场波教案-2矢量分析-W

1、第二章第二章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1. 1. 标量和矢量标量和矢量2. 2. 标量场和矢量场标量场和矢量场3. 3. 标量场的方向导标量场的方向导数与梯度数与梯度4. 4. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度5. 5. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度6. . 无散场和无旋场无散场和无旋场7. 7. 格林定理格林定理 8. 8. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理9. 9. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 10.10.正交曲面坐标系正交曲面坐标系1 1 标量及矢量标量及矢量标量标量：只有大小，没有方向的物理量只有大

2、小，没有方向的物理量。矢量矢量表示为：表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。不仅有大小，而且有方向的物理量。如如:力力 F 、速度、速度 V 、电场、电场 E 等等如：温度如：温度 T、长度、长度 L 等等AA e其中：其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1 1。| AeAe1.11.1定义定义根据矢量加法运算：根据矢量加法运算：xyzAAAA一个矢量函数可以分解为三个标量函数，一

3、个矢量函数可以分解为三个标量函数， 在直角坐标系在直角坐标系下的矢量表示下的矢量表示: :zoyxAxAyAzA三个方向的单位矢量用三个方向的单位矢量用 表示。表示。xeyeze所以：所以：xyzxyzeeeAAAA 其中：其中：xxxeAA yyyeAA zzzeAA 位置矢量位置矢量r r和距离矢量和距离矢量R R rrer1.21.2矢量的代数运算矢量的代数运算1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和矢量加法是矢量的几何和, ,服从服从平行四边形规则平行四边形规则。a.a.满足交换律：满足交换律：ABBAb.b.满足结合律：满足结合律：CABBACBAC()()ABCABC2.2.

4、减法：减法：换成加法运算换成加法运算()DABAB ABCBAB逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算：在直角坐标系中两矢量的减法运算： 推论：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。()()()xxyyzzxyzeeeABABABAB 3.3.矢量的标积与矢积矢量的标积与矢积（1 1）标量与矢量的乘积：标量与矢量的乘积：0=00kB kAkk方向不变，大小为方向不变，大小为|k|倍倍方向相反，大小为方向相反，大小为|k|

5、倍倍（2 2）矢量与矢量乘积分两种定义矢量与矢量乘积分两种定义a. a. 标量积（点积）：标量积（点积）：| |cosA BABBA两矢量的点积两矢量的点积含义：含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。是一标量。在直角坐标系中在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的，三个坐标轴是相互正交的两矢量点积：两矢量点积：zzyyxxBABABA结论结论: : 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论推论1 1：满足交换律：满足交换律推论推论2 2：满足分配律：满足分配律推论推论3 3：当两

6、个非零矢量点积为零：当两个非零矢量点积为零, ,则这两个矢量必正交。则这两个矢量必正交。A BB A()ABCA BA C().()xyzxyzxyzxyzA BeeeeeeAAABBB 推论推论1 1：不服从交换律：不服从交换律：,A BB AA BB A 推论推论2 2：服从分配律：服从分配律：()AB CA BA C推论推论3 3：不服从结合律：不服从结合律：()()AB CA BC推论推论4 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.b.矢量积（叉积）：矢量积（叉积）：含义：含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量两

7、矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。者符合右手螺旋法则。BAca=sinnC ABe AB 在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：两矢量的叉积又可表示为：xyzo()()xyzxyzxyzxyzeeeeeeA BAAABBB ()()()yzzyzxxzXyyxxyzeeeA BA BA BA BA BA BxyzxyzxyzABeeeAAABBB（3 3）三重积：）三重积：三三个矢量相乘有以下几种形式：个

8、矢量相乘有以下几种形式：()A B C矢量，标量与矢量相乘。矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。矢量，矢量三重积。a. a. 标量三重积标量三重积法则：在矢量运算中法则：在矢量运算中, ,先算叉积先算叉积, ,后算点积。后算点积。定义：定义：|sincosA BCA B C()ABCABChB C 含义：含义： 标量三重积结果为三矢量构成的标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积平行六面体的体积 。注意注意：先后轮换次序。先后轮换次序。推论推论：三个非零矢量共面的条件。三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：在直角坐标系中：()0ABC()

