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文档简介

1、习题15-1图15-11.计算下列曲线积分:(1),是半圆周,;(2) ,其中为以原点为中心的右半单位圆周;(3) ,是从到的一段;(4) ,其中是以为顶点的三角形围线;(5) ,其中为单位圆周;(6) ,其中为球面被所截的圆周.解 (1) 积分曲线如图15-1所示，所以.(2) 右半圆单位的参数方程为,则. (3) .(4),其中是以为顶点的三角形;(5) (提示:要注意去绝对值) 因为圆的参数方程为,所以(6) 消去得.将坐标旋转,即令,代如,有,其参数方程为,代入,有及,所以,原式.2.求曲线的质量,并假设其线密度为.解 曲线的质量.3.证明：若函数在光滑曲线上连续,则存在点,使得,其中

2、为曲线的长度.证 由于在光滑曲线上连续,故由曲线积分存在性定理知, 存在,且.因为在曲线上连续,为光滑曲线,所以与在上连续,由积分中值定理,存在,使得,令,显然有,且.习题15-21.计算下列第二类曲线积分:(1) ,其中为从抛物线中从原点到的一段；(2) ,是螺旋线：,从到的一段；(3) ,其中是摆线沿着参数增加的一段；(4) ,其中为原点为中心的单位圆周,且依逆时针方向；(5) ,其中为与轴围成的闭曲线,依顺时针方向；(6) ,其中从到的直线段.解 (1) ;(2) (3)(4) (5) (6) 直线的参数方程为.所以2在地面附近,质量为的质点受重力作用沿空间一光滑曲线由移动到,求重力所作

3、的功.解 设光滑曲线,力,所以.3设一质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点到原点的距离成正比(比例系数为).若质点沿椭圆从移动到，求力所作的功.解 椭圆的参数方程为.所以为比例系数).习题15-31.应用格林公式计算下列曲线积分:(1) ,其中为单位正向圆周;(2) ,其中是以为顶点的三角形,方向取为正向;(3) ,其中,方向取正向;(4) ,其中为常数,为由到经过圆上半部分的路线(为正数).解 (1) 原式.(2) 积分曲线如图15-2所示,的方程:;的方程是:的方程是:.三角形区域被分成和两部分.(3)图15-2 , ,所以.(4) 提示:运用格林公式,积分路线必须是封闭路线,因此在本题中需补一条直线段.连结与点,与原积分路线一同构成封闭路线,在线段上,.于是,而由格林公式.2.应用格林公式计算下列曲线所围面积：(1) 椭圆： ；(2) 双扭线：.解 (1) .(2) 提示:将双纽线直角坐标方程化为参数方程如图15-3,令,图15-3利用图形的对称性得,.3.求,它的全微分满足：.解 因为,所以4.验证下列积分与路径无关,并求出值(1)连续; (2)沿着右半平面的路线.解 (1)因为,所以,积分和路径无关.原式.(2) ,故积分与路线无

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