数值计算方法数值积分有添加哦

1、第四章 数值积分一问题提出：（1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，时，很难找到其原函数。（2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。二定积分的几何意义定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是，y=0，x=a，x=b。三机械求积公式1.中矩形公式；几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。2.梯形公式梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：3.辛普生公式辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由三点构成。4.求积公式的一般形式，其中称为节点，称为求积系数，或权。5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准

2、确度的一种方法）含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。定义：若某积分公式对于均能准确成立，但对于不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。例1研究中矩形公式的代数精度及几何意义。解：当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左右；故中矩形公式具有1次代数精度。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。例2研究梯形公式的代数精度及几何意义。解：当时，公式左边

3、，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左右。故梯形公式也具有1次代数精度。从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。例3研究辛普生公式的代数精度及几何意义。解：当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，左右；故梯形公式具有3次代数精度。当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形

4、面积刚好相等。6.求积公式的确定方法一：待定系数法。例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析：构造一次代数精度的公式，即当及时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。解：设积分公式为：。针对及，代入积分公式的左边和右边，有：，解得，于是有积分公式：。该公式即为梯形求积公式。例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。解：设积分公式为。针对，及，代入积分公式的左边和右边，有：，解得：，积分公式为：该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，xn，作n

5、次多项式函数，根据拉格朗日公式：，则有，其中，代数精度的分析：若被积函数是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数即是被积函数本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。解释：若是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线，其中必有，即；同理，若是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数，其中必有，即。四牛顿-柯特斯公式1.牛顿柯特斯公式（等间距的插值型求积公式）把区间a，b分为n等份，步长为hh（ba）/n则n+1个点分别为：。由这n1个点构造的插值型求积公式为：该公式称为牛顿柯特斯公式，称为柯特斯系数，当n1时（即2个点，1等份），有梯形公式（1

6、次代数精度）：当n2时（即3个点，2等份），有公式辛普生公式（3次代数精度）：当n4时（即5个点，4等份），有柯特斯公式（5次代数精度）2.复化求积公式1.复化梯形求积公式2.复化辛普生公式3.变步长算法梯形公式的逐次分半算法含义：把区间a，b分成n等份计算其n个小梯形面积；再把区间a，b分成2n等份计算其2n个小梯形面积。预备知识：则有：先计算，若，再计算，直到为止，则就是答案。4.龙贝格求积公式复化积分的误差公式龙贝格公式推导公式称为龙贝格公式，龙贝格公式不是牛顿柯特斯公式。龙贝格公式求积算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R25.高斯公式（1）.含义：积分公式的一般

7、形式；以前的节点是按等间距来选择，为了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值。（2）.一点高斯公式设一点高斯公式的形式为：其实都是需要待定的值。根据代数精度概念，令，使积分公式准确成立，有解得：，故一点高斯公式为：，即为中矩形公式，它具有1次代数精度。（3）.二点高斯公式设一点高斯公式的形式为：其实都是需要待定的值。根据代数精度概念，令，使积分公式准确成立，有该方程组不是线性方程组，故其求解比较困难，最后解得：解得：，故二点高斯公式为：，它具有3次代数精度。n点高斯公式具有至少2n1次代数精度。（4）.勒让德多项式，。可以证明，勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式：（5）.三点高斯公式确定公式中的6个参数。分析3次勒让德多项式则其零点为：。令，使积分