9、xyzxyzxyzAAAABCBBBCCCb.b.矢量三重积：矢量三重积：()()()ABCB A CC A B ()()()VAB CCABBCAABChB C).(CBA().xyzxyzxyzxyzxyzeeeBBBCCCeeeAAA2.2.标量场和矢量场标量场和矢量场场的定义：若对于空间域上每一点都对应着某个物理量的一个标量(数量)或一个矢量，则称此空间域确定了这个物理量的场。)()( ),(222z2y1x45zyx 标量场标量场如温度场如温度场, ,电位场电位场, ,高度场等。高度场等。zy2x2xyzzxxy2)z , y, x(eeeA矢量场矢量场如流速场如流速场, ,电场电场

10、, ,涡流场等。涡流场等。矢量场矢量场-矢量线矢量线形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具-场线场线标量场标量场-等值线等值线( (面面) )。constzyxh),( 其方程为其方程为0A l d其方程为其方程为dzAdyAdxAzyx三维场三维场在直角坐标下在直角坐标下, ,场线方程场线方程: :二维场二维场dyAdxAyx 矢量线等值线方向导数方向导数: :标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。某一方向上的变化率。 lPPllP)()(lim0 例如标量场例如标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数

11、定义为定义为Pl PllP3. 3. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度梯度是一个梯度是一个矢量矢量。G=gradxyzuuuuxyzeee在在直角坐标系中直角坐标系中，标量场，标量场 u u 的梯度可表示为的梯度可表示为式中的式中的grad grad 是英文字是英文字 gradient gradient 的缩写的缩写。某点梯度的某点梯度的大小大小等于该点的等于该点的最大最大方向导数，某点梯度方向导数，某点梯度的方向为该点具有的方向为该点具有最大最大方向导数的方向。方向导数的方向。leGluzyxzyxeee若引入算符若引入算符 ，在直角坐标系中该算符，在直角坐标系中该算符 可表示可

12、表示为为graduu 则梯度可以表示为则梯度可以表示为例：求一个二维标量场例：求一个二维标量场 的等值线方程和梯度的等值线方程和梯度2-uy xu解：等值线方程为：解：等值线方程为：2- =y x C=-+2xyzxyuuuuyxyzeeeee例例1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变数值等于该点位移的最大变化率；化率； 指向地势升高的方向指向地势升高的方向。 梯度的物理意义梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数; ; 梯度的方向为该点最大方向导数

13、的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向, ,即与等值线（面）即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。相垂直的方向，它指向函数的增加方向。 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大的最大变化率，即该点最大方向导数方向导数; ; 三维高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数数值等于该点的最大方向导数； 电位场的梯度通量：通量： 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量的面积分称为矢量 A 通通

14、过该有向曲面过该有向曲面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 4. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度S d SA当矢量当矢量进入进入这个闭合面时这个闭合面时-存在汇聚该矢量场的存在汇聚该矢量场的洞洞（或（或汇汇）-通量为通量为负负。通量可为通量可为正正、或为、或为负负、或为、或为零零。 当矢量当矢量穿出穿出某个闭合面时某个闭合面时-存在产生该矢量场的存在产生该矢量场的源源-通量为通量为正正前述的前述的源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。 矢量矢量 E 沿有向曲面沿有向曲面S 的面积分的面积分SE dS 0 (有正源有正源) 0；若处处相反，则；若处处相反，则

15、0 。环量可以用来描述矢量场的环量可以用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l l 的环的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I I 与真空磁导与真空磁导率率 0 0 的乘积。即的乘积。即 式中，电流式中，电流 I I 的正方向与的正方向与 d dl l 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系关系。环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的量代表的是闭合曲线包围的总总的源强度，它不能显示的源强度，它不能显示

16、源的源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。I I1 1 I I2 2Il0 l dB 旋度是一个矢量。以符号旋度是一个矢量。以符号 curl curl F F 表示矢量表示矢量 F F 的旋的旋度，其方向是使矢量度，其方向是使矢量 F F 具有最大环量强度的方向，具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即 Cmax0 drot limSnSFlF式中式中 curl curl 是环量，是环量，rotrot代表旋度；代表旋度；n n为最大环量强度为最大环量强度的方向上的单位矢量，的方向上的单位矢量

