2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月第一次教学质量检测数学试题(解析版)

1、72020 届江苏省南通市海门中学高三上学期10 月第一次教学质量检测数学试题一、填空题1 1 .函数f x 1 sin 2x的最小正周期为 _. .【答案】；【解析】 直接利用正弦型函数的周期公式计算可得；【详解】解：因为f x 1 sin2x2所以f X 1 sin2x的最小正周期T 2故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期的计算，属于基础题2 2.已知集合A 0,1,2,3,4,B x log3x 1,则AI B _【答案】1,2,3；【解析】首先求出集合B，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为Bx log3x 1,所以B x 0 x 3, 又因为A 0,1,2,3,4所

2、以Al B 1,2,3故答案为：1,2,3【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题 3 3 .在ABC中，若A 60,AC 2,BC J7，则sin B的值为_【答案】第 1 1 页共 2121 页第2 2页共 2121 页【解析】根据正弦定理计算可得；【详解】解：因为A 60,AC 2,BC ,7,由正弦定理可得即7-sinA sinBsin 60故答案为：旦7【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题则实数 a a 的最大值为【答案】3 3 ；取值范围，即可得解;【详解】故a的最大值为3故答案为：3【点睛】 本题考查根据充分条件求参数的取值范围，属于基础题5 5 .函数f(x) ilog1

3、(4x 3)的定义域为 _3【答案】(3,14【解析】试题分析：根据题意，由于函数f (x) log1(4x 3)，则使得原式有意义的3x x 的取值范围满足 4x-31,4x-34x-31,4x-31，故可知所求的定义域为(一，1。4【考点】函数的定义域 点评：主要是考查了对数的定义域的运用，以及函数的定义域的求解，属于基础题。2，解得sin Bsin B,2174 4 .已知集合A x x1. .若“A”是不等式a 42a1成立”的充分条件,【解析】 首先求出集合A，再根据充分关系，得到不等式组2a1，解得参数的1解：因为A xxA x| 1 x 1，又因为“A”是不等式a 4x 2a 1

4、成立”的充分条件,所以2a 11a 41，解得1 a第3 3页共 2121 页【详解】故答案为:【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用及平面向量的加减运算，属于基础题.r r r rr r、5【解析】由 a a b b，得agp 0，再用两角差的正弦公式展开得到sinsin2 2最后利用同角三角函数的基本关系计算可得 【详解】解：因为a1,2sin,b sin,136 6.在ABC中，已知 D D 是BC边的中点，E E 是线段AD的中点若UUBEuuuABUJUAC,的值为【答案】【解析】12；Uz uuu将AB，uuuuuuAC作为基底，表示出BE即可.agDagDsinsin2si2si

5、 n n0 0 ,sinsin coscoscoscos sinsin 2sin2sin3 33 33 3uuuu解：由题意，BEBEuuuuuruurBABA AEAEuuuuuu 1 1 uuruurABAB ADAD2 2uuuuuu 1 11 1ABAB - -2 2 2 2LUTLUTuuuuuu ABAB ACAC3uuinuuin3ABAB4 41 1 uuruur- -ACAC ,uuuuuu BEABUUTnsi2sin ,1,3R, a a b b，则tan的值为_coscosE第4 4页共 2121 页sinsin 故答案为：乜5【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算

6、,三角恒等变换及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题8 8 .曲线y exx在x 0处的切线方程为 y y kxkx b b，则实数b _. .【答案】1 1;【解析】首先求出函数的导函数，求出切点坐标，再用斜截式求出切线方程，即可得解. .【详解】解：因为y f x exx,所以f x ex1，所以f 01,f 02,故曲线在x 0处的切线过0,1且斜率k 2，故切线方程为y 2x 1所以b 1故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义，求函数在一点处的切线方程，属于基础题【答案】;2【解析】由冋角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、一倍角公式化简可得【详解】sin A1tan Aco

