机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动

1、2022-3-3振动力学12022-3-3振动力学2 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称与弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统。分布参数系统。 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体是具有无限多自由度的系统。 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微分方程组，

2、它是，它是偏微分方程。偏微分方程。 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。统是完全类似的。2022-3-3振动力学32022-3-3振动力学4（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。体，即在弹性范围内服从虎克定律。说说 明明（2）材料均匀连续；各向同性。）材料均匀连续；各向同性。（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提 。2022-3-3振动力学56.

3、1 弦的横向振动弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，以张力 T 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 yx),(tLT), 0(tT),(txfxdx),(txyo建立坐标系建立坐标系xoy),(txy弦上距原点弦上距原点 x 处的横截面在处的横截面在 t 时刻的横向位移时刻的横向位移 ),(txf单位长度弦上分布的作用力单位长度弦上分布的作用力 单位长度弦的质量单位长度弦的质量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： dxtxfTdxxdxxTtxTtydx),(sin)sin(),(22fdx22tydxdxxdxdxxTT),(txT微振：微振：

4、 xytansin2022-3-3振动力学6dxtxfTdxxdxxTtxTtydx),(sin)sin(),(22xytansindxtxfxyTdxxyxTdxxyxTdxxyxyTtydx),()(2222222不计不计dx的二次项，的二次项， 同除以同除以dx： ),(2222txfxyxTxyTty)0(),(22LxtxfxyTxty此为弦的横向振动的偏微分方程此为弦的横向振动的偏微分方程 ),(),(),(txyytxTTx式中：式中： 2022-3-3振动力学7弦的横向强迫弦的横向强迫振动方程振动方程/Ta 其中：其中：)0(),(22LxtxfxyTxty从图上看出，在两端：

5、从图上看出，在两端：yx),(tLT), 0(tT),(txfxdx),(txyo0),(), 0(tLyty这就是边界条件。这就是边界条件。）（31 . 6）（41 . 6边界值问题。）构成了偏微分方程的）与（41 . 631 . 6为小量，为常数，设横向位移若弦的线密度),()(txyx）简化为：（可以视为常数，则方程弦的张力31 . 6T)0(),(2222LxtxfxyTty）（51 . 6方程：，则弦的自由振动微分如果0),(txf22222xyaty）（61 . 6弹性波沿弦向弹性波沿弦向的传播速度的传播速度波动方程波动方程2022-3-3振动力学8弦存在着同步运动的特征：弦存在着

6、同步运动的特征：yxTT),(txfxdx),(txyo0),(), 0(tLyty弦位移的形状不随时间改变弦位移的形状不随时间改变）（81 . 6，取决于表示弦的振动位形，只xxY)(22222xyaty但弦位移形状的幅度随时间改变，但弦位移形状的幅度随时间改变， 弦上各点同时达到最大幅值，弦上各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置。又同时通过平衡位置。 数学上讲，就是位移函数在时间和空数学上讲，就是位移函数在时间和空间上是分离的，间上是分离的，)()(),(tFxYtxy即位移函数可以写成：即位移函数可以写成：，取决于表示弦的振动规律，只ttF )(2022-3-3振动力学9弦存在着同步

7、运动的特征：弦存在着同步运动的特征：0),(), 0(tLyty）（81 . 6. xt，右端只依赖于上式左端只依赖于22222xyaty)()(),(tFxYtxy要使等号两端对任意的代入上式：代入上式：)()()()(22222tFdxxYdadttFdxY移项得：移项得：22222)()(1)()(1dxxYdxYadttFdtF数，都相等，必须都等于常和tx表示，得该常数用20)()(222tFdttFd0)()(2222xYadxxYd2=2022-3-3振动力学100),(), 0(tLyty）（81 . 622222xyaty)()(),(tFxYtxy令：0)()(222tFd

