高等数学A教案

1、讲授内容 §6.1 定积分的元素法 §6.2定积分在几何上的应用教学目的1. 深刻理解定积分的元素法的思想.2. 掌握用定积分的元素法计算实际问题的条件和解题步骤.3 熟练掌握平面图形面积和旋转体体积的计算方法. 4 会求平面曲线的弧长及简单的平行截面面积为已知的立体体积.教学重点、难点重点：求平面图形面积和旋转体体积及平面曲线的弧长.难点：求旋转体体积.教学方法：讲授教学建议1应用定积分的元素法关键是根据题中的具体条件，利用所学的几何或物理的知识，求出所求量的微元.2. 计算平面图形面积时，应根据图形的特点选择积分变量.3. 当旋转轴与坐标轴平行时,只需作坐标轴平移再用旋

2、转体体积公式算出体积.4. 求平面曲线的弧长时，重点是记住公式教学过程一、元素法:当实际问题中的所求量A符合下列条件:1) A是与一个变量x的变化区间a,b有关的量;2) A对于区间a,b具有可加性,即:将区间a,b分成许多部分区间,则A相应地分成许多部分量,A等于许多部分量的和; 3) 部分量的近似值为,即: .则A可以用定积分来表示,其方法为:1） 选取变量x并确定区间a,b;2） 将a,b分成n个小区间,并任取小区间x,x+dx,此小区间上的部分量.且.即.称dA为A的元素.3） 以A的元素f(x)dx为被积表达式,在a,b上积分:得.这种方法为元素法.关键在于第二步.求出元素二、平面图

3、形的面积1直角坐标情形1）X型:由、与轴围成的曲边梯形的面积: 由、围成的曲边梯形的面积:2） Y型:由曲线 、直线、，与轴围成的曲边梯形的面积为:由曲线、直线、，围成的曲边梯形的面积为:例1 计算由曲线: 和所围成的图形的面积解: 1) 交点坐标(0,0)和(1,1). 2) 取x为积分变量,积分区间为0,1. 3) 面积元素: .4) 所求面积: 例2 计算由抛物线和直线所围成的图形的面积解: 1) 交点坐标(2,-2)和(8,4).2) 取为积分变量,积分区间为-2,4.3) 面积元素: .4) 所求面积: 当选取为积分变量时,计算较繁.例3 求椭圆所围成图形的面积.解: 由对称性，所求

4、面积.由参数方程和换元法有:例4 求由曲线所围成的图形的面积.解：当时,，则; 当0<x1,0<y1时, 则;当0<x1,y>1时,则，当x>1,0<y1时,，则交点坐标:A(1/e,1),B(1,1/e),C(1,e),D(e,1)选取x为积分变量,则所求面积为:+=例5 求抛物线及其在点处的法线所围成的面积.解：曲线在点处的法线方程为:.交点坐标为和所求面积为：S = =.例6 求位于曲线y=ex下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.解: 设曲线上的点为(x0,y0),过该点的切线为 由于切线过原点,解得x0=1,从而曲线上过原点的

5、切点为(1,e).切线方程为y=ex.所求面积为S=+=.注：在直角坐标系下，应先画出平面图形的大致图形，特别是曲线与坐标轴或曲线之间的交点，然后根据图形的特征，选择相应的积分变量及积分区域，再写出面积的积分表达式来计算.2. 参数方程的情形设曲边梯形的曲边y=f(x),f(x)>0,xa,b为：x=(t), y=(t) t为参数如果x=(t)满足:1）()=a, ()=b, (t)在,或,上具有连续的导数;2）y=(t)连续;则曲边梯形的面积为:A=例7 求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积.解:=3a2.注：对于这种类型的题，

6、首先画出平面区域的大致图形，然后结合图形的具体特点，找出参数的范围，再由积分公式来计算图形的面积.3极坐标情形1) 极点在所围图形的边界上图(a)求由曲线=()及射线,()所围成的图形的面积.其中=()ÎC,且()>0. , A=()2d图(c)图(b)图(a)2） 极点在所围图形外部图(b) :A=22()-12()d3） 极点在图形的内部图(c):A=()2d例8 计算阿基米德螺线=a (a>0)上相应于从0到2的一段弧与极轴所围成的图形面积.解: 所求面积A=(a)2d=4a23/3. 例9计算心形线=a(1+cos) (a>0)所围图形的面积.解: 由对称性

7、,所求面积为: A=2a(1+cos)2d=3a2/2例10求由曲线=3cos和=1+cos所围图形的公共部分的面积.解: 由对称性所求面积为:S=2(S1+S2).由3cos=1+cosÞ=/3. S1=3cos2d=d=-S2=(1+cos)2d=(1+2cos+)d=+S=5/4.例11求由曲线=asin,=a(cos+sin) (a>0)所围图形公共部分的面积.解：所求面积为:S=S1+S2.其中 S1=(a/2)2=a2/8;S2=a(cos+sin)2d=a2/8-a2/4S=a2(-1)/4.注：计算这种类型题时，先将图形画出来，然后求出交点的坐标，再由对称性求出