7、s A解：因为11 cosAsin2AtanBsin BcosBcosAsinB sin AcosBcos As in B1 1sisin n2 22os2os2sin2sin2 25 5 . .sinsin2 22os2os2 2sin Asin Btatacoscos 5 59 9 .在ABC中，若C=4，且1sin2A1巫，则匹的值为tan BACACsin AcosB1 - cos As inB第5 5页共 2121 页sin A Bsin CcosAsin BcosAsin B1sin C2sin AcosAcosAsin B1sin4，又C=72sin AcosAcosAs in

8、Bsin A 2sin B 2由正弦定理得ab2即空2ACAC故答案为：丄22【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换以及正弦定理的应用，属于中档题1010 .已知函数2，则不等式f x x f 2x 2的解集为【答案】1,11,1 ;【解析】将函数写成分段函数的形式，分析其单调性, 将函数不等式转化为自变量的不等式，从而解得;【详解】解：因为f x1,x2当x 2时，f,2上单调递增,因为f x2x 22x所以2x故答案为:【点睛】，解得2x 21,1,1 1本题考查分段函数的性质,x x 1 1，即x函数的单调性的应用,1,1元二次不等式的解法， 属于基础题. .第6 6页共

9、2121 页uuuuuiruunmu1111在ABC中，BACBAC60,AB 4,AC 6,AB 2AD，AE 2EC，UULTnrtuuu uuir /2FD，贝V BF DE的值为【答案】4 4 ；【解析】运用向量的数量积的定义和向量的三角形法则，结合向量的平方即为模的平方,【详解】【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题.1212 已知函数f x是定义在 R R 上的奇函数，f X 4 f x. .若2x0时，2f X x ax 2，则实数 a a 的值为_ . .【答案】1;uuuEF注意运用平面向量基本定理

10、，将所有向量统一为AB、AC的式子，计算即可得到.解：由AB 4，AC 6，BACBAC6060 ，UUUUUU UULTUULT即有 ABgACABgAC 4 46 6 cos60cos601 1242 212，UUUUUU UJLTUJLT贝 U U BFgDEBFgDEUULTUULT(DF(DFUULTUULT UUUUUUDB)gAEDB)gAEUULTUULTAD)AD)1 1UJITDEDE3 31 1 uuuuuuABAB2 22 2 uuuuuuACAC3 31 1 UJUUJUABAB2 22UJITUJITACAC9 91 1 UUJUUJABAB6 61 1 uuuuu

11、u2ABg2 2 UULTUULT 1 1 UUUUUUACAC ABAB3 32 2ACAC-AB-AB27273 34 41 13636-16-1627273 34.5 5 uuuuuu-AB-AB9 9故答案为:4 4 uuiTuuiT21 1UJU24 4.5 5 1212第7 7页共 2121 页【解析】 根据函数的奇偶性和周期性求出f 2 f 2 0，利用代入法进行求解即可.【详解】第8 8页共 2121 页解：Q f(x)是定义在R上的奇函数，且f x 4 f x当x2时，f f 2 24 4f f 2 2f f 2 2 ,即f f 2 2f f 2 2，贝 y yf 2f 20

12、,Q当2x 0时，fx2小x ax 2.f f2 222 22a2a2 20 0，得a1,故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，利用定义法求出f 2 0是解决本题的关键，属于基础题.31313.若函数f(x) x ax | x 21,x 0存在零点，则实数 a a 的取值范围为 _【答案】2,【详解】x3x 2,xxx3x 2门,0 x2【解析】函数f(x) x3ax |x 2|,x0存在零点，等价于x3ax | x 2 | 0,在x 0,上有解，即函数ya与yx3|xx21在x0,上有交点，令g x-比_21求出函数在0,上的值域，即可得到参数a的取值范围. .解：因为函

13、数f (x)ax | x 2 |,0存在零点,等价于x3ax | x2|0,在x0,上有解,X3|x 2|在xx0,上有解,即函数|x 2 1在xx0,上有交点,当x 2时，g x2x第9 9页共 2121 页20,即g x在2,上单调递x第1010页共 2121 页增，所以g x g 23；0,解得1 x 2，即g x在1,2上单调递增，在故g x在0,上的值域为2,所以a 2,故答案为：2,【点睛】本题考查函数的零点，利用导数研究函数的最值，属于中档题ax 2,x01414 .已知函数f x3的值域为2,，则实数 a a 的取值范围为 _x ax, x 0【答案】3,0【解析】首先由函数的

