届4月苏北四市数学第三次联考

1、07 93 3 5 6 712 4 5 3 30 14 71 1 29.点A(0,2),抛物线y22022届苏北四市高三数学试题试卷一、填空题：本大题共 14小题，每题5分，共70分.1.假设( i是虚数单位)是是实数，那么实数 a的值是 .1 i2. 集合 A xx 1 ,B xx2 2x 0,那么 A B3. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取 20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在15,30内的人数为4. 在如下图的流程图中，输出的结果是.5. 假设以连

2、续掷两次骰子得到的点数m, n分别为点 P的横、纵坐标，那么点 P在圆2 2x y 16内的概率为0 x 16. 在约束条件 0 y 2下，那么.(X 1)2 y2的最小值为.2y x 17. 一个匀速旋转的摩天轮每 12分钟旋转一周，最低点距地面 2米，最高点距地面 18米，P是摩天轮轮周上的一个定点， 从P在摩天轮最低点好似开始计时， 那么16分钟后 P点距地面的高度为.8. 集合 A (x,y)|x y 1 , B (x, y) x2 y2r2r 0,假设点(x,y) A 是 点(x, y) B的必要条件，那么r的最大值是2px(p 0)的焦点为F ,准线为I，线段FA交抛物线与点B,过

3、B作I的垂线,垂足为M ,假设AM MF ,那么p10.假设函数f (x)x2 ,x 0x2 ,x,那么函数y0f (f (x)的值域是11.如下图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC BC,AC 4,BC CC12,假设用平行于三棱柱 ABCA, B1C1的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，那么长方体外表积的最小值为.12.椭圆2才1,A,B是其左、右顶点，动点M满足MBAB ,连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点 代B的定点Q,以MP为直径的圆经过直线 BP, MQ的交点，那么点Q的坐标为 .那么4x y的最小值是14.如图是一个数表，第1行依次写着从

4、小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，那么这个数表中的第13行第10个数为 .1234567357911158 12162024 20 23 36 钊486480 -、解答题：本大题共 6小题,共90分,解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤15.如图，在平面直角坐标系 xoy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的3倾斜角为，OB 2设 AOB4).(1)用表示OA;求OA OB的最小值.16.如图，四面ABCD的四个面均为锐角三角形，E、F、G、H分别为边AB,BC,CD,DA上的点，BD/平面 EFGH ,且 EF F

5、G .(1) 求证：HG/平面ABC;(2) 请在面ABD内过点E作一条线段垂直于 AC,并给出证明.ABC17.如图，位于 y轴左侧的圆C与y轴相切与点(0,1)，且被x轴分成的两段弧之长比为2:1，过点H (0,t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；当t 1时，求出直线I的方程；求直线OM的斜率k的取值范围D18. 心理学家研究某位学生的学习情况发现：假设这位学生刚学完的知识存留量4记为1，那么X天后的存留量y!；假设在t(t 4)天时进行第一次复习，x 4那么此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存储a量y2

6、随时间变化的曲线恰为直线的一局部，其斜率为2 (a 0),存留(t 4)2量随时间变化的曲线如下图当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，那么称此时此刻为“二次复习最正确时机点(1) 假设a1, t 5，求“二次最正确时机点；(2) 假设出现了“二次复习最正确时机点，求a的取值范围.19. 各项均为正数的等差数列an的公差d不等于0，设aa3,ak是公比q的等比数列 bn的前三项.(1)假设 k 7, a1 2.(1) 求数列 anbn的前n项和Tn ；(ii)将数列 an中与bn相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列cn ，设其前n项和为Sn，求S2nn1 22n 1 3 2n

7、 1(n 2,n N)的值；(2) 假设存在m k,m N使得a1, a3,ak ,am成等比数列，求证：k为奇数-x2 2ax, a2R.14520.波函数 f(x) ax2 ln x, f1(x) x2 x ln x, f2(x)639(1)求证：函数f(x)在点(e, f (e)处的切线恒过定点，并求出定点坐标; 假设f(x)f2(x)在区间(1,)上恒成立，求a的取值范围;2当a 时，求证：在区间(1,321、B.选修4 2:矩阵与变换矩阵M= 12的一个特征值为2 x3,求其另一个特征值。)上，满足fi(x) g(x) f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个.C.选修4 4:坐标系