8、图形的面积.例12 设f(x)在a,b上连续，,在(a,b) 内有，求证在(a,b)内存在唯一的点使曲线y=f(x)与两直线y=f()，x=a所围成图形的面积是曲线y=f(x)与两直线y=f()，x=b所围成图形的面积的三倍.解：先证存在性, 在取,令F(t) =则F(t)在a,b上连续，又，所以f(x)在a,b上是单调增加的, 则(a)由零点定理知使.再证唯一性，由知(t)在(a,b)内是单调增加的.所以在(a,b)内只有一个使=3.三、体积1. 旋转体的体积旋转体：平面图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体，直线为旋转轴.1)由y=f(x),x=a和x=b(a<b)及x轴围成的曲边

9、梯形绕x轴旋转的体积:V=f(x)2dx,体积元素:dV=f(x)2dx. 同理：x=(y), y=c, y=d(c<d)及y轴所围成的图形绕y轴旋转的体积: V=由平面图形0axb,0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为:V= 小圆柱体的体积为V=(x+dx)2-x2f(x)=2xf(x)dx+f(x)(dx)2即体积元素为:dV=2xf(x)dx,所求体积为: V=2xf(x)dx例13连接坐标原点O(0,0)及点P(h,r)的直线,直线x=h及x轴围成一个直角三角形,将其绕x轴旋转得一底半径为r,高为h的圆锥体,求其体积.解: 连接OP的直线方程为:y=x.所求体积为:V=x2

10、dx=r2h/3.例14求椭圆+=1绕x轴旋转的旋转体(旋转椭球体)的体积.解：所求体积为V=b2(1-)dx=4ab2/3.例15求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,直线y=0所围成的图形分别绕x轴和y轴和y=2a旋转所得旋转体的体体积.解：1)绕x轴旋转的体积为：Vx =y2dx=a3(1-cost)3dt=52a3.2)绕y轴旋转的体积为：(解法一) Vy =x2(y)2dy-x1(y)2dy=-=-a3a3=-a3=-a3=42a3=42a3 +=63a3.(解法二) Vy =2=2=2a3=2a3 -=2a32a3=2a3=42a3=63a3.V2a =a3

11、=3a3+=3a3-2=72a3.注：当旋转轴与坐标轴平行时，只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式即可算出体积.例16求圆盘x2+y2a2 绕x=-b(b>a>0)旋转所成的圆环体的体积.解；1) V=- = y+=4b =22a2b.2) 小圆柱体的体积为:dV=4(x+b)f(x)dxV=4(x+b)f(x)dx=4(x+b) dx=22a2b.例17设函数f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足(a为常数),又曲线y=f(x)yu 下,所围的图形的面积值为2,求函数y=f(x)并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.解：由题意知当时,

12、 ,即又f(x)在点x=0处连续, 由已知条件知,即c=4-a所以旋转体的体积为由=0,得a=-5.又所以当a=-5时, 旋转体的体积最小.2. 平行截面面积为已知的立体的体积设立体介于平面x=a和x=b之间,A(x)为过点x且垂直于x轴的截面面积.假设A(x)为x的已知的连续函数,则该立体的体积为:(如图) V=A(x)dx.例18一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算此平面截圆柱体所得的立体的体积.解: 用垂直于x的平面截此立体,得截面面积为:A(x)=y·ytan=(R2-x2)tanV=(R2-x2)tandx=R3tan例19求以半径为R的圆为底、平行且

13、等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解: 垂直于x的截面面积为：A(x)=h·y=h·V=h·dx=R2h/2.例20计算图中球缺的体积. 解：在R-H,R上任取一点y,过点y且垂直于y轴的截面面积为:A(y)= (R2-y2).V=(R2-y2)dy=H2(R-H/3).注：在求平行截面面积已知的立体体积时，重点是找出x点处截面面积函数A(x) ,然后用体积公式即可求出.三、平面曲线的弧长1. 平面曲线弧长的概念设A、B为弧上的两个端点.在 上任取分点A=M0, M1, M2,Mn-1, Mn=B,并依次连接相邻分点得一折线.当分点数目无限增加时,小

14、弧段都缩向一点,如果极限:|Mi-1Mi| 存在，称此极限为曲线弧的弧长，并称此曲线弧是可求长的.定理：光滑曲线弧是可求长的.1）直角坐标情形设曲线弧的方程为：y=f(x) (axb).其中f(x)在a,b上具有一阶连续导数. 取x为积分变量，则曲线上对应区间x,x+dx一段小弧段的长度用对应的切线上一小段近似代替,则有ds=dx.s=dx例21计算曲线y=(2/3)x3/2上对应与x从a到b的一段弧长.解:ds=dx=dx.s=dx=2/3(1+b)3/2-(1+a)3/2.例22计算半立方抛物线y2=(2/3)(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度.解：交点坐标为(2,

