圆形磁场中地几个典型问题

1、实用标准文案精彩文档圆形磁场中的几个典型问题一做就错.常见问题.对于这些问题，针对具许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手, 分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题” 体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.一、最值问题的解题关键一一抓弦长1 .求最长时间的问题例1真空中半径为 R=3X l0-2m的圆形区域内，有一磁感应强 度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度vo=106m / s从磁场边界上直径 ab 一端a点处射入磁场，已知 该粒子比荷为q/m=108C / kg ,不计粒子重力，若要使粒子飞离磁 场时偏转角最

2、大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以VoOa的夹角 e表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题， 即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化， 使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化， 同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大.图32 .求最小面积的问题例2 带电质点的质量为 m,电量为q,以平行于 Ox轴 的速度v从y轴上的a点射人如图3所示第一象限的区域.为 了使该质点能从 x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可 在适当的地方加一个垂直于 xoy平面、磁感应强度

3、为 B的匀强 磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区 域的最小面积，重力忽略不计.小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁 场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 /4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长.二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，

4、如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。例3如图5所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在半彳仝为 R的圆形区域内加一与 xoy平面垂直的匀强磁场. 在 坐标原点 O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射 具有相同质量 m、电荷量q ( q > 0 )且初速为Vo的带电粒子，不 计重力.调节坐标原点 O处的带电微粒发射装置，使其在 xoy平 面内

5、不断地以相同速率 Vo沿不同方向将这种带电微粒射入x轴上方，现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向射出，则带电微粒的速度必须满足什么条件?小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题.初速为0的带电粒子。已知重力加速度大小为go3.如图甲所木，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在 xoy平面内有与y轴平行 的匀强电场，在半径为 R的圆形区域内加有与 xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点 。处 放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q (00 )和(1)当带电微粒发射装置连续不

6、断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。求电场强度和磁感应强度的大小和方向。(2)调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率 v0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。答案U）6分）由题目中“带电粒子从坐标原点。处沿F轴正方向进入磁 场后.最终沿圆形磁场区域的水平直径高开碳瞽并城续沿K轴正方向运黝” 可知，带电抑粒所受重力

7、与电场力平衡，设电场强度大小为孔由平衡条件 琳佻=转 工始电场方向啬,轴正方向q带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，目圆运动半径厂小*设与注说场的陞感应他度大小为B.由牛顿第二定律律，任4=誓 ：；8=噎磁厮方向垂直于纸面向外（2）（6分）设由带电做粒苴射装置射入第I费限的带电徵粒的初速度方向 与龙轴皮夹前日.则自满足（日（百，由于带电微粒最线将沿x轴正方向运动，24匀速困司故方应垂苴.于工电平面向外.带电曲怛在磁场内做半行为E =运动.由于带电微触的入射方向不同.若魄场充满纸面，它们所对应的运动的轨迹如段所示.为使这些帝串曲粒经题帝偏转后沿了轴正方向运动，由图可知，它们心页从经 点作由运可的

8、匝的最高点飞口磁场这样磁厮边界上P史的坐标p & G应满足方程，KjR CU1用A = JR.（1 电 a所以陞场边 界的方性为.JFa + O 正户- K3由西中0占每的条件可如一以"十二的中度射入曜通三疏的曲忖的语;工力劭迎2JT - S* +* =舒即为所书昭场的足一的辿界*因此. 符含触目超书的录小MK场的范闻应足画X11 + 3 -与产=A*与圆（田一用/+尸*一国*峋文集部分田中阴景f邰分不由几何美军. F 01求得曲合帝忤的K1小的金寸、M 忸为.一喜三、边界交点问题的解题关键一抓轨迹方程例4如图7所示，在xoy平面内x0区域中，有一半圆形匀 强磁场区域，圆心为

9、O,半径为 R =0.10m ,磁感应强度大小为B=0.5T,磁场方向垂直 xoy平面向里.有一线状粒子源放在y轴左侧（图中未画出），并不断沿平行于x轴正方向释放出电荷量为q=+1.6x 10-19C ,初速度 V0 = 1.6 xi06m / s的粒子，粒子的质量为 m =1.0x 10-26kg，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从y轴任意位置（0, y）入射的粒子离开磁场时的坐标.点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法:'相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点, 运用，能较好的提高学生思维.四、周期性问题的解题关键一一寻找圆心角1 .粒

