量子力学作业

1、热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律：mT=b 表示，其中b=2.8978×103mK。求人体热辐射的峰值波长（设体温为37°C）。解：T= 273+37 K=310K，由题意，人体辐射峰值波长为：m=bT=9.35×106m。宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于T=2.726K黑体辐射。此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？ 解：T=2.726K，由维恩位移定律m=T=b2.8978×1032.726m=1.06mm，属于毫米波。波长为=0.01nm的X射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直的方向上观察时，散射

2、X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV？解：设碰撞后，光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为,，由能量守恒，=+mec21 ，动hchc量守恒:=cos+hh;0=sin1hc；整理得:+2h2h2h201cos=22m20vccv联立第一式：1-0=2h2hhchc电子能量：Ee= sin2;0=0.01nm ;则X射线的波长为：1=sin2+0.01；-mec2mec21p2h在一束电子束中，单电子的动能为E=20eV，求此电子的德布罗意波长。 解：电子速度远小于光速，故：E=2m则：=p=2.76×1010m。 设归一化波函数： x =Aen2x2,(<x&l

3、t;)a为常数，求归一化常数A； 设归一化波函数： x =Asin ax ,(0<x<a) ，n为正整数，a为常数，求归一化常数A。+解：由归一化条件： 2dx=21+a2x21; Ae2 dx=21a2x21，因为为偶函数，故2 0 Ae2 dx=1，因为是反常积分，解得A=2n Asin x dxa=1,(0<x<1cosaa) 0A22i(prEt)2nx11dxA2x2a4nsin2nax =1A=aa2由粒子的波函数为 r,t =Aep2其中p 和E 是粒子的动量和能量，r 和t 是空间与时间变量，p2，是普朗克常数，A 是归一化常数。试建立自由粒子波函数所满

4、足的方程。 解：能量与动量的关系：E=2m=,p=k，对时间求微商：对空间求二次微商2=-i =E，t2联立以上各式:i (r,t)=- 2(r,t)+U(r)(r,t)，以上即为波函数所满足方程。t2m(x)=E(x)该粒子的初始波函数为设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方为Hnnn(x,0)=c11(x)+c22(x)设cn和n(x)是实数，求任意时刻的波函数及粒子的几率密度。 2d2解：将本征方程写成算符形式： -+U(x)nn(x)=Enn(x)， 22mdx宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为n x = asin ax ,(n=1,2,3)证本征函数的正交性： 0m, x n x

5、 dx=0 (mn)。a2n解：原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态(n = 2)跃迁到基态(n = 1)时，释放的能量是多少MeV? 核的线度按a=1.0×1014m计算。解：理想金属细杆中的电子可以当成处于一维无限深势阱中而不能逸出，它们在细杆中可以认为是自由的。设细杆的长度为a,电子的初始波函数为 x,0 =f x =Ax，(0<x<a,A为归一化常数)试求任意t 时刻电子的波函数(x,t)。解：=E(x)，如果粒子的初态为k(x)，求设一个微观粒子的哈密顿不含时间，其本征方程为Hnnn粒子在任意时刻的波函数及几率密度。解：设谐振子处于基态(n=0)：1.写出其波函数的表示式；2.由哈密顿算符的本征方程及基态波函数 计算基态能量。解：设想一个质量为m =1的小珠子悬挂在一个小弹簧下面做振幅为 =1的简谐振动。已知弹簧的劲度系数为=.1N/m。按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？与它现有的振动能量对应的量子数n是多少？由此可以看出宏观谐振子与量子谐振子的关系是什么？解：试证谐振子处于第一激发态（n=1）时的波函数为：n()=(21)exp(-2) 2并求处在这个态时谐振子的最可几位置。解：H2分子中原子的振动相当于一个谐振子，其等效劲度系