北师大版九年级(上)数学知识点归纳总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上九年级上册 第一章 特殊平行四边形第1节 菱形的性质与判定一、菱形的性质1、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。（1）菱形的对边平行且相等。（2）菱形的对角相等，邻角互补。（3）菱形的对角线互相平分。2、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。（1）菱形的四条边相等。（2）菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。【说明】菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，所以菱形有两条对称轴。菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积等于对角线乘积的一

2、半。不仅如此，凡是对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来计算。菱形的面积有两种求法，第一种是等于对角线乘积的一半，第二种是底乘以高。菱形中如果有一个角为60°，则较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形，从而较短的对角线等于边长，较长的对角线等于边长的倍。二、菱形的判定1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3、四条边都相等的四边形是菱形。第2节 矩形的性质与判定一、矩形的性质1、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。（1）矩形的对边平行且相等。（2）矩形的对角相等，邻角互补。（3）矩形的对角线互相平

3、分。2、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。（1）矩形的四个角都相等，都是直角。（2）矩形的对角线相等。【说明】矩形是轴对称图形，经过每组对边中点的直线是它的两条对称轴。矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。矩形的周长等于长与宽的和的2倍，矩形的面积等于长与宽的积。二、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（定义）2、对角线相等的平行四边形是矩形。3、有三个角是直角的四边形是矩形。4、四个角都相等的四边形是矩形。第3节 正方形的性质与判定

4、一、正方形的性质正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质。1、正方形的四条边都相等且对边平行。2、正方形的四个角都相等，都是直角。3、正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。【说明】（1）正方形是轴对称图形，经过两组对边中点的直线及两条对角线所在的直线都是它的对称轴，所以正方形有四条对称轴。（2）正方形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。（3）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。（4）正方形的对角线互相垂直且相等，所以正方形的面积有两种求法，第一种是等于对角线平方的一半，第二种是边长的平方。二、正方形的判定1、有一组邻边相等，且有一个角是直

5、角的平行四边形叫做正方形。（定义）2、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。3、有一组邻边相等的矩形是正方形。4、对角线互相垂直的矩形是正方形。5、有一个角是直角的菱形是正方形。6、对角线相等的菱形是正方形。【说明】（1）判定一个四边形为正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）。（2）判定一个四边形是正方形的途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直。先证它是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等。三、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系1、演变关系2、从属关系第二章 一元二次方程第1节 认识一元二次方程一、一元二

6、次方程的相关概念1、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且所含未知数的最高指数是2的整式方程叫做一元二次方程。【说明】一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）只含有一个未知数（2）所含未知数的最高次数是2（3）必须是整式方程2、一元二次方程的一般形式我们把ax2bxc0（a、b、c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数。【说明】（1）确定一元二次方程的各项及其系数，应先把一元二次方程化为一般形式。（2）二次项、一次项、常数项及其系数必须带符号。二、从实际问题中抽象出一元二次方程1、方法（步骤）（1）设

7、一个恰当的未知数x（2）根据已知条件，用x表示另一些未知数（3）根据已知条件的相互关系，用x的各个表达式列方程。2、典型例题【例1】根据题意列出方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。 解：设三边长分别为x1，x，x1（x1），根据题意，得(x1)2x2(x1)2三、估算一元二次方程的近似解1、方法：列表法首先，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2bxc0（a、b、c为常数，a0）分别计算ax2bxc的值，在表中找到使ax2bxc可能等于0的未知数的大致范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止。2、典型例题【例2】为了绿化学校校园，需

8、将草皮移植到操场，若矩形操场的长比宽多14m，操场的面积是3300m2，求绿化后操场的宽的取值范围。（精确到0.1m）解：设绿化后操场的宽为x m，则长为(x14)m，由题意得 x(x14)3300，即x214x33000列表如下：x505152535455x214x330010015132251372495所以x的大致范围是50x51，且更接近51。列表如下：x50.550.650.750.850.9x214x330042.7531.2419.718.163.41所以x的大致范围是50.8x50.9。答：操场的宽的取值范围是50.8mx50.9m。第2节 用配方法解一元二次方程一、直接开平方

9、法根据平方根的意义，对形如(axb)2c（a0，c0）的一元二次方程，两边直接开平方求解的方法，叫做直接开平方法。【说明】对于一元二次方程(axb)2c（a0）来说：（1）当c0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当c0时，方程有两个相等的实数根；（3）当c0时，方程没有实数根。二、配方法1、定义通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法称为配方法。2、步骤（1）将要解的一元二次方程化为一般形式。（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数。（3）移项：将常数项移到等号的右边。（4）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(xm)2n的形式。（5）求解：若n0时，两边

