初中函数概念与正比例函数

1、一、 常量与变量的概念：常量：在某一变化过程中,始终保持不变的量变量：在某一变化过程中,可以取不同数值的量二、 自变量、函数的概念设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列

2、表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。1圆周长公式C=2R中，下列说法正确的是( )(A)、R是变量，2为常量 (B)C、R为变量，2、为常量(C)R为变量，2、C为常量 (D)C为变量，2、R为常量2、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系式。关系式为 （ 是自变量， 是因变量）；一辆汽车行驶5小时，写出行驶路程s(千米)与行驶

3、速度v(千米/小时)之间的关系式。关系式为 （ 是自变量， 是因变量）3、写出下列函数关系式，并指出关系式中的自变量与因变量： 每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，总金额Y（元）与学生数n（个）的函数关系式；关系式为 （ 是自变量， 是因变量） 计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的函数关系式关系式为 （ 是自变量， 是因变量）（3）、用长20m的篱笆围成一个矩形，则矩形的面积S与它一边的长x的关系是什么？关系式为 （ 是自变量， 是因变量）4、用长20m的篱笆围成矩形，使矩形一边靠墙，另三边用篱笆围成， 写出矩形面积S（m2）与平行于墙的一边长x（m）的关系式；

4、关系式为 （ 是自变量， 是因变量） 写出矩形面积S（m2）与垂直于墙的一边长x（m）的关系式关系式为 （ 是自变量， 是因变量）5：指出下列变化关系中，哪些x是y的函数，哪些不是，说出你的理由。（A） yx1（B）y2x23x2 xy=2 x+y=5 |y|=3x+16：写出下列函数关系式：并指出其中的常量与变量。（1）底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式；（2）某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米，挂上重物后的长度y(厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式；（3）某种饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.2升水，饮水机中剩余水量y(升)与放水时间x(分)

5、之间的关系式。（4）已知定活两便储蓄的月利率是0.0675%，国家规定，取款时，利息部分要交纳20%的利息税，如果某人存入2万元，取款时实际领到的金额y(元)与存入月数x的函数关系式. （5）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时用油4升，求油箱中剩余油量（升）与工作时间（时）之间的函数关系； 7如图62所示，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD=20cm，当B、C在平行线上运动时，长方形的面积发生了变化（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果长方形的长AB为x（cm），长方形的面积可以表示为_（3）当长AB从25cm变到40cm时，长方形的面积从_变

6、到_8：指出下列变化关系中，哪些x是y的函数，哪些不是，说出你的理由。y2x23x；y2x1？；y3x；|y|x；y3； ； y=C组9：某厂今年前五个月生产某种产品的月产量Q（件）关于时间t (月)的函数图象如图所示，则对这种产品来说，下列说法正确的是（）.A 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少B 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平C 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两个月停止生产D 1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产10：小明获得了科技发明奖，他马上告诉了两个朋友10分钟后，他们又各自告诉了另外两个朋友，再过10分钟，这些朋友又各自告诉了

7、两个朋友如果消息按这样的速度传下去，80分钟将有多少人知道小明获得了科技发明奖试回答问题并填写表格时间（分钟）告诉的人数总数11研究下列算式你会发现什么规律；（1）上述算式中有哪些变量？（2）你能否将其中一个变量看成是另一个变量的函数？（3）你能将这个函数关系用表达式表示出来吗？第二课时四、分层练习：A组1、写出下列函数中自变量x的取值范围：（1） y5x1； （2） y2x27； （3）y=2 x3+6x27 （4） y=； （5）y= （6） y； （7）y= 2：已知矩形的周长为24cm，它的长为x（cm），宽为y（cm），则y与x之间的函数关系式为 （1）当x=3时， y= （2）当x

8、= 4.5时，y= （3）当x=10时，y= （4）当y= 7时，x= （5）当x=20时，y的值是多少？3：对于函数y= （1）当x=5时， y= （2）当x=1.5时，y= （3）当x=0时，y= （4）当y=1时，x= （5）当x=2时，y的值是多少？4、求下列函数当 时的函数值：（1） （2） （3） （4）5、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：（1）某市民用水费标准为每吨0.90元，求水费y（元）关于用水吨数x的函数关系式： x的取值范围是 （2）等腰三角形的面积为30cm2，底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式： x的取值范围是 （3） 试

