数值分析试题与答案

1、 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.   A4和3          B3和2   C3和4          D4和42. 已知求积公式，则（ ）A      B      C &

2、#160;   D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（    ）   A0，        B 0，        C1，         D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（    ）敛速。    A超线性   

3、  B平方       C线性           D三次5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（   ）.       A                B

4、60;       C                 D 单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分评卷人    二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则        ，        .2

5、. 一阶均差                     3. 已知时，科茨系数，那么             4. 因为方程在区间上满足            &

6、#160;    ，所以在区间内有根。5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式                      .填空题答案 1.       9和 2.        3.   

7、0;   4.       5.       得 分评卷人    三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案 1.       解 ，           ，所以分段线性插值函数为  

8、;                                  2. 已知线性方程组（1）       写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2）    

9、60;  对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案 1.解 原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案  3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式为， ，              方程的根 4. 写出梯形

10、公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案 4 解  梯形公式                                   应用梯形公式得        

11、0;                    辛卜生公式为                     应用辛卜生公式得         

12、0;                                            得 分评卷人     四、证明题（本题10分）确

13、定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案 证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得                                   得，。所求公式至少有两次代数精确度

14、。     又由于                                       故具有三次代数精确度。  一、  

15、        填空（共20分，每题2分）1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=      .2.设一阶差商 ，    则二阶差商 3. 设, 则        ，        。4求方程   的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么     5解初始值问题

16、 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径               。 7、设   ，则                和                 

17、 。        8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都               。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为               。10、为了

18、使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成                              。 填空题答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、 8、 收敛 9、10、二、计算题  （共75 分，每题15分）1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足

19、 以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式计算题1.答案 1、（1）    （2） 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？计算题2.答案 2、由 ，可得 ，               3 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4 推导常微

20、分方程的初值问题 的数值解公式： （提示： 利用Simpson求积公式。）计算题4.答案 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得    所以得数值解公式： 5 利用矩阵的LU分解法解方程 组 计算题5.答案 5、解：三、证明题 （5分）1设  ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案 1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有          

21、       位有效数字。(2). 对, 差商(      )。(3). 设, 则        。(4).牛顿柯特斯求积公式的系数和                       。 填空题答案（1）

22、3    （2）1    （3）7        （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。计算题1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。计算题2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案 3）迭代公式  4).（15分）求系数。计算题4.答案

23、 4）5). (10分)对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案  5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：. 三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有(     )位有效数字.2.  是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 &

24、#160;   (      ).3.  设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是(                  ).4.  迭代公式收敛的充要条件是            。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b

25、不为0) 的迭代格式中的B称为(         ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为(           )。填空题答案132.3.4. 5.迭代矩阵，    得 分评卷人    二、判断题（共10分）1.          若，则在内一定有根。 

26、;              (   )2.          区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。         (   )3.         

27、 若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。     (   )4.          若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。                       &#

28、160;                  (   )5.          用近似表示产生舍入误差。                 &#

29、160;   (   )判断题答案 1.×  2.×  3.×  4.  5.×得 分评卷人    三、计算题（70分）1.      （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=(             &#

30、160;     )，=(             ), 插值多项式P2(x)=(                ), 用三点式求得(         ).计算题1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）

31、求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式     的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案 4. （15分）设初值问题  . (1)     写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)     写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题

32、数值解的公式，并求解，保留两位小数。计算题4.答案 4. 5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。计算题5.答案 5              =1+2(                         ， 一、

33、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有             和             。2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则                        ；     。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为         ；插值型求积公式中求积系数               &