10、同时开平方便可求出方程的根；若n0，原方程无实数根。【说明】配方法解一元二次方程的理论根据是完全平方公式。 配方法解一元二次方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础。配方法是在二次项系数为1的前提下进行。3、应用（1）化简二次根式【例1】化简二次根式解：（2）因式分解【例2】因式分解x22x3解：原式(x22x1)13(x1)24(x1)2 (x1)2(x3)( x1)（3）求最值【例3】求二次三项式2x23x1的最大值。（4）证明【例4】求证：无论x为何实数，代数式x24x5的值恒大于零。证明：x24x5x24x22225(x2)21(x2)20(x2)210无论x为何实数，代数式x24x5

11、的值恒大于零。第3节 用公式法解一元二次方程一、一元二次方程的求根公式1、求根公式及其推导过程我们发现用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)，用含有a、b、c的代数式表示方程的解，我们只须把a、b、c代入其中，便可得出一元二次方程的解，这样就会方便简捷得多。一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)来说，因为二次项系数a0，所以方2、公式法（1）定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。（2）步骤把一元二次方程化为一般形式ax2bxc0(a0)，确定a、b、c的值。 求出b24ac的值。 若b24ac0，把a、b、c的值代入

12、求根公式，得到方程的根；若b24ac0，则该方程无实数根。二、一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0(a0)来说：当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根。 当b24ac0时，方程有两个相等的实数根。当b24ac0时，方程没有实数根。由此可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可由b24ac来判定。我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用希腊字母“”表示。第4节 用因式分解法解一元二次方程一、因式分解法1、定义当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以分别令每个一次因式等于0，从而求得方程的解，这种解

13、一元二次方程的方法称为因式分解法。2、理论依据 如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个为0。 （若a·b0，则a0或b0）3、步骤（1）一移：将方程整理为一般形式ax2bxc0(a0)（2）二分：将方程左边因式分解，得到两个一次因式的乘积。（3）三化：令每个一次因式分别为零，得到两个一元一次方程。（4）四解：解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根。二、灵活选用适当的方法解一元二次方程1、在一元二次方程的四种解法中，优先选取的顺序为： 直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法2、没有特殊要求，一般不用配方法，因为配方法比较繁琐。3、因式分解法用的最多，因为其比较简单、

14、灵活。4、公式法是解一元二次方程的“万能方法”，只要方程有解，就能用公式法来解。第5节 一元二次方程的根与系数的关系我们知道，一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时有两个根：x1， x2于是两根之和为x1x2两根之积为这就是著名的韦达定理，它提示的是一元二次方程根与系数的关系。【说明】（1）如果方程x2pxq0的两个根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q。（2）以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20。第6节 应用一元二次方程1、列方程解应用题的关键找等量关系2、列方程解应用题的步骤（1）审：审题。分析题中已知什么，求什么。明确各数量之间

15、的关系。（2）设：设未知数。一般求什么，就设什么为x（其他未知数也可以）。（3）找：找等量关系。找出能够表示应用题全部题意的一个等量关系。（4）列：列方程。根据所找的等量关系列出方程。（5）解：解方程。解所列方程，求出未知数的值。（6）答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）。第三章 概率的进一步认识第1节 用树状图或表格求概率一、用树状图法求概率【例1】小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。你

16、认为这个游戏公平吗？解：画树状图如下：由树状图可知，总共有4种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。其中：小明获胜的结果有1种：（正，正），所以P（小明获胜）；小颖获胜的结果有1种：（反，反），所以P（小颖获胜）；小凡获胜的结果有2种：（正，反）（反，正），所以P（小凡获胜）。因此，这个游戏对三人是不公平的。二、用表格法求概率【例2】小刚和小强玩游戏，有两个布袋，一个布袋里装3黄2白共5个小球，另一个布袋里装有4黄3白共7个球，两人各拿一个布袋，每次各从布袋中取出一个小球，并规定：若取出的两球同色，则小刚得1分；若取出的两球异色，则小强得1分，你觉得这个游戏公平吗？请说明