10、子周期性运动的问题例5如图9所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为是对初等数学的抽象(1)若方向向外的磁场范围足够大，离子自A点射出后在两个磁场不断地飞进飞出， 最后又返回 A点，求返回A点的最短时间及对应的速度.(2)若向外的磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为 R和2R的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从A点沿QA方向射出且粒子仍能返回 A点，求其返回 A点的最短时间.2.磁场发生周期性变化例6如图12所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置.在两板之间有一匀强电场，场强按如图13所示规律变化(沿 y轴方向为

11、正方向) 在两板正中间有一圆形匀强磁场区域，磁感应强度按图14所示规律变化，如果建立如图12所示的坐标系，在t=0时刻有一质量 m=9.0X10-9kg、电荷量q =9.0X 106C的带正电的小球，以vo=1m / s的初速度沿y轴方向从 O点射入，分析小球在 磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时E/X (T% I r的位置坐标.图14小结：对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性.五、磁场问题的规律前面分析的六个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点.(1)物

12、理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动.(2)物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解.(3)数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量.(4)解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应 圆心角关系；三是确定半径和周期， 构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题.【同步练习】,1 .如图所示，在半彳全为R的圆形区域内充满磁感应强度为 B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点 P垂直磁场射入大/ v JB .现有一质量为 m、电荷量为q的

13、带正电粒子(不计重力)从A 点沿aA方向射出.求：量的带正电，电荷量为 q,质量为m,速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）DA .只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B.对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D.只要速度满足丫=吧，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上mbc的中点，以e2.如图所示，长方形 abcd的长ad=0.6m,宽ab=0.3m, O、e分别是ad、为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以 O为圆心Od为半径的四 分之一圆弧组成的区域内有垂

14、直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、 质量m=3X 10-7kg、电 荷量q=+2X 103C的带正电粒子以速度 v=5X 12m/s沿垂直ad方 向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）CDA.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C.从Od边射入的粒子，出射点分布在 ab边3、一质量为册、带电量为q的粒子以速度%从O点沿/轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从 不轴正向夹角为30° ,如图1所示（粒子重力忽略不计）。 试求：（1）圆形

15、磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达 方点所经历的时间;（3）方点的坐标。力处穿过二轴，速度方向与（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径D.从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点由图可知,T 2渤q =（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间3%/，从a飞出磁场后做匀速直线运动tan 30"ctb=* 逛2代 乐jf广区（彳+屁丽=2R故b点的坐标为（，0)4、在xoy平面内有许多电子（质量为 削、电量为9）,从坐标 O不断 以相同速率°沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于工。y平面向内、磁感强度为3的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于X轴

16、向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。5二2(或二二一42 ' 工"5 .如图所示，在坐标系 xoy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为 Oi (a, 0),圆内分 布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线 y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿 x轴 负方向的匀强电场，场强大小为 E, 一质量为m、电荷量为+q (q>0)的粒子以速度 v从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿 x轴方向时，粒子恰好从 Oi点正上方的A点射 出磁场，不计粒子重力，求：(1)磁感应强度B的大小；(2)粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；(3)若将电场方向变为沿 y轴负

17、方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从。点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角9=30°射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总 时间to解：(1)设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为粒子自A点射出，由几何知识R,牛顿第二定律有(2)粒子从A点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为yi=2Eq所以在电场中最高点的坐标为(a,T = -(3)粒子在磁场中做圆运动的周期 vP点的出粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从射方向与y轴平行，粒子由 。到P所对应的圆心角为01=60由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=acos

