高复数学数列等差数列等差数列前n项和

1、第四章第四章 数列（一）数列（一）讲师：胡燕芳讲师：胡燕芳课堂纪律：课堂纪律：1. 手机关机或者调成静音手机关机或者调成静音 2. 准备好草稿纸准备好草稿纸3.课前课前10分钟，自觉看课本上节内容及本分钟，自觉看课本上节内容及本 节课知识点节课知识点 4.有问题请举手发言有问题请举手发言等等 差差 数数 列列1 .数列：按一定的次序排成的一列数叫做数列数列。2.写出下列数列的通项公式：（1）2，4，6，8（2）1，4，9，16，25，36 an=2nan=n2观察与思考 ：下面的几个数列相邻两项有什么共同点：(1) 5，5，5，5，5，5，(2) 4，5，6，7，8，9，10.(3) 2，0，

2、-2，-4，-6，定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。等差数列。这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d d表示。表示。公差公差 d=0公差公差 d=1 公差公差 d= -2练习1：判断下列数列是否是等差数列判断下列数列是否是等差数列? ? 如果是等差数列，说出公差是多少如果是等差数列，说出公差是多少? ?（1）1，2，4，6，8（2）2，4，6，8（3）1，-1，1，-1（4 4）0, 0, 0, 0,0, 0,

3、 0, 0,（5）1，1/2，1/3，1/4（6）-5，-4，-3（7） 1， 2，4，7，11（不是不是）（ 是是 ）d=2 （不是不是）（ 是是 ）d=0 （ 是是 ） （不是不是）（ 是是 ）d=1 （不是不是）练习练习2：填上适当的数，组成等差数列填上适当的数，组成等差数列（1） 1，0 , ，-2（2）_，2，4（3）_,3 ,5 ,_（4）1 ,_, 3-10171问题：如果在问题：如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a ，A，b 成等差数列数列，那么成等差数列数列，那么A应满足什么条件？应满足什么条件？ 由三个数由三个数a，A，b组成的等差数列可组成的等差数列可以

4、看成最简单的等差数列，这时，以看成最简单的等差数列，这时，A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项.成等差数列，bAa)2(2AbabaA或A是是a与与b的等差中项的等差中项.数列：数列：1，3，5，7，9，11，135是是3和和7的等差中项，的等差中项，1和和9的等差中项；的等差中项；9是是7和和11的等差中项，的等差中项，5和和13的等差中项的等差中项. 不难发现，在一个等差数列中，从第不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项都是它的前一项与后一项的等差中项.通项公式的推导通项公式的推导daa12d

5、addadaa3)2(1134daddadaa4)3(1145dnaan) 1(1因为 是等差数列，它的公差为d.所以有 na解：由此可知由此可知12ad32aad1()add=已知等差数列已知等差数列 的首项是的首项是 ,公差是公差是 . 写出写出 、 ,并试着推导出并试着推导出 . na1adna3a2a当 时，等式两边都等于 ， 公式成立。nN 1a1n 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d例题例题,20,385,81nda49)3()120(820 adnaan) 1(1（1）求等差数列）求等差数列8，5，2，的第的第20项。项。解：解：因此，因此，)4() 1(5401n解得解

6、得100n答：这个数列的第答：这个数列的第100项是项是-401.dnaan) 1(1（2） 401是不是是不是等差数列等差数列 -5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？解：解：,401, 4) 5(9, 51nada例题例题等差数列的通项公式等差数列的通项公式 a an n = a = a1 1+(n-1)d +(n-1)d 中中 ，a an n , a , a1 1 , n ,d , n ,d 这四个变量这四个变量 ， 知道其中三个知道其中三个量就可以求余下的一个量就可以求余下的一个 量量. .总结：总结：51410aad1211131aad解得解得12a 3d

7、 解：解：na51210,31aa 在等差数列在等差数列 中，中， , 求求 首项首项 与公差与公差 . 1ad例题例题1. 求等差数列求等差数列2，9，16，的第的第10项；项；2. 求等差数列求等差数列0，-7/2，-7的第的第n项；项；例题例题a10=2+(10-1)7=652727)27(*) 1(0nnan ，3、在等差数列、在等差数列 中，已知中，已知na76a 40a , 1a d ，6-2求：求： （1）（2）na ；（3）10是不是这个数列中的项？是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？如果不是说明如果是，是第几项？如果不是说明理由。理由。-2n+84、等差数列、等差数列1，

8、-1，-3，-5 ，-89，它的它的项数是项数是5、在等差数列在等差数列 中中,2645,6,aaa 则则1a na-8466、等差数列、等差数列 中，中，nak 4113,9kaa aa则则 13 1、等差数列的概念、等差数列的概念：2、等差数列的通项公式：、等差数列的通项公式：或或 a an n , a , a1 1 , n ,d , n ,d 这四个变量这四个变量 ， 知道其中三知道其中三个量就可以求余下的一个个量就可以求余下的一个 量量. .小结：小结：an=a1+(n-1)dan-an-1=d (d2,nN*)an+1-an=d (nN*)等差数列的前等差数列的前n n项和项和1.1

9、.等差数列的内涵特征是什么？等差数列的内涵特征是什么？ 如何用如何用递推公式描述？递推公式描述？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个于同一个常数常数. .或或an-1an+12 an( (n2).2).an-an-1=d (d2,nN*)思考：思考：200200多年前，高斯的算术老师提出多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：了下面的问题： 1 12 23 3100100？据说高斯很快就算出了正确答案据说高斯很快就算出了正确答案, ,你知道你知道他是如何计算的吗他是如何计算的吗? ?(1(1100)100)(2(299)99)(50(5051)51

10、)10110150505050.5050.思考：思考：高斯的算法实际上解决了求等差高斯的算法实际上解决了求等差数列数列1 1，2 2，3 3，n n，前前100100项的和的项的和的问题，利用这个算法，问题，利用这个算法，1 12 23 3n n等于什么？等于什么？2) 1( nn思考：思考：上述算法叫做上述算法叫做倒序相加法倒序相加法. .一般地，一般地，设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，即即 ，利用，利用倒序相加法如何求倒序相加法如何求S Sn n？所得结果如何？所得结果如何？nnaaaS.212)(1nnaanS思考：思考： 就是等差数列就是等差数列

11、的前的前n n项和公式，用文字语言如何表述这项和公式，用文字语言如何表述这个公式？个公式？等差数列前等差数列前n n项和等于项和等于首项首项与与末项末项的和的的和的一半一半与与项数的积项数的积. .2)(1nnaanS推导：推导：2)(1nnaanSan=a1+(n-1)d2) 1(2)(11dnnnaaanSnn结论：结论：an与与Sn之间的关系：之间的关系：an=Sn-Sn-1 (n2)an=S1 (n=2)例例1 1 在等差数列在等差数列 an 中，中，已知已知a3+a5=40 ，求求S7.140240*72)(7717aaS 例例: : 已知一个等差数列已知一个等差数列aan n 的前

12、的前1010项项的和是的和是310310，前，前2020项的和是项的和是12201220，求这，求这个等差数列的前个等差数列的前n n项和项和. .Sn=3n2+n练习：练习：1. 数列 的通项公式是 ；2. 数列 的通项公式是 ；,.111,91,71,51,31, 1.729124318112719131，121nannna313.已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，a3=2，a6=11，求：，求： (1)该等差数列的公差该等差数列的公差d； (2)该等差数列的通向公式该等差数列的通向公式an及及a10的值；的值； (3)该等差数列的前该等差数列的前n项和项和Sn及及S5.d=3 ；an=3n-7 ，a10=23； S5=10