15、7;).半立方抛物线的定义域为1,+,因此,积分区间为1,2. 由y2=(2/3)(x-1)3得：2yy=2(x-1)2 ，所以y2=3(x-1)/2.又立方抛物线关于x轴对称,因此,所求弧长为:s =2dx=2dx=dx=d(3x-1)=2）参数方程情形设曲线的参数方程为：x=(t),y=(t).(t)则其弧长元素为:ds=dt.弧长为:s=dt.例23计算摆线x=a(-sin),y=a(1-cos)的一拱(02)的长度.解：ds=d=2asinds=2asind=8a.例24在摆线x=a(-sin),y=a(1-cos)上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标.解：设分摆线第一拱的点对应的参数为

16、=.则s=2asind=-4acos/2=4a(1-cos/2)=2a,解得=2/3.所求点为 ()a,a). 例25将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直,使细线与圆周始终相切,细线端点画出的轨迹称为圆的渐伸线,其方程为:x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost).求这曲线上相应于t从0到的一段弧的长度.解：ds=dt=atdts=atdt=a2/23）极坐标情形设曲线的极坐标方程为：=() ().弧长元素为:ds=d.弧长为:s=d例26求阿基米德螺线=a(a>0)相应于从0到2一段的弧长.解：ds=d=ad.s =ad=shtachtdsht=achtsht|0a

17、rcsh2-sh2tdt=a2-(ch2t-1)dt=a2+arsh2-achtdsht=2+ln(2+)例27求心形线=a(1+cos)的全长.解：=as= a=2a=4acos/2d=8a.例28求曲线=1(双曲螺线)相应于=3/4到=4/3的一段弧长.解:ds=d=ds =d=-d()=-+d=5/12+ln(+)=5/12+ln3/2注：求平面曲线的弧长时，重点是记住公式ds=.例29求曲线 的弧长，（的整数）解： s =讲授内容 6.3 定积分在物理上的应用教学目的与要求1. 了解有关物理的一些实际问题如做功，水压力，引力等.2. 能正确应用定积分计算物理学中的一些实际问题.重难点重

18、点:变力沿直线作功和液体的侧压力.难点：物体对质点的引力.教学方法:讲授教学建议 应用定积分计算物理学中的一些实际问题，首先把实际问题化为数学问题，由相应的物理原理通过元素法写出积分形式.学时：2学时教学过程一、 变力沿直线所作的功设物体在作直线运动时有一个恒力F作用在此物体上，当力的方向与运动方向一致时，力F所作的功为:W=Fs . 当力为变力时，则为变力作功.例1将一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处,产生一个电场.此电场对周围的电荷有作用力.如果将一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方,则电场对它的作用力的大小为F=k(k常数).将这个单位正电荷在电中从r=a处沿r轴移

19、动到r=b(a<b)处时,计算电场力F对它作的功.解:功元素为: dW= W= .例2用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm.如果铁钉每次打击铁钉所作的功相等,问第二次时,铁钉又击入多少?解：设y轴正向与打击方向一致.由于铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,从而阻力为ky.(y为铁钉击入木板的深度,k为阻力系数)功元素为dW=kydy.设第二次又击入了h(cm).则第一次铁铁锤所作的功为:W1=kydy=k/2. 第二次铁锤所作的功为:W2=kydy=k(1+h)2-1/2.由W1=W2得:h=-1(cm).例3半径为r

20、的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重与水的比重相同,现将球从水中取出,需要作多少功?解: 建立图示坐标系.取x为积分变量.将球从水中取出所作的功,相当于将图中小薄片提升2r的高度所作的功的和的极限.将薄片从点A提升到点B,由于球的比重与水的比重相同,从而在水中浮力与重力的合力为零,所以提升力所作的功为零.再由水面提升到点B时,此时只有克服重力.又薄片在水中的行程为r+x,从而在水面上的行程为:2r-(r+x)=r-x.从而功元素为:dW=mg(r-x)=1·y2(x)dx(r-x)=g(r-x)(r2-x2)dx.所作的功为:g(r-x)(r2-x2)dx=4gr4/3.解法2：如图,以水面与球相切的切点为坐标原点.已知球缺的体积为:V=x2(r-x/3).由于球的比重与水的比重相同,将球提升x高度时,球的全部合外力的和为提升力F,重力mg和浮力U.由于球在水中的部分其重力与浮力的合力为零.因此提升力即为球在水面上方的部分的重力.且提升力为:F=将球提升dx高度,功元素为dW=F·dx,积分区间为0,2r.W=dx+dxdx2r-x=t-dtW=dr=4gr4/3.例4设一锥形贮水池,深15m,口径20m,盛满水,现用唧筒将水吸尽,问要作多少功?解：如图建立坐标系,取一薄层水,将此水吸