8、与参数方程 极坐标系的极点与直角坐标系的2x(2)P为椭圆C :16数列 an中，对于任意n3N ,an 4an 3a.(1)求证：假设ani)am1,那么1 ;(ii) a1an 11 ; (2)假设存在正整数 m，使得am 1，求证:2k3cosp (其中 k Z)(参考公式：cos3 4cos33m 13cos ).原点重合，极轴与x轴的 正半轴重合假设直线I的极坐标方程为sin(-) 3、2.(1)把直线I的极坐标方程化为直角坐标系方程;21上一点，求P到直线I的距离的最大值922. (本小题总分值10 分)如图，三棱柱 ABC A1B1C1的侧面与底面垂直，AA AB AC 1,AB

9、 ACM,N,P分别是CC1, BC,A1B1的中点(1)求证：PN AM ；假设直线MB与平面PMN所成的角为 ，求sin的值23. (本小题总分值10分)2(1) 求证：OM OP OA ;(2) N为线段AP上一点，直线NB垂直直线过B点的切线交直线 ON于K ,求证：ON，且交圆OKM 90M苏北四市(连云港、徐州、淮安、宿迁)2022届高三年级第三次调研考试数学试题试卷 n21.【选做题】在下面 A,B,C,D四个小题中只能选做两题，每题 10分，共20分. A.选修4 1:几何证明选讲OM 于 P .如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为 A,过A作APD.选修4 5:不等式选讲设

10、 x, y,z为正数，求证：2(x3 y3 z3) x2(y z) y2(x z) z2(x y).苏北四市(连云港、徐州、淮安、宿迁)2022届高三年级第三次调研考试数学参考答案及评分标准、填空题:1. 1 ；2.XX 03. 100;4.60 ;25.-97. 14;8.9.、2 ;10.11. 24;12. (0,0)；913.-4二、解答题14. 216 (或者65536).15. (1)在厶ABC中，因为OB 2 ,BAOABOOA)也得4由正弦定理，得_=-.p sin DABO sin4一OA，所以 OA= 2,2sin(坐-q). /3p 、4sin( - q)4注：仅写出正弦

11、定理，得 3分.假设用直线AB方程求得OA= 2(sinq + cosq)或OA 22sin(uir urnuirum3P由(1)得 OA?OB |0A|鬃OB| cosq=4、2sin( - q)?cosq , 8分42(sin2cos2 ) 2 2.2 sin(2) 2, 10 分42 4444p3P5Puir urn所以当2q+ p=上，即q二上时，OA QB的最小值为22 2 14分42816.(1)因为 BD/平面 EFGH ,平面 BDC I 平面 EFGH FG，所以 BD/FG .同理BD/EH，又因为EH FG ,所以四边形EFGH为平行四边形，所以HG /EF，又HG 平面

12、ABC ,所以HG P平面ABC . 6分(2)在平面ABC内过点E作EP AC，且交 AC于P点，在平面ACD内过点P作PQ AC，且交AD于Q点，10分连结EQ，那么EQ即为所求线段.证明如下:EP ACPQ ACEPI PQ PAC 平面EPQEQ 平面EPQEQ AC14分17解：(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y 1上,设圆C与x轴的交点分别为 A、B ,由圆C被x轴分成的两段弧长之比为 2:1，得2ACB3所以CA CB 2，圆心C的坐标为(2,1),所以圆C的方程为：(x 2)2(y 1)2 4 (2)当t 1时，由题意知直线lmx2)2(y

13、1)2的斜率存在，设直线42_-m 1m2 4ml方程为y mx 1,m21不妨令4mm2 1因为以uuuu 所以OM解得m4m21MN为直径的圆恰好经过 O(0,0),uuLr4 m2ON (厂，一2m2 1m2 12.3，所以所求直线I方程为yb N(0,1),4m 1) (0,1)m2 4m 1 小m 2 0，m 1(2 . 3)x 1 或 y (2. 3)x 1 .10分(3)设直线MO的方程为y kx,由题意知,2k 1 2，解之得 k 0 .由2知，k =0也满足题意. k 4314分所以k的取值范围是,-U0,-.3 418.设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为由题意知，

14、y2a8(x t) C (t 4)所以yy2 y1(t(t4)(1)当 a1,t5时,1y2 (x 5)(5 4)(x 4)81当且仅当 x 14时取等号, 所以“二次复习最正确时机点为第14 天.10分a(x 4)(t 4)28 a(t 4)t 4 (t 4)214分当且仅当a(x(t2由题意 2 (tv a4)4)222 (t 4)4时取等号,a4)t，所以16分19 .因为k 7 ,注：使用求导方法可以得到相应得分 所以a1,a3,a7成等比数列，又 是公差d 0的等差数列,2所以a 2d6d，整理得312d ,又a12，所以bia1a3a1a 2da所以a1,bn2n ,用错位相减法或