8、ttFd0)()(222xYdxxYd)0(Lxa）（101 . 6）（111 . 6这样，偏微分方程就变成两个二阶常微分方程，这样，偏微分方程就变成两个二阶常微分方程，x, t.而而(6.1-10)的解应该是简谐的：的解应该是简谐的：tBtAtFcossin)()sin(tC）（121 . 6确定。件为积分常数，由初始条或式中)0 ,(),0 ,(,xyxyCBA2022-3-3振动力学110)()(222xYdxxYd)0(Lxa）（111 . 6而而(6.1-11)的解应该是：的解应该是：xExDxYcossin)(确定。件为积分常数，由边界条式中),(), 0(,tLytyED）（13

9、1 . 60),(), 0(tLyty）（41 . 60)()0(LYY）（141 . 6代入代入(6.1-13)得：得：0sin)(0)0(LDLYEY，0sin0LD0sinaL即，振型函数振型函数2022-3-3振动力学12xExDxYcossin)(）（131 . 60sinaL程。这就是弦振动的特征方由此得无穷多个固有频率：由此得无穷多个固有频率：,iaLLaii), 2 , 1(iTLi）（161 . 6）（151 . 6频率频率 1 1称为基频或基谐波，较高次频率称为高次谐波。称为基频或基谐波，较高次频率称为高次谐波。高次谐波是基频的整数倍。高次谐波是基频的整数倍。对应无穷多个固

10、有频率，就有无对应无穷多个固有频率，就有无穷多个固有振型函数：穷多个固有振型函数：)2 , 1(sinsin)(ixLixaxYii）（171 . 6此处此处D 省略，因为省略，因为Y表示系统各点振幅的相对比值（振型）。表示系统各点振幅的相对比值（振型）。2022-3-3振动力学13Laii), 2 , 1(iTLi）（181 . 6)2 , 1(sinsin)(ixLixaxYii系统自由振动是这些固有振型振动的叠加：系统自由振动是这些固有振型振动的叠加：tBtAtFcossin)(tBtAtFiiiiicossin)()()(),(tFxYtxyxLitBtAtFxYtxyiiiiiiis

11、in)cossin()()(),(11sin)cossin()()(),(iiiiiiiixLitBtAtFxYtxy连续系统与多自由度系统的特性类似。连续系统与多自由度系统的特性类似。离散离散 连续，振型向量连续，振型向量 振型函数。振型函数。2022-3-3振动力学14)(sin)0 ,(1xfxLiBxyii由三角函数的正交性：由三角函数的正交性：)()0 ,(),()0 ,(xgtxyxfxy)()(2/0sinsin0jijiLxdxLjxLiL设在设在t t=0=0时刻，有时刻，有)(sin)0 ,(1xgxLiAtxyiii所以得：所以得：iLBLxdxLixf2sin)(0,s

12、in)(20LixdxLixfLB), 2 , 1(,sin)(20ixdxLixgLALii）（211 . 6）（221 . 62022-3-3振动力学15),()0 ,(xfxy可见初始条件决定每一阶固有振型在系统中的贡献。可见初始条件决定每一阶固有振型在系统中的贡献。,sin)(20LixdxLixfLB), 2 , 1(,sin)(20ixdxLixgLALii11sin)cossin()()(),(iiiiiiiixLitBtAtFxYtxy，0),(), 0(tLyty，22222xyatyLaii，)()0 ,(xgtxy张紧弦的自由振动除了基频振动外，还可以包含高次谐波振动张紧

13、弦的自由振动除了基频振动外，还可以包含高次谐波振动在振动中各阶谐波的出现与否及出现的相对大小取决于激励。在振动中各阶谐波的出现与否及出现的相对大小取决于激励。2022-3-3振动力学16例例6.1-1 6.1-1 考虑两端固定的弦，求振动的前三阶固有频率和相考虑两端固定的弦，求振动的前三阶固有频率和相应的固有振型，并作出振型图。应的固有振型，并作出振型图。LT,x)(xy解：弦的固有频率：解：弦的固有频率：), 2 , 1(iTLii，TL1，TL22.33TL弦的固有振型：弦的固有振型：)2 , 1(sinsin)(ixLixaxYii，xLxYsin)(1，xLxY2sin)(2.3sin