17、理由。解：不公平。理由如下：列表格如下：由表格可知，共有35种等可能结果，其中：两球同色的结果有18种，所以P（小刚得1分）；两球异色的结果有17种，所以P（小强得1分）；因为P（小刚得1分）P（小强得1分），所以这个游戏不公平。第2节 用频率估计概率一、用频率估计概率一般地，在大量重复进行同一试验时，某一事件发生的频率总接近于某个常数，且在这个常数附近波动，这个常数就是这一事件发生的概率。在一个试验中有n个等可能的结果，而某一事件A中包含其中m个等可能的结果，那么事件A发生的概率为(mn)，记为PA。【例1】一枚木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的。将它从一定高度下

18、掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下。由于棋子两面不均匀，为估计“兵”字面朝上的概率，某小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：试验次数20406080100120140160“兵”字朝上14384752667788相应频率0.70.450.630.590.550.550.55（1）请将表中数据补充完整。（2）如果将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？解：（1）18；0.52（2）随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，即估计P（“兵”字面朝上）0.55二、估计个体和总

19、体数目【例2】一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同。将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，请你估计这个口袋中红球的数量。解：设口袋中有红球x个，则有白球（10x）个，根据题意，得 解得x7答：口袋中大约有7个红球。【例3】王老汉为了与客户签订购销合同，对自己的鱼塘里的鱼的总质量进行估计。第一次捞出100条，称得质量为184kg，并将每条鱼作上记号放回鱼塘中，当它们完全混合于鱼群中后，又捞出200条，称得质量为416kg，且有标记的鱼有20条。（1）请你帮王老汉估计他的鱼塘中有多少条鱼？（2

20、）请你帮王老汉估计他的鱼塘中的鱼的总质量是多少？解：（1）设王老汉的鱼塘中有x条鱼，根据题意得 解得 x1000 经检验，x1000是所列分式方程的解答：王老汉的鱼塘中大约有1000条鱼。（2）带有记号的鱼的平均质量是184÷1001.84kg，20条带有记号的鱼的质量是1.84×2036.8kg，鱼塘中鱼的平均质量为(18441636.8)÷(10020020)2.011kg鱼塘中鱼的总质量为1000×2.0112011kg答：王老汉的鱼塘中鱼的总质量估计约为2011kg。第四章 图形的相似第1节 成比例线段一、两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两

21、条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CDm：n，或写成。其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。【说明】（1）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但要采用同一个长度单位。 （2）如果把表示成比值k，那么，所以ABk·CD。二、成比例线段四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。【说明】（1）这四条线段是有顺序的，其中a和d叫做比例外项，b和c叫做比例内项，d叫做线段a、b、c的第四比例项。（2）如果比例内项是相等的，即，那么b叫做线段a、c的比例中项。三

22、、比例的性质1、比例的基本性质如果，那么adbc；如果adbc（a，b，c，d都不等于0）那么。如果，那么b2ac；如果b2ac（a，b，c都不等于0）那么。2、等比性质如果（bdn0），那么。3、合比性质如果，那么。4、分比性质如果，那么。5、合分比性质如果，那么。6、更比性质那么（交换内项） 如果 那么（交换外项） 那么（内项与外项同时交换） 7、反比性质如果，那么。（交换比的前项和后项）第2节 平行线分线段成比例一、平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。二、平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

23、。第3节 相似多边形一、相似多边形的相关概念1、相似多边形的定义各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。如图所示的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似。2、相似多边形的表示方法六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作“六边形ABCDEF六边形A1B1C1D1E1F1”，“”读作“相似于”。【说明】在表示两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 全等多边形是相似多边形的特殊情况。3、相似比相似多边形的对应边的比叫做相似比。【说明】相似比是有顺序性的，如果甲、乙两个多边形相似，甲与乙的相似比是m：n，则乙与甲的相似比是n：m。全等

24、多边形是相似多边形的特殊情况，特殊之处在于它们的相似比是1：1。二、相似多边形的性质与判定1、相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。2、相似多边形的判定各角分别相等且各边成比例的两个多边形相似。【说明】两个多边形相似，必须同时满足“各角分别相等”和“各边成比例”两个条件，二者缺一不可。（1）任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？ 任意两个等边三角形相似 任意两个正方形相似同理可以得到：任意两个正n边形相似。（2）任意两个菱形相似吗？任意两个矩形相似吗？任意两个平行四边形相似吗？ 任意两个菱形不一定相似，它们满足“各边成比例”，不一定满足“各角分别相等”

25、。 任意两个矩形不一定相似，它们满足“各角分别相等”，不一定满足“各边成比例。” 任意两个平行四边形不一定相似，它们既不一定满足“各角分别相等”，也不一定满足“各边成比例”。第4节 探索三角形相似的条件一、相似三角形的相关概念1、相似三角形的定义 三角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。2、相似三角形的表示方法ABC与A1B1C1相似，记作“ABCA1B1C1”，读作“ABC相似于A1B1C1”。【说明】在表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似三角形的形状相同，但大小不一定相等，全等三角形是相似三角形的特例。二、相似三角形的等价关系1、反身性：对于任

