半带滤波器的幅频响应

1、（a），（b），（c）和和以为对称，则称和镜像对称，但并没有要求。所以，两通道QMFB不一定是半带滤波器，而半带滤波器一定是正交镜像滤波器。由以上讨论，我们可把半带滤波器的特点总结如下：的通带与阻带纹波必须相等，即；也即该频率响应相对半带频率（）是对称的。另外，若的通带频率为，阻带频率为，则和对是等距的。正因为这以特点，所以称该类滤波器为“半带滤波器”；3. 除4. 若是非因果、零相位的FIR滤波器，即，那么，的单边的最大长度为，为整数，总的长度 )即半带滤波器的长度总是奇数，且是4的整数倍减1。若将乘以，即可将零相位的FIR滤波器变成因果的、具有线性相位的滤波器。5. 半带滤波器可以是因果的

2、，也可以是非因果的。其系数可以是实的，也可以是复的。如： ， ， 等均是半带滤波器。1.严格互补（strictly complementary，SC）滤波器一组滤波器，若它们的转移函数具有如下关系： 则称，是一组严格互补的滤波器。假定利用，作为分析滤波器组将分成个子带信号，若把这个子带信号相加，即对应的时域信号是，它和仅差了一个延迟和常数倍，这对于信号的准确重建是非常有用的。由定理6.1，th滤波器一定是严格互补型滤波器。半带滤波器是th滤波器的特例，因此，半带滤波器也是严格互补的。给定一个低通滤波器，设其长度为偶数，属FIR线性相位滤波器，显然，我们可把写成的形式，式中为实数，可正可负。若令

3、，显然，这样，和并不等于，因此，该滤波器不是半带滤波器。在进一步讨论其它类型滤波器之前，我们先给出本书常用的一些符号。若为一矩阵，即的各元素都是的多项式，记为的转置；为的共轭转置；表示将各元素的系数取共轭；表示将各元素的系数取共轭，用代替，然后取转置。例如，令，式中，也是矩阵，则矩阵称为的“仿共轭（paraconjugate）矩阵”。若在单位圆上取值，即，则。一般，不在单位圆上，有 若是的有理多项式，则 表示将的系数取共轭，再用代替，例如：若 ， 则 若 ， 则 2. 功率互补滤波器（power complementary，PC）若个滤波器的频率响应满足 式中为常数，则称，是功率互补的。该式又

4、可表示为 下面的定理给出了功率互补滤波器和th滤波器之间的关系：定理6.2 给定一转移函数，其多相表示为，再令，当且仅当是一th滤波器时，是功率互补的。证明：为证明上述结论，我们定义一组滤波器 将其写成矩阵形式，有式中是DFT矩阵，满足如果要满足功率互补关系，则应有 （1）若是功率互补的，则因为 所以，也是功率互补的。由的定义，即，那么，因此有)即为一th滤波器。（2） 反过来，若是求逆，即。用上述同样的方法可证明，从而是功率互补的，证毕。若，即、是功率互补的，我们有 该式在两通道滤波器组的准确重建中有着重要的作用。由定理6.2，应是一半带滤波器，并有。如果我们希望能设计出符合功率互补的滤波器

5、，则应首先设计出半带滤波器，由，显然是的一个谱因子，因此，对作谱分解，然后对极-零点重新安排，即可得到。3全通互补滤波器（Allpass Complementary，AC）若一组滤波器，满足式中为一全通滤波器，则称这一组滤波器是全通互补滤波器。利用全通互补滤波器可消除信号重建时的幅度失真。一组严格互补的滤波器也是全通滤波器，但不一定是功率互补的。如果一组滤波器既是全通互补的，又是功率互补的，则称其为双互补（Doubly Comlementary，DC）滤波器。 有关以上各种类型的互补滤波器，我们将在以后的章节里陆续遇到。6.4 半带滤波器设计半带滤波器在两通道滤波器组的分析与实现中具有重要的作

6、用，本节讨论其设计方法。由上节所述，半带滤波器的单位抽样响应除1.窗函数法假定要设计的半带滤波器的截止频率，令理想滤波器的，对，其余为零，则显然，所以，是一个零相位的半带滤波器。但它是非因果的，从，且频率特性不好。我们可以仿照用窗函数法设计FIR滤波器的方法来改造之19。即选一窗函数，令式中为的长度。2.利用Lagrange插值法文献129提出了一个用Lagrange插值法设计半带滤波器的方法。首先由，求出半带滤波器的单位抽样响应，的总长度为。例如，当时，所求出的的值如下：n0±1±2±3±4±5±6±7h(n)0.50.2