14、)(3xLxY2022-3-3振动力学17LT,x)(xy前三阶固有振型图前三阶固有振型图，xLxYsin)(1，xLxY2sin)(2.3sin)(3xLxYx)(1xyx)(2xyx)(3xy，TL1，TL22.33TL各阶频率成倍增长，各阶频率成倍增长，振型相应增多，振型相应增多， 振幅为零的节点个数逐次振幅为零的节点个数逐次增加，第增加，第n 阶固有振型有阶固有振型有n-1-1个节点。个节点。2022-3-3振动力学18例例6.1-2 6.1-2 考虑均匀弦在考虑均匀弦在x=0和和x=L处固定的特征值问题，处固定的特征值问题，证明特征函数证明特征函数Yr( (x) )和和Ys( (x)

15、 )满足如下正交性关系：满足如下正交性关系：解：先将振型函数正则化，即令：解：先将振型函数正则化，即令：为克朗尼格符号。式中，rs)2 , 1,(,)()(,)()(200srdxdxxdYdxxdYTdxxYxYrsrsLrrssLr代入上式：将xLrDxYrrsin)(，1)(02LrdxxY1sinsin02dxxLrxLrDLrdxLxrDLr02)2cos121（0/2)/2sin(212LLrLxrxDrLDr2211LDr22022-3-3振动力学19所以有：所以有：dxLxsLxrLdxxYxYLsLrsinsin2)()(000LDr2xLrLxYrsin2)(得正则振型：L

16、dxLxsrLxsrL0)(cos)(cos10/2/2sin1LLsLxsxL时，sr 0/)(/)sin(/)(/)sin(1LLsrLxsrLsrLxsrL时，sr 1)2 , 1,()()(01srsrsrrs2022-3-3振动力学20同样有：同样有：dxLxsLsLxrLrLTdxdxxdYdxxdYTLsLrcoscos2)()(000LDr2xLrLxYrsin2)(得正则振型：LdxLxsrLxsrLTrs032)(cos)(cos0/2/2sin322LLsLxsxLTs时，sr 0/)(/)sin(/)(/)sin(322LLsrLxsrLsrLxsrLTs时，sr 22

17、()( ,1,2)()0ssrsrsr srs 222LTsTLss2s2022-3-3振动力学21注意：在本例中，特征函数满足正交性只是普通三角函数正注意：在本例中，特征函数满足正交性只是普通三角函数正交性的重复。交性的重复。然而，在本质上特征函数的正交性是一般的，然而，在本质上特征函数的正交性是一般的，而系统的特征函数为三角函数是非常特殊的情况。而系统的特征函数为三角函数是非常特殊的情况。回想离散系统，同样有振型的正交性，同样有一组固有回想离散系统，同样有振型的正交性，同样有一组固有频率和固有振型来表示系统的特征。频率和固有振型来表示系统的特征。至此，除了离散系统的固有频率和固有振型是有限

18、集，至此，除了离散系统的固有频率和固有振型是有限集，而连续系统的固有频率和固有振型是无限集以外，而连续系统的固有频率和固有振型是无限集以外，离散系统和连续系统的相似性便完备了。离散系统和连续系统的相似性便完备了。2022-3-3振动力学22例例6.1-3 6.1-3 设张紧弦在初始时刻将中点拨离设张紧弦在初始时刻将中点拨离h ( (如图如图) ) ，然后，然后无初速地释放，求弦的自由振动。无初速地释放，求弦的自由振动。解：弦的初始形状就是解：弦的初始形状就是 y(x,0):)2/()2/0()/1 (2/2)0 ,(LxLLxLxhLhxxy0)0 ,(txy而无初始速度：以上两式就是初始条件。以上两式就是初始条件。2Lx)(xyLhO11sin)cossin()()(),(iiiiiiiixLitBtAtFxYtxy由于由于0iA01sin)0 ,(iiixLiAtxy2022-3-3振动力学23)2/()2/0()/1 (2/2sin)0 ,(1LxLLxLxhLhxxLiBxyii,sin)(20LixdxLixfLB2/02/sin)/1 (22sin22LLLxdxLiLxhLxdxLiLhxL)(xf2/cos402/cos2sin2222LLxLiihLxLiihxxLi