论断互相等价:4) 为上的凸函数;5) 为上的增函数;6) 对上的任意两点,有.定理4.6设为区间上的二阶可导函数,则在上为凸凹函数的充要条件是定义设函数在点处有穿过曲

13、线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的,这是称点为曲线的拐点.定理4.7若在二阶可导,则为曲线的拐点的必要条件是.定理 4.8设在可导,在某邻域内二阶可导.若和上的符号相反,则为曲线的拐点.4.4导数在函数作图中的应用为了有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线.4.4.1曲线的渐近线渐近线的定义 点M沿无限远离坐标原点时,若点M与某直线L之间的距离趋于0,则称直线L为曲线的一条渐近线.水平渐进线当且仅当三种情形之一成立时,直线为曲线的水平渐近线.垂直渐近线当且仅当三种情形之一成立时,直线为曲线的垂直渐近线.4.4.2作函数图形的一般步骤1) 确定函数的定义域和不

14、连续点.2) 判断函数的奇偶性和周期性.如果函数为奇函数或偶函数,只需研究当时函数的兴致,作出其图形,而另一半曲线的图形可由对称性得出.如果函数为周期函数,只需研究其在一个周期内的性质,作出其图形,其余部分利用周期性可得.3) 求函数的一阶导数.求的驻点,导数不存在的点,以便确定函数的增减性极值.4) 求函数的二阶导数.求的点和不存在的点,以便确定曲线的凹凸性和拐点.5) 确定曲线的渐近线.6) 将上述所求得的结果按自变量有小到大的顺序列入一个表中,并将函数图形的形态列于表中,然后描绘成图形.例4.3 作出函数的图形.解所给函数的定义域为.由于所给函数为奇函数,只需研究内函数的形态.由于则令时

15、可得函数的驻点.又由于则令时可得.由于可知为该曲线的水平渐近线.该曲线没有垂直渐近线.列表分析如下图4-1所示：凸极大凸拐点凹因为函数为连续的奇函数,在的邻域内,曲线是凸的,故在的邻域内,曲线是凹的所以为拐点.描绘图形如下图4-2所示.5导数在经济中的应用5.1 边际分析5.1.1 边际成本在经济学中,产品的总成本是指生产一定数目的产品所需的全部经济资源投入(包括劳力原料设备等)得价格或费用总额.它由固定成本与可变成本组成.设某产品产量为单位时总成本为 (其中为常数,表示固定成本,表示可变成本),我们把它称为总成本函数.总成本函数的导数,我们把它称为当产品的产量为时的边际成本.它(近似)表示当

16、产量为时再生产一个单位产品所需增加的成本.例5.1 某企业生产某种产品,产量为(单位:件)时的总成本(单位:元)为1) 指出固定成本,可变成本;2) 求边际成本函数及产量为件时的边际成本,并说明其经济意义;3) 如果国家对该企业征收固定税收,问税收对产品的边际成本是否会有影响?解 1)固定成本为元,可变成本为;2)边际成本函数为时的边际成本为其经济意义为:当产量为件时,若多增加一件产品,总成本将增加万.3)因国家对该企业征收的是固定税收,而固定税收可列入固定成本,它与产量无关,所以对边际成本没有影响.5.1.2 边际收益在经济学中,产量的总收益是指生产者销售一定量产品所得到的全部收入.设为商品

17、价格, 为销售量,为总收益,为边际收益,则需求函数为,总收益函数为,需求与总收益之间的关系为边际收益函数为:.它(近似)表示当销售量为时再增加一个单位的销售量所增加(或减少)的收益.例5.2设某产品的需求函数为,其中为价格,为销售量,求销售量为个单位时的总收益平均收益和边际收益,并说明边际收益的经济意义.解 总收益为销售量为个单位时的总收益平均收益为边际收益函数为销售量为给我单位时的边际收益它的经济意义是:当销售量为个单位时再增加一个单位所增加的收益为.5.1.3 边际利润在经济学中,产品的总利润是指总收益与总成本之差.设为销售量,为总收益,为总成本,为总利润,则称为总利润函数.总利润函数的导

