千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第100炼-利用同构特点解决问题

1、第 100 炼 利用同构特点解决问题、根底知识：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：1在方程中的应用：如果方程 fa 0和f b0呈现同构特征，那么 a,b可视为方程f x 0 的两个根2 在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，那么可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比拟大小或解不等式3在解析几何中的应用： 如果 A x1,y1 ,B x2,y2 满足的方程为同构式，那么 A,B 为方程所表示曲线上的两点。 特别的，假设满足的方程是直线方程，那么该方程即为直线AB 的方程4在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构的特征，即

2、关于an,n 与an 1,n 1 的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：x1 ： 2022 天津十二校联考 设 x,y R ，满足yA.B. 2C.此题研究对 象 并 非 x, y ， 而 是2x2ysinsinx1y1D.，进，那么 x y可变形为552552x1y1sin x 1 1 ，观察上下式子左边结构相同， sin y 1 1进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解解：2x sinx12 x 1 sin x 12y siny12 y 1 sin y 1t52t sint ，可得 f为奇函数，由题意可得：

3、x1y1x 1 y 1 x y 2答案：Ba b例2：假设函数f x . x 1 m在区间a,b上的值域为 一，一 b a 1，那么实数m的2 2取值范围是思路：注意到f x是增函数，从而得到厂m里b2一，即2，发现2b 1 m2两个式子为a,b的同构式，进而将同构式视为一个方程,而a,b为该方程的两个根，m的取值只需要保证方程有两根即可解：丁 f x为增函数a 一，f b2一2一2a, b为方程.x 1上的两个根,1有两个不同的根令t ,x 1 t 0t2所以方程变形为：m2t2 2t 1，结合图像可得:0g1答案：m 0,2例 3：设 a,bER，那么 | “ ab 是“ aa'b

4、b 的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充要又不必要条件思路：观察a a?b b可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数f x x x，分析其单调性。f X x xx2,xx2, x可得f x为增函数。所以a>b J- f a即a二b 3 abb，所以是充要条件答案：C例4：假设0为x2 1,那么 A.ex2eXl Inx2In x1B.eXl ex2 Inx2In x1C.x2exi x1ex2D.x2exi x2答案：c思路：此题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将x1,x2分居在不等式两侧后都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断

5、函数在0,1的单调性D 选项：x2e" x1ex2ex1，同样构造f xX2xe，由C选项分析可知D错误x即可解：A 选项：ex2In x2In x1eX2In x2eX1In x1，设 f xex In x1x 1xex1x1xfx e，设g xxe1，那么有gxx 1 e0恒成立，所xx以gx在0,1单调递增,所以g 010,g 1 e1 0，从而存在x°0,1 ，使得gx。0，由单调性可判断出：x10,X° ,g x 0f' x0,xXo,1,g' x 0f x 0，所以f X在0,1不单调，不等式不会恒成立B 选项：ex2 lnx2In x

6、1e51In x1eX2In x2，设 f xexIn x可知f x单调递增。所以应该 f x1 fX2，B错误ex1ex2Xex 1 exC 选项：x2ex1e构造函数f X，f X2，那么%X2XXf x 0在x 0,1恒成立。所以f x在0,1单调递减，所以f Xif X2成立答案：Cxfx 1x 1 f:X，那么 f20222的值是01C. 15A.B.-D.的形式,2 2f x 1 f x思路：观察条件可变形为：，从而得到等式左右的结构均为x 1 x且括号内的数间隔为1。所以f 202222022f 202220221212。因为f1为偶函数，所以f 12f -f -1,由-222可

7、得f11f0，进而2112222222f 202220222答案：A例6：如果cos553sin 7 sincos30,2，那么的取值范围是sin ,cos 的项分居在不等号两侧： cos57cos3sin57sin3 ，那么左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数f cosf sin 等价于cossin ，即 sincos02 sin40，所53x x 7x ，能够判断f x是奇函数且单调递增。所以不等式2k k Z，结合°，2，可得；，以2k思路：此题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现假设将关于答案:例7：如图，设点Pby。曲线x2 y21的两条切线AB过某一个定点解：设A

