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文档简介

1、第五节 隐函数求导法则教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。教学重点：隐函数的偏导数教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；教学时数：2教学内容：一、一个方程的情形1、 隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数, , 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数, 它满足条件, 并有 . 证明: 将代入得恒等式 等式两边对求导得, 由于连续, 且, 所以存在的一个邻域, 在这个邻域同, 于是得 . 例1： 验证方程在点的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当时的隐函数并求这函数的一阶与二阶导数在的值. 解： 设, 则、, 因此由

2、定理1可知, 方程在点的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当时的隐函数. , ; , . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程可以确定一个二元隐函数. 2、隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数, 且, , 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数, 它满足条件, 并有 , . 证明 ；将代入, 得 将上式两端分别对和求导, 得 , . 因为连续且所以存在点的一个邻域, 使, 于是得 , . 例2： 设, 求. 解： 设, 则, , . 例3： 设是方程所确定的函数，则。解：两边求全微分得，所以，从而，所以例4： 设，其中可微，则。解：由于，所以从而 ，故。二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组,可以确定一对二元函数, , 例如方程和可以确定两个二元函数, . 事实上, ÞÞÞ, . 如何根据原方程组求u, v的偏导数？ 隐函数存在定理3 设、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又, , 且偏导数所组成的函数行列式: 在点不等于零, 则方程组,在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数,

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