南京市盐城市高三年级第二次模拟考试数学试卷及答案

1、2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学2018.03 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s2(xix)2，其中xxi.锥体体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 函数f(x)lg(2x)的定义域为_ 2. 已知复数z满足i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_ 3. 执行如图所示的算法流程图，则输出a的值为_(第3题) 4. 某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为_ (第4题) 5. 3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰

2、有2名教师被派往甲地的概率为_ 6. 已知等差数列an的前n项和为Sn.若S1530，a71，则S9的值为_ 7. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsinAsinBacos2B2c，则的值为_ 8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x21(b>0)的两条渐近线与圆O：x2y22的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为_ 9. 在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为_ 图1 图210. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且

3、当x0时，f(x)x2x.若f(a)f(a)<4，则实数a的取值范围为_11. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y(m>0)在x1处的切线为l，则点(2，1)到直线l的距离的最大值为_12. 如图，在ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F.若·2，·5，则AE长为_13. 在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x4)2(ya)216上两个动点，且AB2.若直线l：y2x上存在唯一一个点P，使得，则实数a的值为_14. 已知函数f(x)(tR)若函数g(x)f(f(x)1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为_二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答

4、时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，直线x，x是其相邻的两条对称轴(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f，且<<，求cos的值16. (本小题满分14分)如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AEAB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点(1) 求证：MN平面BEC；(2) 求证：AHCE.17. (本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式mk×(k为常数)如图，某投资者计划在与商场A相距10 km的新区新建商场B

5、，且商场B的面积与商场A的面积之比为(0<<1)记“每年居民到商场A购物的次数”“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2，称满足m1<m2的区域叫作商场B相对于A的“更强吸引区域”(1) 已知P与商场A相距15 km，且PAB60°.当时，居住在点P处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内？请说明理由；(2) 若要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，求实数的取值范围18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，上顶点A到右焦点的距离为.过点D(0，

6、m)(m0)作不垂直于x轴，y轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且ACOC.(1) 求椭圆E的方程；(2) 求实数m的取值范围；(3) 延长AC交椭圆E于点B，记AOB与AOC的面积分别为S1，S2，若，求直线l的方程19. (本小题满分16分)已知函数f(x)x(ex2)，g(x)xlnxk，kR，其中e为自然对数的底数记函数F(x)f(x)g(x)(1) 求函数yf(x)2x的极小值；(2) 若F(x)>0的解集为(0，)，求k的取值范围；(3) 记F(x)的极值点为m，求证：函数G(x)|F(x)|ln x在区间(0，m)上单调递增(极值点是指函数取极值时对应的自

7、变量的值)20. (本小题满分16分)对于数列an，定义bn(k)anank，其中n，kN*.(1) 若bn(2) bn(1) 1，nN*，求bn(4)bn(1)的值；(2) 若a12，且对任意的n，kN*，都有bn1(k)2bn(k)(i) 求数列an的通项公式；(ii) 设k为给定的正整数，记集合Abn(k)|nN*，B5bn(k2)|nN*，求证：AB.2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.

8、选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D，DEAC且交AC的延长线于点E，求证：DE是圆O的切线B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知为矩阵A属于实数的一个特征向量，求和A2.C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(a>0，为参数)，P是圆C上的任意一点若点P到直线l距离的最大值为3，求a的值D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共

9、计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)甲、乙两人站在点P处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为，.(1) 设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2) 求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率23. (本小题满分10分)已知nN*，且n4，数列T：a1，a2，an中的每一项均在集合M1，2，n中，且任意两项不相等(1) 若n7，且a2<a3<a4<a5<a6，求数列T的个数；(2) 若数列T中存在唯一的ak(kN*，且k&l

10、t;n)，满足ak>ak1，求所有符合条件的数列T的个数.2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学参考答案1. (，2)2. 3. 34. 165. 6. 97. 28. 9. 10. (1，1)11. 12. 13. 2或1814. 4，0)15. 解析：(1) 设f(x)的周期为T，则，所以T.又T，所以2，所以f(x)2sin(2x)(3分)因为点在函数图象上，所以2sin2，即sin1.因为<<，所以，所以f(x)2sin.(7分)(2) 由f得sin.因为<<，所以<<，所以cos.(10分)所以coscoscoscossin()sin

11、××.(14分)16. 解析：(1) 取CE的中点F，连接FB，MF.因为M为DE的中点，F为EC的中点，所以MFCD且MFCD.(2分)因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BNCD且BNCD，所以MFBN且MFBN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MNBF.(4分)又MN平面BEC，BF平面BEC，所以MN平面BEC.(6分)(2) 因为四边形ABCD为矩形，所以BCAB，因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABCD，且BCAB，所以BC平面ABE.(8分)因为AH平面ABE，所以BCAH.因为ABAE，H为BE的中点，所以BEAH.