18、数,我们把它称为当销售量为时的边际利润.它为边际利润和边际成本之差,(近似)表示当销售量为时再增加一个单位的销售量所增加(或减少)的利润.例5.3 设某厂每月生产产品的固定成本为元,生产单位产品的可变成本为元,如果每单位产品的售价为元,求边际成本函数边际;利润函数和边际利润为时的产量.解 总成本函数于是边际成本函数为又总收益函数为所以总利润函数为于是边际利润函数为可见,当月产量为个单位时,边际利润为.这说明当月产量为个单位时,再多生产一个单位产品也不会增加利润.5.2 弹性分析5.2.1 供给弹性供给弹性通常指的是供给的价格弹性.如果商品的供给函数在处可导,称为该商品价格在与之间的供给弹性,记

19、作而称为该商品价格为时的供给弹性,记作它表示当商品价格为时,若价格上涨(或下跌),则供给量将增加(或减少).例5.4 某产品的供给函数为,求时的供给弹性,并说明其经济意义.解因为供给弹性函数为所以时的供给弹性为它的经济意义是:当产品价格时,若价格上涨(或下跌),则供给量增加(或减少).5.2.2需求弹性1)需求价格弹性如果商品的需求函数在处可导,则称为该商品价格在与之间的需求价格弹性,记作而称为该商品价格为时的需求价格弹性,记作它表示当商品价格为时,若价格上涨(或下跌),则需求量将减少(或增加)%.2)需求收入弹性如果商品的恩格尔函数在处可导,则称为该商品人均收入在和之间的需求收入弹性,记作而

20、称为该商品人均收入为时的需求收入弹性,记作它表示当人均收入为时,若人均收入上涨(或下降),则需求量将增加(或减少).例5.5 在城市,洗衣机的恩格尔函数为 (为人均拥有量,为人均收入),在农村,洗衣机的恩格尔函数为,显然它们的需求收入弹性分别为和,这说明洗衣机在城市的需求量将变化不大,而在农村的需求量还有很大的潜力可挖.3)需求价格弹性与总收益之间的关系由于总收益是商品价格与销售量的乘积,即所以.下面分三种情况来讨论:（1） 若,则需求量变动的幅度小于价格变动的幅度.此时,总收益是单调增加函数.即价格上涨,总收益将增加;价格下跌,总收益将减少;（2） 若,则需求量变动的幅度大于价格变动的幅度.

21、,总收益函数是单调减少函数.即价格上涨,总收益将减少;价格下跌,总收益将增加;（3） 若,则需求量变动的幅度等于价格变动的幅度.此时,总收益取得最大值.例 5.6 设某商品的需求函数为.1) 求需求价格弹性函数;2) 求时的需求价格弹性;3) 在时,若价格上涨,总收益是增加还是减少?将变化百分之几?4) 为何值时,总收益最大?最大的总收益是多少?解 1)需求价格弹性函数为2)时的 需求价格弹性为3) 因为,所以价格上涨1%,总收益将增加.又因为所以从而,所以即价格上涨,总收益均增加.4) 令,得,又故当时总收益最大,最大的总收益为.6.导数在物理中的应用导数是一个量对一个量的变化率，在物理学中

22、，物理的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容器的电器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等.例6.1 一质点运动方程为（1）求质点在这段时间内的平均速度；（2）求在时的瞬时速度（用定义和求导两种方法）.解 (1)质点在这段时间内的平均速度为：（2）定义法：质点在时的瞬时速度为导数法：质点在的瞬时速度为例6.2 假

23、设一个闭合线圈的磁通量，求感应电动势的最大值.解 根据电磁感应定律得所以感应电动势的最大值为.结论在曼妙的数字计算中，导数的出现给我们提供了更多样的计算方法。本文从导数在函数和经济学中的应用两个方面具体的分析了导数的巨大作用。这不仅有利于我们弄清楚数学知识，更有利于以后的生活，收到来源于生活，用之于生活的效果。但是由于个人的知识范围问题，本文对导数的研究还存在许多不足，对一些知识点没有更深入的探究，还有待进一步的努力研究.致 谢感谢欧阳老师一直以来对我论文的细心指导，同时也感谢同学给予我的帮助，在此表示最衷心的谢意.参考文献 1 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)M.北京:高等教育出版社 ,2001:93-94 ,148-153.2 李心灿.高等数学M.北京:高等教育出版社,2003:120-124,95-106.3 美 S.I.Grossmon.微积分及其应用(上册)M.天津：天津科学技术出版社,1988:168-170,199-204,214-217.4 邱学绍.微积分及其应用(经济管理类)M.北京:机械工业出版社,2008:102-104,11