14、值域可知 a a 0 0,即可求出当x 0时函数的值域，再利用导数求出函数在x 0时的单调性与最值，从而得到不等式组，解得即可【详解】ax 2,x 0解：因为f x3的值域为2,x ax, x 0故 a a 0 0当Ox2时，g xx3x 2x222 x 1 x x 12x -2 2xx0,1上单调递减，所第1111页共 2121 页当x 0时，fax,0上单调递减,fXminf 02，即当x 0时,xmin2,0时，fax，则fc 23x a0，即f x上单调递增,在 0,0, JgJg 上单调递增,时，f时,xx在取得极小值，也就是最小值第1212页共 2121 页因为函数的值域为2,故答

15、案为：3,0【点睛】 本题考查分段函数的性质的应用，利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题 二、解答题11515 在ABC中，角 A A, B B, C C 所对应的边分别为 a a, b b, c c,cosC -. .32 2（J若c a b 4，求ABC的面积；(2(2)若二46c，求sin A的值. .cosB cosC【答案】（1 1）迈（2 2）3 26【解析】（1 1）由已知条件及余弦定理可得ab 3，再由同角三角函数的基本关系求出sinC，最后由面积公式计算可得；（2 2）首先由正弦定理可求得tanB .,3，得到B,再由两角和的正弦公式计算可3得；【详解】2解:(1)因为

16、c2a b 4，所以a2b2c22ab 4，1因为a2b2c22abcosC，且cosC -,33ab 2ab 4，所以ab 3. .1因为cosC,0 C,3所以sinC .1 cos2C J2,3A所以ABC的面积为S -absinC222解得3 a 0，即a3,0第1313页共 2121 页(2 2)因为二笑6C，以及正弦定理 cosB cosCsi nB si nC所以4si nBsi nC43,cosB cosC所以tan B . 3,又因为OB，所以B3因为ABC,所以si nAsin C3732迈6【点睛】本题考查正弦、余弦定理及三角形面积公式的应用，同角三角函数的基本关系及三角

17、恒等变换的应用，属于中档题 (1)试判断函数f x的单调性，并证明你的结论;(2 2)若对x 0,2，不等式f tx 2 f x 4成立，求实数 t t 的取值范围. .【答案】(1 1)f x在0,上单调递增，在,0上单调递减，证明见解析；(2 2)0,2【解析】(1 1)利用导数求出函数的单调区间；(2 2)首先判断函数为偶函数，然后将函数不等式转化为自变量的不等式tx 2 x 4，因为x 0,2，所以tx 24 x，所以x 4 tx 24 x，即26261 -t1，从而求出1及1即可得解. .xxXmaxxmin【详解】解：(1)函数f x在0,上单调递增， 在,0上单调递减sin co

18、sC3coss inC31616 .已知函数2x第1414页共 2121 页证明：因为f x 2x2x1所以f x2xln22xln 2xln22xln2 2x2xln2,2当x0时，2x2x，而In 20,所以fx0,当x0时，2x2x，而In 20，所以fx0所以函数f x在0,上单调递增，在,0上单调递减. .(2 2)因为f x 2x2x,f(- x)= 2-x+2x,所以f x f x，即函数f x是偶函数，又因为f tx 2 f x 4，所以f tx 2 f x 4所以由(1 1)得tx 2 x 4，又x 0,2，所以tx 24 x，所以x 4 tx 24 x，即1- t61，x

19、x 因为x 0,2，所以1-0，612，x x因为对x 0,2，不等式f tx 2 f x 4成立，所以0 t 2，即实数 t t 的取值范围为0,2. .【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，函数的奇偶性的应用，属于中档题1717.已知1 0_,ta n24,sin2，235(1 1) 求tan的值；(2 2) 求cos2的值. .【答案】 (1 1)tan-(2 2)5【解析斤】(1 1) 由二倍角的正切公式计算可得；(2 2) 由(1 1)tan2，利用 冋角三角函数的基本关系求出sin、cos、cos第1515页共 2121 页再用二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得【详解】 解：