18、0粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，PO iQO 3构成菱形，由几何知识可知 Q点在x轴上,粒子由P到Q的偏向角为02=120 则粒子先后在磁场中运动的总时间2。一S)粒子在场区之间做匀速运动的时间(2 +开-6口t =上】十七+J - 解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间v轨迹如图。由题意可得粒子在磁场中的轨迹半径为（2分）r=a（1分）qa（1分）(2)所有粒子在电场中做类平抛运动（1分）从O点射出的沿x轴正向的粒子打在屏上最低点（1分）（1分）从O点沿y轴正向射出的粒子打在屏上最高点1a-（1分）=a+vr, - a（1分）所以粒子打在荧

19、光屏上的范围为< v< 在.（1分）(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场时:x = r-rcos60 =-（2分）（2分）mvAx =（1分）,ME所以在电场中最远坐标为曰+-）NE）（1分）因为粒子的轨迹半径与磁场的边界半径相等，粒子返回磁场后射入点和射出点与轨迹圆心及磁场的边界圆心的连线构成棱形。所以最后射出磁场的坐标为(2a,0)(2分)(4)可以加一个匀强磁场或者两个方向不同的匀强电场方向如图，大小与已知条件相同(2分)轨迹如图所示(2分)6 .如图所示的直角坐标系中，从直线x=-2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场， 其中x轴上方的电场方向沿 y轴

20、负方向，x轴下方的 电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从 A (-2lo, -lo)点到C (-210, 0)点区域内，连续分布着电量 为+q、质量为m的粒子。从某时刻起， A点到C点间的粒子依次连续以相同速度vo沿x轴正方向射入电场。从 A点射入的粒子恰好从 y轴上的A (0, -lo)点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的 相互作用。(1)求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度 E的大小。(2)求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？(3)为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子， 若以直线x=210上的某点为圆心

21、的圆形 磁场区域内，设方t分布垂直于 xOy平面向里的匀强磁场，使得沿 x轴正方向射出电场的粒 子经磁场偏转后，都能通过x=2M与圆形磁场边界的一个交点。 则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度 B是多大?解析:（1）从A点射出的粒子，由A到A'的运动时间为T,根据 运动轨迹和对称性可得:x轴方向 24 =（2分）y轴方向“二;Q分）（2分） 设到C点距离为 y处射出的粒子通过电场后也沿 x轴正方向，粒子第一次达x轴用时1,水平位移为 x,则Ax=& y_ 2洲,（i分）粒子从电场射出时的速度方向也将沿 x轴正方向，则2/广小2b （2分）Ax = 3署也2 = *解之得：

22、总2班用 界（2分）1,y -即AC间y坐标为 n（n = 1,2,3,）（1分）7 .如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度 Bi=1T,方向垂直纸面向里，该区域同时与 x轴、y轴相切，切点分 别为A、C;第四象限中，由 y轴、抛物线FG （ y =10x2 +x0.025,单位：m）和直线DH （ y=x0.425,单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直 向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直 纸面向里的匀强磁场 B2=0.5T。现有大量质量 m=1 X10-6 kg （重力 不计），电量大小为q=

23、2X10-4 C,速率均为20m/s的带负电的粒子 从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间。(1)求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；(2)试证明这些粒子经过 x轴时速度方向均与 x轴垂直；(3)通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。殖3广y1)二；柿;加0分)为通=李(汾)并将力=- IQ/ + lQ_025和力二元一 0,425代人得当二工(2分)设其从K点离开磁场，O1和O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O1AO2K为菱形，离开磁场时速度垂直于O2K,即垂直于x轴，得证。 (6分)(3)设粒子在第四

24、象限进入电场时的坐标为( x,y1),离开电场时的坐标为(x,y2),离开电 场时速度为v2,在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2.有%介一竺-(3分)鸟得贝L。源0分)因v2的方向与DH成45o,且半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必 在y轴上，在此磁场中恰好经过四分之一圆周，并且刚好到达H处，H点坐标为(0, -0.425) 。 (3分8 .如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心Oi在x轴上，OOi距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为 Bi。虚线MN平彳T x轴且与半圆相切于 P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E,方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为 B2。B