26、意一个ABC，都有ABCABC；2、对称性：若ABCA1B1C1，则A1B1C1ABC；3、传递性：若ABCA1B1C1，且A1B1C1A2B2C2，则ABCA2B2C2。三、相似三角形的判定1、定义法：三角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。2、平行法相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、定理法（1）两角分别相等的两个三角形相似。（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（3）三边成比例的两个三角形相似。【说明】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形

27、相似。在两个直角三角形中，如果有一组锐角相等，那么这两个直角三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似，且都与原直角三角形相似。如果两个等腰三角形的顶角相等，那么这两个等腰三角形相似。如果两个等腰三角形的底角相等，那么这两个等腰三角形相似。四、黄金分割1、黄金分割的相关概念如图1所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。【说明】如图2所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，BC与AB的比叫做黄金比。所以一条线段的黄金分

28、割点有两个。理解黄金分割，关键是明确三条线段之间的比例关系，即“大：全小：大”。2、计算黄金比3、作黄金分割（1）如图3所示，已知线段AB，采用如下方法可以得到线段AB的黄金分割点。 （2）如图4所示，已知线段AB，采用如下方法可以得到线段AB的黄金分割点。以线段AB为边作正方形ABCD取AB的中点E，连接BE延长DA至F，使EFEB以线段AF为边作正方形AFGH，则点H就是线段AB的黄金分割点你能说明其中的道理吗？第5节 相似三角形判定定理的证明一、证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似。已知：如图1所示，在ABC和ABC中，AA，BB求证：ABCABC二、证明定理2：两边成比例且夹角相等

29、的两个三角形相似。已知：如图2所示，在ABC和ABC中，AA，求证：ABCABC三、证明定理3：三边成比例的两个三角形相似。已知：如图3所示，在ABC和ABC中，求证：ABCABC证明：在ABC的边AB、AC上分别截取ADAB，AEAC，连接DE 又AA ABCADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） DEBC 又ADAB，AEAC ADEABC ABCABC第6节 利用相似三角形测高一、利用阳光下的影子测高如图1所示，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？请说明理由。解

30、：太阳光线是平行的，即ACDEDECACB人与旗杆是垂直于地面的DCEABC90°DCEABC 即因此只要测出a、b、h的值，就能求出旗杆的高度x。二、利用标杆测高如图2所示，每小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处位置，使旗杆顶端、标杆顶端与自己眼睛恰好在同一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高度。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？请说明理由。解：过点C作CHAB于点H，交EF于点G，则CHEF，CGDFd1，CHDBd2，HBGFCDa，EGEFGF

31、ba，AHABBHxaEGCAHC90° ECGACH EGCAHC 即因此只要测出a、b、d1，d2的值，就能求出旗杆的高度x。三、利用镜子的反射测高如图3所示，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合为止。这时其他同学立即测出观测者的脚部与镜子上的标记之间的距离，以及旗杆底端与镜子上的标记之间的距离。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？请说明理由。解：过点O作OMBD于点O，则DOMBOM90° 入射角等于反射角，即COMAOM CODAOB人与旗杆

32、是垂直于地面的CDOABO90° CDOABO 即因此只要测出a、b、h的值，就能求出旗杆的高度x。第7节 相似三角形的性质一、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。【说明】（1）相似三角形对应线段的比等于相似比。（2）如图所示，在RtABC中，ACB90°，CD是斜边AB上的高。二、相似多边形的性质1、相似多边形的对应角相等，对应边成比例。2、相似多边形的对应线段的比等于相似比。3、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似

33、比的平方。第8节 图形的位似一、位似多边形的相关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应点P、P所在的直线都经过同一点O，且有OPkOP（k0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上k就是这两个相似多边形的相似比，在这里叫做位似比。二、位似多边形的四种基本模式3、位似中心在图形的外部，如图所示。4、位似中心在图形的内部，如图所示。三、位似多边形的性质1、位似多边形的对应角相等，对应边成比例。2、位似多边形的对应边平行（或在一条直线上）。3、位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。【说明】位似多边形一定相似，但相似多边形不一定位似。四、平面直角坐标系中