7、990-0.059800.011960-0.00122然后用 (6.4.4)可求得半带滤波器得转移函数。3. 用单带滤波器来设计半带滤波器欲设计一个半带滤波器，假定其长度为，截止频率为，阻带频率为，为了达到设计的目的，文献15提出了一个用单带滤波器来设计半带滤波器的方法。首先用Chebyshew最佳一致逼近法设计出一个“单带”滤波器。所谓“单带”，是令的通带频率为，阻带频率，从是其过渡带，因此，只有一个通带，没有阻带。令的长度为，因为所需半带滤波器的长度，所以的长度为，即始终为常数。及求出后，再对作二倍的插值，并令插值后序列的中心点为0.5，即这样，是一半带滤波器，通带截止频率在，其通带和阻带

8、的纹波分别是的一半。文献15称该方法为一个“trick”。，的长度（即）。按上面讨论的思路，我们首先设计单带滤波器，令其通带截止频率为，长为。的图形，图（b）是，图（d）是，显然除中心点外，为偶序号项皆为零。（a），（b），（c），（d）6.5 抽取、插值及滤波器组的应用现举例说明信号抽取、插值及滤波器组的应用。 一般，语音、音乐信号等的频谱的主要能量集中在，那么，对这一类信号抽样时，取应能满足需要。但在抽样前，应加抗混迭滤波器以去除在以上的频率成份，从而保证抽样时不发生混迭失真。显然，对，我们希望它：通带尽量地平；过渡带尽量地窄；阻带衰减足够大；最好能具有线性相交。对模拟滤波器来说，要想做到

9、通带尽量平，阻带尽量小并不困难，但如果要求过渡带又特别窄就比较困难，进而，要求具有线性相位几乎是不可能的。那么，解决的方案是将提高一倍，即取，这样，的过渡带即可加宽，这样的设计就比较容易，并努力使相频响应在通带内接近线性相位（如利用Bessel滤波器）。显然，的过渡带加宽，使抽样后的信号含有频率大于的噪声，但由于提高了一倍，因此不会引入混迭失真。由于这时工作在高抽样率状态，含有信息的冗余，我们可对其作二倍的抽取。在抽取之前，我们用截止频率为的数字滤波器对滤波，从而既消除了由于过渡带过宽引入的噪声，又防止了抽取后的混迭15Ha(j)A/DH(z)2在第五章开头时已述及，在语音系统中存在着多种抽样

10、率。如立体声，通常是，而CD唱盘（或数字磁带），所采用的抽样率是，而数字广播所用的抽样率是。这样，同一首歌曲要从一个媒体转到另一个媒体，或是通过数字广播播出，它们之间必须进行抽样率转换。例如，若从转换到，我们只需取，再取，然后作分数倍的抽样率转换即可。61,102,130 一个实际的物理信号，其频谱绝不会在内均匀分布。同理，一个实际的图象，其能量也不会在空域频率，分解并抽取后的信号是，抽样的频率，每个点是，那么直接对编码每移需要，假定每点用，仍用，由于抽取后，的抽样率都变成，所以，对，编码所用的数是，显然比对直接编码所用的数大大减少。通过低通滤波器后的输出，即通过高通滤波器后的输出，即。显然，

11、已接近于正弦信号，而基本上全是噪声，其幅值在±0.3之间。因此，对中的每一个点给以少量的数是合理的。（a）原信号，（b）通过低通滤波器后的，（c）通过高通滤波器后的的图像。首先按行分别通过低通滤波器和高通滤波器，然后作二倍抽取，并把低频部分放在上半部，高频部分放在下半部。对按行分解后的图像再作按列分解，即让每列分别通过和，并让低频部分放在左边，高频部分放在右边，这样，就将图（a）的一幅图形分成了四幅。记为低频部分，为高频部分，显然图（b）的左上角为，右上角为，左下角为，右下角为。如图所示，左上角的图形含有原图像的绝大部分信息，而其它三部分，特别是右下角的，则是含有原图像的细节。我们可

12、针对这四幅子图像的重要性，分别给以不同的字长来表示之（或编码）。有关图像压缩的更多内容，我们将在小波变换部分详细讨论。,（a）原始图像，（b）分解后的图像23 在普通的电话线路上传递语音信号易被窃听。为此，人们提出了很多的加密方法，其中之一是利用滤波器组。其思路是将语音信号分成若干段，让每一段信号依次通过一个通道的滤波器组，得，将这个信号的次序打乱，再通过后传输出去。在接收端，再按原打乱前的顺序依次将信号重组。除非窃听者知道打乱的规律，否则很难解密。15 在数字网络中，在一条线路上传输多路信号的常用方法是时分复用（Time Division Multiplexed，TDM）和频分复用（FDM）。是：，这样，是，按时间将其分开后的组合。在接收端，通过图（b）的网络可很容易地将，和再次分开。333333在TDM中，三个信号在时域上是