高等数学A2期末总复习

1、淮 海 工 学 院11 12 学年 第 二 学期 高等数学A（2） 期末总复习一、 选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. 由向量，围成的三角形面积为-（A）（A） （B） （C） （D）注1：已知，会求，举例说明并练习.注2：已知，会求由构成的面积，举例说明并练习.2，则-（B）（A） （B） （C） （D）注1：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的值代入，在对该变量求导.如： 求.又如：对选择题2，求.3. 在点处沿下列哪个方向的方向导数最大-（B）（A） （B） （C） （D）注1：在点处沿梯度方向的方向导数达到最大值.如：函数在点处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求最大值.简

2、要解答： 则 ，.又如：对选择题3，求方向导数的最大值.4二次积分的另一种积分次序为-（B）（A） （B） （C） （D） 注1：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域.如： 的另一种积分次序为-（C）（A） （B） （C） （D）又如：的另一种积分次序为.5-（D）（A） （B） （C） （D） 注1：第一种曲线积分的计算需利用与对称奇偶性来完成.如：设为椭圆，其周长为，则-（D）（A） （B） （C） （D） 6设为锥面 与平面所围立体的表面内侧，则-（D）（A） （B） （C） （D）注1：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与来完成，

3、注意内外侧.如：设空间闭区域，是的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算得 .又如：对选择题6，设为空间闭区域的表面内侧，用高斯公式计算.简要解答: 是半径为、高为的圆柱体，其体积为， 令，则 则原式 7设，则级数-（ D ）（A）都收敛（B）与都发散（C）收敛，而发散 （D）发散，而收敛注1：对于级数，当时发散，当时收敛如：下列级数中收敛的是-（D）（A） （B） （C） （D）又如：若级数收敛，则的取值范围是-（A）（A） （B） （C） （D） 8设是以为周期的周期函数，其在上的解析式为，若记的傅里叶级数为，则-（C）（A） （B） （C） （D）注1：以为周期的满足狄利克雷收敛条件，若为的

4、第一类间断点，则的傅里叶级数.如：对选择题8，.二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设是由 所确定的隐函数,求.注1：设是由所确定的隐函数，则有公式法如下：解：设-1 则 (3分,偏导错一个扣分)则 =.-3如： 设确定了隐函数，求.2 设，其中可微，求.解：-2-2= .-3注1：含抽象复合函数的偏导数计算需利用链式法则.如： ,其中均可微，求.简要解答: 则.又如：对计算题2，求.注2：的全微分公式为，求出，可得，进一步，将代入，可得，或.如：设，其中可微，求.简要解答: ，因，则.又如：对计算题1，求.3设由及轴所围成，求.解: -2则原式-2.-3注1：若积分区域为圆

5、（扇、环）域，被积函数为，则用极坐标.如： 若，求.简要解答: 原式.又如：对计算题3，求.4取为的顺时针方向，用格林公式求.解：原式-2-3.-2注1：用格林公式求时，若含分母，利用将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意的逆（顺）时针方向.如：设是的逆时针边界曲线，则.再如：对计算题4，求.三、计算题（8分）记曲面在点处的切平面为，若已知直线与垂直，求点及的方程.解： 设，则 -2由，知 -3代入可得：-1 故：，即 .-2注1：曲面在点处的法向量为.如：在曲面上求一点，使该点处曲面的法线垂直于平面简要解答: 设所求点为 , 令则点处的法向量为由已知得，解之得: ，则 故所求点为.又如：

6、求曲面在处的切平面的方程,（1）判断平面：与切平面的位置关系；（2）判断直线与切平面的位置关系.简要解答: （1）令则，切平面法向量切平面方程为： ，平面法向量为 由 知 ，即 .（2）直线的方向向量为由，知，又直线上的点，则.注意：当时，若直线上的某点，则有.四、计算题（分）求幂级数的收敛半径和收敛域解: -2当时，即时，该级数绝对收敛-1 当时，即时，该级数发散-1则收敛半径 -1 时，相应级数为收敛-2 收敛域为 -1注1：熟练掌握求幂级数收敛半径和收敛域的解题方法与过程如：求幂级数的收敛半径和收敛域 简要解答: ，当时，即时，该级数绝对收敛； 当时，即时，该级数发散，则收敛半径 ， 时

7、，相应级数为发散，收敛域为 五、证明计算题（本题8分）求证：为某二元函数的全微分， 并求解: -1-2则与积分路径无关-1 -1-2-1注1：与积分路径无关，且，一般取为原点.如：证明：在整个平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数简要解答: 因，则命题得证；又如：对证明计算题五，求证:与积分路径无关,仅与的起点仅与的起点与终点有关，并求出简要解答: 因，则命题得证；六、计算题（本题8分）求 解 如图, 原式-2-2-2.-2七、应用题（本题8分）如图是一块边长为的正方形地皮，其中是一座半径为的扇形小山，是弧上一点，其余部分都是平地.某开发商想在平地上建造一个有边落在与上的矩形停

8、车场，设，求该停车场的最大面积.解：在中，-1停车场的面积，-1构造， -1由-1解得或-1当时，易得-1当，易得-1故停车场的最大面积为.-1注1：此类优化应用题应化为条件极值问题，一般利用拉格朗日乘数法解决，也可将条件代入目标函数转化为无条件极值问题加以解决.如：2008年5月12日我国四川汶川发生了强烈地震，整个汶川地区的道路网受到了空前的破坏，为重建家园，政府决定建立一个优化的道路系统现有一个道路子网将连接汶川地区的四个农庄，恰好座落在边长为的正方形顶点上，该道路子网有一条关于对称的中心道及四条支道，整个设计要求，设长为，问为多少时，道路子网总长度最短？ A B O1 O2 D C简要

9、解答: ，且该题要求在上述条件下求道路总长度的条件最小值构造拉格朗日函数解得，可使道路子网总长度最短注意：本题也可将化为，代入目标函数令进行求解八、微分方程复习题1、的通解为-（ B ）（A） （B） （C） （D）注1：一阶可分离变量微分方程的解法为.对选择题1，则选（ B ）.如：求的通解.2、是下列哪个微分方程的通解-（ A ）（A） （B） （C） （D）注1：的特征方程为，不要求；若特征方程有两个不同实根，原方程通解为；若特征方程有两个相同实根，原方程通解为.对选择题2，因为该微分方程的两个特解，则为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为，故选（A）如：的通解为；通解为，则微分方程为.又如：的通解为；通解为，则微分方程为.3、 微分方程的一个特解可设为-（C）（A） （B） （C） （D）注1：的特解可设为，当为其相应特征方程的非特征根，单根，重根时，分别取.注2：的特解可设为，当为其相应特征方程的非特征根，单根，重根时，分别取.对选择题3，因