25、1, B2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同 的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O射入第I象限，其中沿x轴正 方向进入磁场的粒子经过 P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线 运动，粒子质量为 m,电荷量为q (粒子重力不计)。求：(1)粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。(2)若撤去磁场 B2,则经过P点射入电场的粒子从 y轴出电场时的坐标。(3)试证明：题中所有从原点（2分）O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。（2分）由题意知粒子在磁场Bi中圆周运动半径与该磁场半径相同,（2分）（2分）(2)在电场中粒子做类平抛运动:(3)证明：设从O点入射的任一粒子进入 B

26、i磁场时，速度方向与 x轴成。角，粒子出Bi磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO i平行。所以从 Q点出磁场速度与 O2Q垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入 MN边界。进入正交电磁场日B2中都有二,故做直线运动。（5分）xOy内，存在着两n和两个直径为 L的E,区域I的场9.如图所示，真空中一平面直角坐标系 个边长为L的正方形匀强电场区域I、 圆形磁场区域出、IV。电场的场强大小均为强方向沿X轴正方向，其下边界在 X轴上，右边界刚好与区域n的边界相切；区域n的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与

27、刚好与区域IV的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为 2 EmE,区域出的圆心坐标为(0,9)、磁场方向垂直于 xOy平面向 1.qL2外；区域IV的圆心坐标为(0,：)、磁场方向垂直于 xOy平面向里。两个质量均为 m、电荷量均为q的带正电粒子 M、N,在外力约束下静止在坐标为 (_§L ,L)、( 0L, 2.'L) 2224的两点。在x轴的正半轴(坐标原点除外)放置一块足够长的感光板，板面垂直于 xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。 求：(1)粒子离开电场I时的速度大小。(2)粒子M击中感光板的位置坐标。(3)粒子N在磁场

28、中运动的时间。U漳了在K域I中毡力志动能定理裾祖 会(2 0)解博曲强分'f臣依姆中钝然二定徜中后 叫*. ： 3工联立求新受快任直婿中犍打连牌周拐勒运就,由牛例第二B=融乎 (2出"尸翁甘口制因U逅动的疑通毕往与城场区第的半径相同，故，廿在蛹©中遥动四分之一中周期 埼荏过原点进入融后A Hi适动叫"之个同删仁平行地正方而阳H科J轧”行进入 通场11做龙子附运动裁权if时巾电场后再打在，出北版上用M存虹崎中M动时间，"区疆分1<1 >)的电场内曲1 yar 3.噂去 ylXyL所以忖过成女.诒时榻港如用沿电场方向的逢度V速度偏向曲正切

29、1斗出一, 4过出心防扃沿r地方向的也法为不L_LIW to3=£产 .所攻西=4 J MM击中勒尤板的搐坐如君，J.+丸一猛也H型标即凯H分埼上的闻阳运动晌貌道半会，瞳场I&域的t普格同.仆忻打舁X将从冷点过人里场.由4tj：南大”寓即。场11电人IE场n,性后从j，点鬼n包场r、"都什强连如困&广 市第场m中+由儿何工解钳一占 孕y0分)所以 93f, MMM0MOA 仁 W-xT 国n分)料子在魁陆中达动的周期丁 二xj舞”分?N V atE所以粒子本田的皿中运动的时间，温方丁露U分)ih村称生聚牖甘广布鼠隔Bl小中立盘时向tti同他粒子在磁场中运的时

30、间亮/等U射10. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0 ,从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为 30 ,同时进入场强为 E、方向沿与x轴负方向成60c点，如图所示，粒子的重力不计，试求:角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的(1)圆形匀强磁场区域的最小面积；(2) c点到b点的距离。3m年4g：炉11.如图甲所示 质量 m=8.0 M 0 25kg ,电荷量 q=1.6 M0 15C的带正电粒子从坐标原点 。处沿xOy平面射入第一象限内, 且在与x方向夹角大于等于 30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为vo=2.0 M07m/so现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 B=0.1T,若这 些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏 MN上,并且当把荧光屏 MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(声3.14)求:(1)粒子从y轴穿过的范围。(2)荧光屏上光斑的长度。(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差。(4)画出所加磁场的最小范围(用斜线表示)-lJ- R (2) =(1+ lJ-)R (3) t=