15、其它方法可求得an bnn 1的前n项和为Tn n 2；所以S2n(2n 1)(22n)2(2n 11) (2n 1)(2m 1)2 1n 12所以Sn 12 2n 13 2门 11 .10分由(a12d)2a1 (a1(k21)d，整理得 4da1d(k5),因为d0,所以da,k5)asa1 2d，所以qk 34a1a12所以am3aqai12分又在正项等差数列an中,ama1(m 1)d a1ai(m 1)(k5)13分所以a1a1(m1)(k 5)4a133，又因为a1所以有 2 4 (m 1)(k 5)(k3)3，14分因为存在mk,m N*使得印忌松成等比数列,因为2 4 (m 1

16、)(k5)是偶数，所以(k 3)3也是偶数,即k 3为偶数，所以k为奇数.16分1120. (1)因为f (x) 2ax ，所以f(x)在点(e, f(e)处的切线的斜率为 k 2ae -,xe1 2所以f (x)在点(e,f(e)处的切线方程为y (2 ae -)(x e) ae2 1 ,2分 e整理得y - (2ae 1)(x -)，所以切线恒过定点(-,1) 4分2e 22 21 2(2)令 p(x) f (x) f2(x) (a )x 2ax In x0,对 x (1,)恒成立，21因为 p (x)(2a 1)x 2a x2(*)(2a 1)x 2ax 1 (x 1)(2a 1)x 1

17、xx6分令 p(x)10 ,得极值点x11 , x22a 11当丄21a 1 时，有 X2 X11，即a 1 时，在(x , +s)上有 p (x)0 ,此时p(x)在区间(X2,)上是增函数，并且在该区间上有p(x) (p(X2),)，不合题意;当a 1时，有X2 x,1，同理可知，p(x)在区间(1,)上，有p(x) (p(1),)，也不合题意； 8分1当a 时，有2a 10,此时在区间1,上恒有px 0,2从而px在区间1,上是减函数；11要使px 0在此区间上恒成立，只须满足p1 a10 a-,22所以综上可知a的范围是12分当f/x)因为所以f2Xh(x)1x61 2X34x35.5

18、In x, f2(x)9In x, x9(1,2x y T59x6x259x所以f2Xf1X在1,上为增函数,f2X f,Xf2(1)f1(1)14分设 R(x)f1(x) 13,(01),那么 f1(x)R(x)f2 (x),所以在区间1,上，满足 f1(x) g(x)f 2(x)恒成立的函数gx有无穷多个.16分数学附加题答案与评分标准21 . A选修4-I :几何证明选讲证明：1因为MA是圆O的切线，所以OA AM ,又因为AP OM 在RtAOAM中，由射影定理知，OA2 OM gOP .2因为BK是圆O的切线，BN OK ,同1,有OB2 ONgOK ,又OB OA，所以OPQMON

19、QK，即 OOMOK，又 / NOP所以 ONP OMK，故/ OKM Z OPN 90.10分B .选修4 2矩阵与变换解：1由$，即 2 3b8,2 c 612 , b 2,c 3 ,所以M/(2)设曲线上任一点 P(x,y), P在M作用下对应点p/(x/, y/)，贝V X/yx/3x/2y/，代入5x28xy 4y21 得 x2 y 22 ,即曲线5x2 8xy 4y2 1在M的作用下的新曲线的方程是x2 y2 2 .10分C .选修4-4 :坐标系与参数方程解：(1)直线l的极坐标方程sin 732，那么-2sincos 3 . 2 ,即 sincos(2) P为椭圆2xC:166 ,2 y9所以直线l的直角坐标方程为x那么P到直线l的距离d1 上一点，设 P(4cos , 3sin )，其中|4cos 3sin 6| 15cos(所以当cos( )1时，d2的最大值为2D.选修4 5:不等式选讲因为x22xy 0 ,所以xy yxy同理yz y zzx z0,2 ),2)6|, 其中 cos 510分三式相加即可得2 x3z3xy xyzz zx z又因为xy x y yz y zzx所以 2 x3y3 z3x2 y10分22.解：(1)建立如下图直角坐标系,那么 A(0,0,0) , B(1,0,0) ,