17、， S S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。曲线上的最大环量。 en1en2en直角坐标系中直角坐标系中，旋度可表示为，旋度可表示为 rot xyzxyzxyzFFFeeeF或者或者rot FF无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的的是场的点特性点特性或称为或称为微分特性微分特性。函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件

18、。因此在场量发生是可微的必要条件。因此在场量发生不不连续连续处，也就处，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。 斯托克斯定理斯托克斯定理 lS l dA SdArot )( 同高斯定理类似，从数学角度可以认为同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯斯托克斯定理定理建立了面积分和线积分的关系。建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为从物理角度可以理解为斯托克斯斯托克斯定理建立了区域定理建立了区域 S 中的中的场和包围区域场和包围区域 S 的闭合曲线的闭合曲线 l 上的场之间的关系。上的场之间的关系。lS d d)(lASA或者写为或者写为 散度处处为散度处处为

19、零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场。6. 6. 无散场和无旋场无散场和无旋场两个重要公式之一：两个重要公式之一：0)(A上式表明，上式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。者说，任何旋度场一定是无散场。两个重要公式之二两个重要公式之二：0)( 上上式表明，式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或

20、者说，任何梯度场一定是无旋场或者说，任何梯度场一定是无旋场。 旋度处处为旋度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无旋场无旋场。367 7 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及 ，若，若在区域在区域 V V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场导数，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式满足下列等式S SV V , , ne式中式中S S 为包围为包围V V 的闭合曲面；的闭合曲面； 为标量场为标量场 在在 S S 表面的外法线表面的外法线 e en n 方向上的偏导数。方向上的偏导数。nSVSnV 2dd)(根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根

21、据方向导数与梯度的关系，上式又可写成上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。基于上式还可获得下列两式基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 SVV 2d)(d)(SSVV 22d d)(SSVSnnV 22dd)(设任意两个矢量场设任意两个矢量场 P P 与与 Q Q ，若在区域，若在区域 V V 中具有连中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P P 及及 Q Q 满足下列等式：满足下列等式：式中式中S S 为包围为包围V V 的闭合曲面；面元的闭合曲面；面元 dS dS 的方向为的方向为S

22、 S 的的外法线方向。上式称为外法线方向。上式称为矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 SVV d d )()(SQPQPQP基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。SVV SdPQQPdQPPQ()(格林定理建立了区域格林定理建立了区域 V V 中的场与边界中的场与边界 S S 上的场之间上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。问题转变为边界上场的求解问题。格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关

23、系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。利用格林定理求解另一种场的分布特性。现在我们必需考虑如下问题现在我们必需考虑如下问题（1 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？（3 3）如何唯一的确定一个矢量场？）如何唯一的确定一个矢量场？8. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上位于某一区域中的矢量场

24、，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。场被惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定。共同决定。V VS SF F( (r r) )tn FFFF和 及或 若矢量场若矢量场 F(r) 在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的， 且其且其导数连续有界导数连续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域 V 中，则当矢量场中，则当矢量场的的散度散度及及旋度旋度给定后

25、，该矢量场给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为可以表示为 9. 9. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrVVd)(41)(rrrFrA式中式中 定理表明任一矢量场均可表示为一个定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场无旋场与与一个一个无散场无散场之和之和。（1 1）任一矢量场均有通量源和漩涡源两种激励）任一矢量场均有通量源和漩涡源两种激励源激发形成；源激发形成；（2 2）任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个）任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。无散场之和。（3 3）矢量场的散度和旋度均为）矢量场的散度和旋度均为0 0时，矢量场消时，矢量场消失，即通量源和漩涡源是产生矢量场唯一的源。失，即通量源和漩涡源是产生矢量场唯一的源。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。题。 10. 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 已知矢量已知矢量 A 在在圆柱坐标系和球坐圆柱坐标系和球坐标系中可