12、(10分)因为BCBEB，BC平面BEC，BE平面BEC，所以AH平面BEC.(12分)因为CE平面BEC，所以AHCE.(14分)17. 解析：设商场A，B的面积分别为S1，S2，点P到A，B的距离分别为d1，d2，则S2S1，m1k，m2k，k为常数，k>0.(1) 在PAB中，AB10，PA15，PAB60°，由余弦定理，得dPB2AB2PA22AB·PAcos60°1021522×10×15×175.(2分)又dPA2225，此时，m1m2kkkS1()，(4分)将，d225，d175代入，得m1m2kS1.因为kS1&

13、gt;0，所以m1>m2，即居住在点P处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内(6分)(2) 要使与商场B相距2km的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，则当d22时，不等式m1<m2恒成立由m1<m2，得k<kk，化简得d>.(8分)设PBA，在PAB中，由余弦定理，得dPA2AB2PB22AB·PBcos100d20d2cos，(10分)所以100d20d2cos>，即>cos.上式对于任意的(0，)恒成立，则有>1，(12分)即1>20·100·100()21，(*)由于0d22，所

14、以.当时，不等式(*)右端的最大值为15，所以1>15，解得>.又0<<1，所以的取值范围是.(14分)18. 解析：(1) 因为所以c1，b2a2c21，所以椭圆E的方程为y21.(2分)(2) 由(1)得A(0，1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)设直线l方程为ykxm(k0)，将其与椭圆E的方程联立，消去y得(12k2)x24kmx2m220，(*)所以x1x2，(4分)所以x0，y0kx0m，即C.所以kAC.(6分)因为kOC，且ACOC，所以kAC×kOC×1，整理得m.(8分)因为k0，则m11，所以实数m的取值范

15、围为.(10分)(3) 设B(x3，y3)，kAB2k，所以直线AB的方程为y2kx1，与椭圆方程联立解得x或0(舍)，即x3.(12分)因为x0×，所以.(14分)因为，所以，解得k±，此时m，点D的坐标为.所以直线l的方程为y±x.(16分)19. 解析：(1) yf(x)2xxex，由y(1x)ex0，解得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下：x(，1)1(1，)y0y极小值所以当x1时，f(x)取得极小值.(2分)(2) F(x)f(x)g(x)xexxlnxk，F(x)(x1).设h(x)ex(x>0)，则h(x)ex>0恒成立，所以函数h

16、(x)在(0，)上单调递增又h2<0，h(1)e1>0，且h(x)的图象在(0，)上不间断，因此h(x)在(0，)上存在唯一的零点x0，且ex0，(4分)当x(0，x0)时，h(x)<0，即F(x)<0；当x(x0，)时，h(x)>0，即F(x)>0.所以F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，于是xx0时，函数F(x)取极(最)小值为F(x0)x0ex0x0lnx0k1x0ln k1k，(6分)因为F(x)>0的解集为(0，)，所以1k>0，即k>1.(8分)(3) 由(2)知mx0.(i) 当1k0，即k1时，F(x)

17、0恒成立，于是G(x)F(x)lnxxexxk，G(x)(x1)ex1.因为x(0，m)，所以x1>1，ex>1，于是G(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增(10分)(ii) 当1k<0，即k<1时，0<ek<<x0m，F(ek)ek(eek1)>0，F(m)F(x0)1k<0.又F(x)在(0，m)上单调递减且图象不间断，所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x1，(12分)当0<xx1时，F(x)0，G(x)F(x)ln xxexxk，G(x)(x1)ex1.因为0<xx1，所以x1>1，e

18、x>1，于是G(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，x1上单调递增；(14分)当x1x<m时，F(x)0，G(x)F(x)ln x，G(x)F(x)，由(2)知，当x1x<m时，F(x)<0，于是G(x)>0恒成立，所以函数G(x)在x1，m)上单调递增；设任意s，t(0，m)，且s，t，若tx1，则由G(s)<G(t)，若s<x1<t，则由知G(s)<G(t)，由知G(x1)<G(t)，于是G(s)<G(t)若x1s，由知G(s)<G(t)因为总有G(s)<G(t)，所以G(x)在(0，m)上单调递增综上

19、可知，函数G(x)在(0，m)上单调递增(16分)20. 解析：(1) 因为bn(2)bn(1)1，所以(anan2)(anan1)1，即an2an11，因此数列an1是公差为1的等差数列，所以bn(4)bn(1)(anan4)(anan1)an4an13.(2分)(2) (i) 因为bn1(k)2bn(k)，所以an1an1k2(anank)，分别令k1及k2，得(4分)由得an2an32(an1an2)，(6分)得an2an12(an1an)，(8分)得2an14an，即an12an.因此数列an 是公比为2的等比数列又a12，所以an2n.(10分)(ii) 假设集合A与集合B中含有相同

20、的元素，不妨设bn(k)5bm(k2)，n，mN*，即anank5(amamk2)，于是2n2nk5(2m2mk2)，整理得2nm.(12分)因为515，20)，即2nm15，20)因为n，mN*，从而nm4，(14分)所以16，即4×2k11.由于k为正整数，所以上式不成立，因此集合A与集合B中不含有相同的元素，即AB.(16分)21. A. 解析：连结OD.因为ODOA，所以OADODA.因为AD平分BAE，所以OADEAD，(3分)所以EADODA，所以ODAE.(5分)因为AEDE，所以DEOD.(8分)又因为OD为半径，所以DE是圆O的切线(10分)B. 解析：因为，所以解

21、得(5分)所以A，所以A2.(10分)C. 解析：因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以直线l的普通方程为yx2.(3分)因为圆C的参数方程为(a>0，为参数)，所以圆C的普通方程为x2y2a2.(6分)因为圆C的圆心到直线l的距离d1，(8分)所以1a3，解得a2.(10分)D. 解析：|x1|x|x1x|1，当且仅当x(x1)0，即0x1时取等号(4分)|y1|y1|y1y1|2，当且仅当(y1)(y1)0，即1y1时取等号(8分)所以|x1|x|y1|y1|3，当且仅当0x1，1y1时取等号，所以|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(10分)22. 解析：(1) 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)××(1).P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.所以随机变量X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0×1×2&