8、x1,y1 ,bX2,y2那么 PA: yY1k :X 片y可得：2 .kx12Xkxy11k2 x22k y1kx11所以在直线x m y m,0 m 1,且m为常数 上，过点P作双,PA的斜率为，联立方程y2X，整理可得:yikx1y1 k2yk2x：2 /x-!2 24k y1 kx12y1kx12kx1y12x1y1kx_y1PA: yy1同理，切线yikxik22X1x_y11 k22X12X1k2xx12y1 ,y1y* X1y1yx1xPB的方程为y2y在切线PA,PB上,A, B满足直线方程y°y mxAB : y0y mx 1所以当x1x所以有PA, PB，切点为

9、A, B，因为PA与双曲线相切1 k2022kx1 y-iy 102X1代入可得:mx1 1mx2 1而两点唯一确定一条直线丄m时，无论y°为何值，等式均成立011点 ,0恒在直线AB上，故无论P在何处，AB恒过定点,0mm例&椭圆c中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点为0,1，离心率为一厂551求椭圆C的方程2过右焦点F作直线丨交椭圆于A, B，交y轴于R，假设RAAF,RBBF，求解：1eC 2ba5 b1Ta22 c2b 1 解得a、5,c 22xC :5y2 12思路：此题肯定从 RAAF, RBBF入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但观察发现两个等式除了 代B不

10、同，系数，不同，其余字母均相同。且A x,y, ,B x2,y2也仅是角标不同。所以可推断由RA AF,RB BF列出的方程是同构的， 而代B在同一椭圆上，所以如果用，表示x1,x2,y1,y2，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得:2 102520k2 1025 20k0，所以0为方程x210x5 20k20的两个不同根,进而利用韦达定理即可得到10解：由1得F 2,0，设直线I : yk x 2 ，可得 R 0, 2k，设 A x1,y1 , B x2, y2可得：RA x1,y1 2k ,AF2 x1, y1 ，由 RAAF可得:2x12 x1x1 1|y1 2ky1y2ky11因

11、为A在椭圆上，X； 5yi 5，将代入可得222k=54 220k25210520k20对于，RBX2,y22k,BF2X2,y2，RBBF同理可得：210520k207为方程X210x520k20的两个不同根10例9 :函数XXa1a为正常数，假设g x InxX ,且对任意X1，X20,2必X2，都有g X2X2g X1-1,X1求a的取值范围.思路：观察到不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令x2 x1，那么不等式变形为g X2相同结构视为函数h xg X1X1X2，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将g x X，从而由x2X-且h x2h X-可知只需h X为增函

12、数即可。从而只需不等式h x0恒成立即可，从而求出 a的范围解：gX In X不妨设X1 X2，那么恒成立不等式转化为:g X2g XiX1X2g X2X2XiXiX In X那么由X2h X-!恒成立和X1 X2可得:只需h在0,2单调递增即可0恒成立2X 1恒成立X所以只需Xmin2x x 12x2Xmin10,单调递减，在21丄,2单调递增2a2例10:数列an求数列an的通项公式272满足a1an思路：此题递推公式较为复杂,到别离常数简化分式，即an 11tn 11an 12 Fan 1tn 1an 11，即可设2项公式,进而求出an解：an2tn 1an设bn1bn 12t 3 t R,t 1，且2tn 13 an 2 t 1 tn 1nan 2t所以考虑先化简分式，bn3 an2 t 1an2tn 1观察到分子中含有分母的项，所以想2 tn 11 an2tn 1anan 1tn 1tn 11-，寻求相邻同构的特点，转化为，递推公式变为bn 1皀匚，那么能够求出0通bn 22tn 12 an 2tn 1 2an2tn 1an2tn 12 tn 1 1 an1an2tn 1an 1tn 11an 1tn 1，bn 22bn2 tn 1an1 an 1- 12tn 12 a 1an 2tn 1那么递推公式变为1bn 1丄bnan J 11tnbn