20、(1 1)因为tan2所以2tan21 tan所以竺cos【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换的公式的应用，属于基础题 1818 .某农场计划设计建造一条 20002000 米长的水渠，其横断面如图所示 其中，底部是半径3为 1 1 米的圆弧AB，上部是有一定倾角的线段AD与BC，渠深MN为米，且圆弧AB2的圆心为 O O 在MN上，AD OA, BCBC OBOB ,AD BC,AB/DC. .据测算，水渠即2tan23tan解得tan2或tan因为02，所以tan2. .(2(2)由(1 1)tan又sin2cos2所以sin2_55cos因为sin所以cos2sin2、

21、55所以sin 22sin coscos22cos 2sin所以coscoscos2 sin sin 2第1616页共 2121 页5底部曲面每平方米的造价为百元，上部矩形壁面每平方米的造价为1 1 百元，其他费3（1 1）试用表示水渠建造的总费用f（单位： 百元）；（2 2）试确定的值，使得建造总费用最低 . .【答案】（1 1）1 2cos100f2000(2)sin323【解析】（1 1） 过 B B 点作BE CD于点E E,设MN与AB交于点 F F，则结合题设条件有BE MF1cos，BCD， 所以ADBCBE所以2sinf 2000 AD BC5%计算可得；3（2 2）求出函数的

22、导函数，分析其单调性与极值即可得解. .【详解】解：（1）因为底部圆弧AB所在的圆的半径为 1 1，BON所以弧长AB 2，过 B B 点作BE CD于点 E E，设MN与AB交于点 F F,则结合题设条件有2 cos，BCD所以BC堡sincos2sin1 2cos2si n所以AD BC1 2cos2s in用忽略不计 设BON，0-2第1717页共 2121 页2cos 1 5cos 423si n1令f0，则cos2，因为0i，则30,0,3 333 3,_,_2 2ff极小值Z答：当取一时，建造总费用最低 3【点睛】本题考查三角函数的实际应用，根据题意建立函数模型，禾 U U 用导数

23、求函数的最值，属于中档题 322x 2ax a x 1,f x为函数f x的导函数. .（1 1）讨论函数f x的单调性;（2 2）若函数f x与函数f x存在相同的零点，求实数 a a 的值;（3）求函数f x在区间1,上的最小值所以f51 2cos102000 AD BC - %32000,0sin32(2(2) f f_ cos2 1010cos23cos42000220002sin33si n【答案】（1 1）见解析（2 2）a3乞（3 3）V4a22a, a 1,1,a 1.【解析】（1 1）首先求出函数的导函数x 3x a x a，再对a分类讨论可得;2000当 一时,3元） 取得

24、极小值，即最小值，最小值为f40006、3 5(百391919 设a R，函数f x第1818页共 2121 页（2 2）由（1 1）可知a 0时，函数f x的零点是 0 0，经检验不符题意，当a 0时,1函数f x的零点是a和a，分别计算可得；3（3 3）结合（1 1）求出f 1 a22a,再分类讨论可得. .【详解】3 2 2解：（1 1）因为f x x 2ax a x 12 2所以f x 3x 4ax a 3x a x a，当a 0时，f x 0,所以函数f x在，上单调递增;减. .（2 2） 当a 0时，函数f x的零点是 0 0,而f 01，所以不合题意,1当a 0时，函数f x的

25、零点是a和-a，3因为fa 10，所以由函数f x与函数f x存在相同的零点，a3333得f 0，即10，解得a矿.32793引4（3 3）由（1 1）得，当a 1时，函数f x在1,上单调递增，此时函数f x在区间1,ra 当1 a，即1a?3时, 函数f x在区间1,上的最小值为fa 1；a当一1，即a 3时,3a当 a a 0 0 时，当x a或x时,3ax 0，当a x3时，f x 0，a所以函数f X在，a和在，3上单调递增，在a,上单调递减;3同理当a 0时，函数f x在，旦和在a,3上单调递增，在养上单调递上的最小值为f 1a22a；X2X第1919页共 2121 页a22a,