34、的位似变换在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是|k|。第五章 投影与视图第1节 投影一、投影的相关概念在日常生活中，我们可以看到各种各样的影子。比如，太阳光照射到窗框、长椅等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子；而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子。物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。二、投影的分类1、中心投影手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。如图1所示，就是中心投影。2、平行投影太阳

35、光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影，如图2所示，都是平行投影。其中所示的平行光线倾斜于投影面，称为斜投影；所示的平行光线垂直于投影面，称为正投影。三、投影的性质1、中心投影的性质物体上的点和投影上的对应点的连线交于同一点（即点光源所在位置）。2、平行投影的性质 （1）物体上的点和投影上的对应点互相平行或重合。（2）同一时刻，在平行光线下，互相平行的物高和影长成正比。【说明】等高的物体垂直于地面放置时，在同一时刻的平行光线下，它们的影长相等。 等长的物体平行于地面放置时，在同一时刻的平行光线下，它们的影长相等，且影长等于物体本身的长度。四、投影的应用1、中心投影的应用（1）根

36、据灯光下两种或两种以上物体及影子的情况判断灯的位置。【例1】确定图1中灯泡的位置。解：如图2所示，过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两条直线交于点O，则点O即为路灯灯泡所在的位置。（2）已知灯的位置会画出物体在灯光下的影子。【例2】根据灯泡的位置在图中画出表示婷婷影子的线段。（3）利用中心投影的性质解决实际问题【例3】如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子EF的长为2m，已知他的身高是1.5m，求路灯A的高度AB是多少。解：由题意知，CD1m，CE3m，DE2m，EF2m，G

37、CHE1.5m当王华在CG处时，RtDCGRtDBA，所以当王华在HE处时，RtFEHRtFBA，所以答：路灯A的高度AB为6m。2、平行投影的应用【例4】如图1所示，朝阳市第二十二中学墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上，AB5m，BC3m。（1）请你画出此时DE在阳光下的投影。（2）若同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长。3、中心投影与平行投影的综合应用【例5】如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，请在图中画出形成树影的光线，它们是太阳的光线还是灯光的光线？为什么？答：如图所示，过一棵树的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一棵树的顶端及其影子的顶端画一条直

38、线，两条直线交于一点，所以它们是灯光的光线。第2节 视图一、视图及其分类用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同的方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图，就把一个物体的形状特征用平面图形表示出来了。通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图。如图所示，即为某物体的三视图。【说明】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。因此在画三种视图时，对应部分的长度要相等，而且通常把俯视图画在主视图下面，把左视画在主视图右面。主视图与俯

39、视图的长相等；主视图与左视图高相等；左视图与俯视图的宽相等。二、物体的三视图1、常见几何体的三视图名称几何体主视图左视图俯视图正方体长方体圆柱圆锥正四棱锥球【说明】在所有几何体中，只有正方体和球的三种视图是完全相同的。 圆锥的俯视图中有一个点表示圆锥的顶点。2、简单组合体的三视图（1）简单组合体：由柱、锥、台、球等基本几何体形成的组合体。（2）具体画法：将具体实物合理地抽象成简单组合体，再将简单组合体分解成单个几何体，然后画出三种视图。【例1】将两个圆盘，一个茶叶桶，一个皮球和一个蒙古包模型按如图所示的方式摆放在一起，其主视图为（D）三、根据三种视图判断几何体的形状【例2】根据图1所给三视图，

40、画出几何体的草图。解：几何体的草图如图2所示。第六章 反比例函数第1节 反比例函数一、反比例函数的概念一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数。其中x是自变量，y是因变量。【说明】（1）因为分式的分母不能为0，所以自变量x的取值范围是x0。（2）因为k0，x0，所以y的取值范围是y0。（3）反比例函数的解析式还可以写成和xyk的形式。二、反比例函数表达式的确定由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数k，因此只需要一个点的坐标或一对对应的x、y的值，即可求出k的值，进而确定反比例函数的表达式。（1）设所求的反比例函数的表达式为（k为常数，k0）（2）把一个点的坐标或一对对应的x、y的值代入其中，建立关于k的一元一次方程。（3）解得k的值。（4）把k的值代入中，进而确定反比例函数的表达式。第2节 反比例函数的图象与性质一、反比例函数的图象1、图象的画法描点法（1）列表：自变量x的取值应以0为中心（不包括0），在0的两边取三对以上的相反数，再分别计算出相应的y值。（2）描点（3）连线：按光滑的曲线顺次连接各点2、图象的特征反比例函数的图象是由两支曲线组成的，通常称为双曲线。当k0时，两支曲线分别位于第一、三象