9、写出周长为60cm的等腰三角形的腰长y与底边长x的函数关系式，： x的取值范围是 6若等腰三角形的周长为50厘米，底边长为x厘米，一腰长为y厘米，则y与x的函数关系式及变量x的取值范围是( )(A)y=502x (0<x<50)(B)y=502x (0<x<25)(C) (0<x<50)(D) (0<x<25)B组7、矩形的周长为12 cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积。8、请分别写出满足下列的条件的函数关系式（1） 自变量x的取值范围为全体实数 （2） 自变量t的取值范围为t2

10、 （3） 自变量x的取值范围为 x3 （4） 当x=2时，y=7 （5） 举出一个实际问题背景下的函数例子，列出其函数关系式，并指出自变量的取值范围 C组9：x取什么值时，下列函数的函数值为0(1) y = 3x5 (2) y = (x1)(x+) (3) y = 10：一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒钟增加2米，到达坡底时，小球速度达到40米秒，求：（）小球速度v与时间t之间的函数关系式（）3.5秒时小球的速度（）几秒时小球的速度达到16米秒？11：某风景区集体门票的收费标准是20人以内(含20人)每人25元，超过20人的部分，每人10元（） 试写出门票费用y（元）和人数x

11、之间的关系式（） 如果某班共有人到此风景区春游，问门票费用共多少元？12观察下列算式：，那么第100个算式是什么？第n个呢？13：某校组织学生到距离学校6公里的光明科技馆去参观，学生王红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：里程收费（元）3公里以下（含3公里）8.003公里以上，每增加1公里1.80（1）写出出租车行驶的里程数x3（公里）与费用y（元）之间的关系式；（2）王红身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由解：（1）y=8+（x3）×1.8=1.8x+2.6 （x3）；（2）当x=6时，y=1.8×6

12、+2.6=13.4<14（解答应用问题要注意积累生活经验）一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线P(x0 y0)bxyy=kx+bA(x1, y1)B(x2, y2)0da一次函数ykxb(k0)的图像是经过点（0，b）的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上的截距)；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、斜率： 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k

13、0)由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：Y设两条直线分别为，： ：若A若，则有且。 点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: XB4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为 5、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

14、6、（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；（3）当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；（4）当b>0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线（5）几条直线互相平行时 ，k值相等而b不相等。反比例函数 三、正比例函数解析式与图象特征之间的规律：（性质）正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点的

15、直线当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小正比例函数图像的作法1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线例：y=2x 和 y=-2x四、一次函数ykxb（k0，k、b均为常数）是一条直线，当b0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。一次函数的性质当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第

16、一、三、四象限。 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。 当b0时，直线必通过第一、二象限； 当b0时，直线必通过第三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数例：y=x+2正比例函数 一、填空题(每小题3分，共30·分刀1、形如 的函数是正比例函数。2、大连市区与庄河两地之间的距离是160km

17、，若汽车以每小时80 km 的速度匀速从庄河开往大连，则汽车距庄河的路程s(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式为 .3、已知一个正比例函数的图像经过点(-2，4)，则这个正比例函数的表达式是 。4、正比例函数（为常数，）的图像经过第 象限，函数值随自变量的增大而 。5、已知与成正比例，且时，则时 。6、函数中自变量的取值范围是 。7如果函数是正比例函数，则= 。8、已知正比例函数如果的值随的值增大而减小，那么的取值范圆是 。9、结合正比例函数的图像回答：当时，的取值范围是 。10、若，y是变量，且函数是正比例函数，则 。二、选择题（每小题3 分，共18分）11、下列关系中的两个量成正比

18、例的是( )；A、从甲地到乙地，所用的时间和平均速度；B、正方形的面积与边长；C、买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D、人的体重与身高12、下列函数中是的正比例函数的是( )A、；B、；C、；D、13、下列说法不成立的是( ) A、在中与成正比例 B、在中与成正比例；C、在中与成正比例；D、在中与成正比例；14、若函数是正比例函数，则的值是( )A、=-3 B、=1 C、=3 C、>-315、已知和是直线上的两点，且，则与的大小关系是( )A、> B、< C、= D、以上都不可能4已知函数y=-9x, 则下列说法错误的是( )A函数图像经过第二，四象限。By的值随x的增大而增大。C原点在函数的图像上。Dy的值随x的增大而减小。16、汽车开始行驶时，油箱内有油40 L，如果每小时耗油5 L，则油箱内的剩余油量Q（L