基本不等式完整版(非常全面)

1、基本不等式专题辅导、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若 a,b R，则 a2 b2 _2ab2亠2（2）若 a,b R，则 ab 冬？22、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R*，则 a b _2 ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若 a,b R*，则 S ab2（2）若 a,b R*，则 ab 空 口I 2丿总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值;6、柯西不等式(1 )若 a,b,c,d R，则(a2 b2(c2 d2) 一(ac bd )2(2) 若 a1,a2,a3,b1,b2,b R，则有：2 2 2 2 2 2 2 (da?a3 )(柑b2b3 ) _ (

2、a a?b2 asb?)(3) 设a1,a2,，a*与b1,b2,bn是两组实数，则有2 2 2 2 2 2 2 (印 a2 亠 亠a. )(b b 亠 亠 h ) _(aib, - a2p 亠 亠and)二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设a,b均为正数，证明不等式：. ab二 一X1a b当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a二b时取=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1) 若x 0，则x 2 (当且仅当x =1时取“=”)x1(2) 若x：0,则x2 (当且仅当x - -1时取“=”)x(3) 若ab 0 ,则_

3、 b _2 (当且仅当a二b时取“=”)b a(4) 若 a,b R，则 ab _()2 _a b22(5) 若 a,b R*，则 ab_ ab"!+12V 2a b特别说明：以上不等式中，当且仅当a二b时取=2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2ab bc ca2 2 2 13、已知a b 1，求证：a b c -34、已知a,b, R ，且a b 1 ，求证：(1_a)(1 _b)(1 _c) _8a b c5、已知a,b, R ,且a b c =1 ,求证4 丄 1 1 1一 8a b c6、（ 2013年新课 标H卷数学（理）选修4 5:不等式选 讲设a

4、,b,c均为正数,且a b c = 1,证明：1(i) ab be ca 乞；(32 . 2 2n)a_+L+£_ 汀b c a题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域2 1（1） y =3x 2（2） y = x（4 - x）2x21(3) y = x (x 0) x7、（ 2013年江苏卷（数学） 选修4 5 :不等式选讲已知 a -b 0，求证:2a3 b3 _ 2ab2 -a2b题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）41、已知x 2，求函数y = 2x -4的最小值;2x 4变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式1：当Ls： 时，求y =4x（82x）的最大值

5、;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式2：已知X ： 2，求函数=2x42x -4的最大值;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;y = 4x(3 - 2x)的最大值。3变式2：设0 ：: X ,求函数2变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;2、若 0 ： x ： 2，求 y = . x（6 - 3x）的最大值;5A练习：1、已知x ,求函数y =4x -2 - 的最小值;44x -5变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式1 :已知x 2，求函

6、数八冇的最小值;2、已知x，求函数 y =4x_2 1 的最大值;44x5变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式：若0 ： x ： 4，求y =：Jx（8 - 2x）的最大值;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当L/时，求y =x（8 -2x）的最大值;3、求函数 y = 2X-1 +臂5 2x（ £ x龙'）的最大值;2 2变式1 :已知x 2，求函数八冇的最小值;（提示：平方，利用基本不等式）1 1变式1:已知a,b .0, a

7、2b = 2，求t=-的最小值;a b变式：求函数yx_3一乂弓”专）的最大值;2 8变式2：已知x, y 0,1，求xy的最小值;x y1 1变式3：已知x, y 0，且9，求x y的最小值。x y19变式4：已知x, y 0 ,且=4，求x y的最小值;x y题型五：巧用“1”的代换求最值问题1 11、已知a, b 0, a 21，求t的最小值;a b法一：变式5:1 1(1) 若x, y . 0且2xy=1，求 的最小值；x y(2) 若a,b,x, y R 且a=i,求 x y 的最小值;x y变式:求函数y =.(x -1)的值域;2、求函数y匚2的最大值；(提示：换元法)2x +

8、5变式6：已知正项等比数列 满足：a? = a6 2a5，若14存在两项am,an，使得.aman =4a1，求的最小值;m nt' x +1变式：求函数“刁的最大值;题型六：分离换元法求最值(了解)2x2 +7x +101、求函数y(x = -1)的值域;x +1题型七：基本不等式的综合应用1、已知log2 a log2 b -1，求3a 9b的最小值2、（2009天津）已知a,b .0,求11 .2 ab的最小值;a b变式1：已知a,b 0 ,满足a a b 3，求ab范围;变式1： （2010四川）如果a - b 0 ,求关于a,b的表达2 1 1式a的最小值；ab a（a -

9、b）变式2： （ 2010山东）已知x, y . 0，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3： （2011 浙江）已知 x, y 0， x2 y2 x1，求xy最大值；变式2：（ 2012湖北武汉诊断）已知，当 a .0, a = 1时， 函数y =loga（x-1） V的图像恒过定点 A，若点A在直 线mx - y n =0上，求4m - 2n的最小值；3、已知 x, y 0， x 2y 2xy =8，求 x 2y 最小值;4、（ 2013年山东（理）设正实数x, y, z满足x23xy 4y2z = 0,则当翌取得最大值z» 21 2，+时，的最大值为（）x y z911

10、n2、已知x . y . z . 0且恒成立,X_y y_z X_Z如果N ，求n的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）A . 0 B. 1 C.- D 34（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）992变式：设x, y, z是正数，满足x_2y，3z=0，求y的XZ最小值；9914变式：已知a,b 0满则=2，若a b _c恒成立,a b求c的取值范围；99题型八：利用基本不等式求参数范围1 a1、（ 2012沈阳检测）已知x, y0,且（x y）（） _9x y题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式99恒成立，求正实数 a的最小值;此时a b(a, b, c, d

11、 - R,当且仅当；即ad =bc时等号成立)c d若 a,b,c,d R，则(a2 b2)(c2 d2) _(ac bd)22、二维形式的柯西不等式的变式Ja2 +b2 ”*：c2 +d2 > ac +bda b(a,b, c, d R,当且仅当；即ad二be时等号成立)c d(2) . a2 b2 . c2 d2 亠 ac| "|bda b(a,b,c, d R,当且仅当；即ad二be时等号成立)c d(3) (a b)(c d) _ ( . ac . bd )2a b(a, b, c, d -0,当且仅当；即ad =bc时等号成立)c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式

12、a P < a P(当且仅当卞-0,或存在实数k,使a =k时,等号成立)4、三维柯西不等式若 ci,a2,a3,ti,b2,b R，则有：佝2 a22 a32)(1b12 b22 Q2) - (a1b1 azb? aA)2(ai,bR,当且仅当业=鱼=鱼时等号成立)bib2b35、一般n维柯西不等式设dQ,an与d©, ,bn是两组实数，则有:(a,bR,当且仅当色二兰二色时等号成立)b b2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y,z 二 R，若 x2 y24，则 x-2y 2z 的最小值为时，(x, y, z)=析：(x -2y 2z)2 乞(x2

13、 y2 z2)12 (2)2 22=4 9 = 36 x2y - 2z最小值为一6x y z-6- 21-221(-2)23-24-4xP，"3，zP2、设 x, y, z R , 2x - y - 2z = 6，求 x2 y2 z2 的最 小值m，并求此时x, y,z之值。A424Ans : m =4;(x,y,z) =(- J3 333、设 x, y,z R , 2x 3y z = 3，求 x2 (y 1)2 z2之最小值为 ，此时 y =(析:2x _3y z = 3= 2x _3(y _1) z = 0 )(a12 +a22 4 an2) (b2 +b22 +bn2)兰佝b +a2b2 +anh)24、（201