26、a 1,在区间1,上的最小值为1,a 1.【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及函数的零点问题，属于中档题rIn x2020 .已知函数f xax,a R. .x围（e e 为自然对数的底数）；Xf X，即gXXf X In X ax2在0,. e上单调递增，所以0在0八e恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围;得到函数的极值;2ax x，禾U用导数证明函数的零点个数，即可得证【详解】解：（1 1 ）因为X1，X21（2）当a时，求函数f的极大值;（3 3）求证：当 a a0 0 时, 曲线xf x与直线yx有且仅有一个公共点【答案】 （1 1）12e(2)0 0（ 3 3）见解

27、析【解析】（1 1）因为X1，X20,所以不等式X2f X1f X20X1x1f xX2f X2，(2(2)当 a a时,2eInXX2e，求出函数的导数即可得到函数的单调性，从而所以不等式f X1X2X2X10恒成立等价于Xj NXf X2. .令g X Xf X，因为0X,x2e时，不等式f X1f X-0恒成立,因为f 12a，所以f 1a，此时函数的最小值为fa 1. .所以函数f(1)若对0 X|x2、e时，不等式f X-1f X2X2Xi0恒成立，求实数 a a 的取值范构造函数g2aX(3)令X XfIn X1，0，第2020页共 2121 页所以函数g x xf x In x

28、ax2在0,、e上单调递增,所以g x1 2ax 0在0,、e恒成立,x在0,匸恒成立，而丄1，e所以2a1 1e，即a2e，所以实数a a 的取值范围为1,2e. .(2)1a时,2eIn x xx 2e1 In x2x2e 2eln x2e2ex20),2e2eln0恒成立,所以函数在0,上单调递减,又因为h2e 2eln e e所以在0,、e上f x 0，在 e,所以函数f x在0,、e上单调递增，在 、e,上单调递减,所以函数的极大值为f .e 0. .(3)xf xx In x ax2x，2ax 12ax2x 1因为所以所以函数因为所以0恒成立,x在0,0 e2a 2上单调递增,2a

29、 1eae2a2a 2a 1 e1，0，第2121页共 2121 页第2222页共 2121 页因为函数X在0,上有且仅有一个零点, 所以当 a a 0 0 时，曲线y xf x与直线y x有且只有一个公共点【点睛】本题考查构造函数研究函数的单调性，函数的交点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题 2121 在边长为 2 2 的等边 AOBAOB 中，以 0 0 为圆心、OA为半径作弧AB，点 P P 为弧AB上uuu urn uuu一动点 求OP OA 0B的取值范围 【详解】所以6 4、3 cos4、.3,uuu uuu uuu.一OP OA OB的取值范围为6,4.3【点睛】

30、本题考查定义法求向量数量积，余弦函数的性质的应用，属于中档题22在ABC中，A3，AB 3，BC 7，求ABC的面积. .【答案】63uuuuuuuuuuuu uuuruuu uurrW3 cos,所以OPOAOB2OP OC2OPOC cos2 2 V3cos因为0_，所以cos 1662【解析】5“亠c uuu设AB的中点为 C C,则OAuuuOBuuu2OCuuu uuuuuuuuu uuuruuur0-,OP OAOB2OPOC2OP，设0P1与0C的夹角为，则,再根据余弦函数的性质解：设AB的中点为 C C,uuu uuu则OA OBuuur20C，uuuuuuc【答6,4.3OCcos6求出取值范围. .第2323页共 2121 页【解析】 设AC x利用余弦定理求出AC，最后由面积公式计算可得;【详解】解：设AC x，在ABC中，A 60，ABAB 3 3，BC 7，由余弦定理，得x29 6xcos60 49化简得x23x 40 0，解得x 8或x 5（舍去），所以ABC的面积为1AB AC si nA13 836 3. .2 2 2【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题. .12 xn, x 0 x（1 1）求实数m,n的值；（2） 若对任意实数x，都有f e2xf ex0成立 求实数 的