常考问题4 导数的简单应用

1、常考问题4导数的简单应用真题感悟1(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点；D正确，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点答案D2(2013·浙江卷)已知e为自然对数的

2、底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值解析当k1时，f(x)ex·x1，f(1)0，f(1)不是极值，故A，B错；当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1的左侧附近f(x)<0，x在1的右侧附近f(x)>0，f(x)在x1处取到极小值故选C.答案C3(2013·广东卷)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.解析yk，y|x1k10，k1.答

3、案14(2013·江西卷)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.解析设ext，则xln t(t>0)，f(t)ln tt，f(t)1，f(1)2.答案25(2013·新课标全国卷)若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图象关于直线x2对称，则f(x)的最大值是_解析由题意知即解得a8，b15，所以f(x)(1x2)(x28x15)，则f(x)4(x2)(x24x1)令f(x)0，得x2或x2或x2，当x<2时，f(x)>0；当2<x<2时，f(x)<0；当2<x<2时，f(x)>0；当x&g

4、t;2时，f(x)<0，所以当x2时，f(x)极大值16；当x2时，f(x)极大值16，所以函数f(x)的最大值为16.答案16考题分析题型选择题、填空题、解答题难度低档对导数几何意义的考查中档考查函数的极值与最值高档考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值(说明：部分省市要求的低)1导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x

5、)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1续表f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)导数的四则运算u(x)±v(x)u(x)±v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)3函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数yxsin x .4函数的导数与极值对可导函数而

6、言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件例如f(x)x3，虽有f(0)0，但x0不是极值点，因为f(x)0恒成立，f(x)x3在(，)上是单调递增函数，无极值5闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值6函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为

7、增函数是f(x)0的必要不充分条件.热点一导数几何意义与定积分【例1】 (1)已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P(2,0)处的切线方程是_(2)设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析(1)根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又切线过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.(2)由定积分的几何意义，曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积Sdxx|a，aa2，解之得a.答案(1)xy20(2)规律方法 函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的

8、导数是切线的斜率因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组)其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异【训练1】 (1)(2013·长沙第二次诊断)若曲线f(x) ，g(x)xa在点P(1,1)处的切线分别为l1，l2，且l1l2，则a的值为()A2 B2 C. D (2)已知曲线S：yx3x24x及点P(0,0)，则过点P的曲线S的切线方程为_解析(1)由题意可知，f(x)，g(x)axa1，l1，l2过点P(1,1)，kl2f(1)，kl2g(1)a.又l1l2，kl1·kl2a1.a2.(2)设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0

9、)，则过点P的曲线S的切线斜率y|xx02x2x04，又kPQ，2x2x04，点Q在曲线S上，y0xx4x0，将代入得2x2x04，化简，得xx0，x00或x0，若x00，则k4，过点P的切线方程为y4x；若x0，则k，过点P的切线方程为yx.过点P的曲线S的切线方程为y4x或yx.答案(1)A(2)y4x或yx热点二利用导数研究函数的单调性【例2】 已知函数f(x)ln xax1，aR.(1)当a1时，求函数的单调区间；(2)当0a<时，讨论f(x)的单调性解(1)当a1时，f(x)ln xx1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)由f(x)0，得x1或x2(舍去)，所以当x(0,1)

10、时，f(x)<0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)>0，函数f(x)单调递增故当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)(2)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)令g(x)ax2x1a，x(0，)，当a0时，g(x)x1，x(0，)，当x(0,1)时，g(x)>0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)<0，此时f(x)>0，函数f(x)单调递增当0<a<时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x1或1.此时1>1>0，所以当x(0,1)时，g(x

11、)>0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减；x时，g(x)<0，此时f(x)>0，函数f(x)单调递增；x时，g(x)>0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当0<a<时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减规律方法 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根

12、据不等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制【训练2】 (2013·德州二模)设函数f(x)x ln x.(1)求函数f(x)在点M(e，f(e)处的切线方程；(2)设F(x)ax2(a2)xf(x)(a>0)，讨论函数F(x)的单调性解(1)f(x)ln x1(x>0)，则函数f(x)在点M(e，f(e)处的切线的斜率为f(e)2，又f(e)e，所以切线方程为ye2(xe)，即y2xe.(2)F(x)ax2(a2)xln x1(x>0)，F(x)2ax(a2)(x>0，a>0)，令F(x)0，

13、则x或，当0<a<2，即>时，令F(x)>0，解得0<x<或x>.令F(x)<0，解得<x<.所以F(x)在，上单调递增，在上单调递减当a2，即时，F(x)0恒成立，所以F(x)在(0，)上单调递增当a>2，即<时，同理可得F(x)在，上单调递增，在上单调递减热点三利用导数研究函数的极值与最值【例3】 已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在区间1，e上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方(1)解当x1，e时，f(x)x>0，所以f(x)在区间1

14、，e上为增函数所以当x1时，f(x)取得最小值；当xe时，f(x)取得最大值e21.(2)证明设h(x)g(x)f(x)x3x2ln x，x(1，)，则h(x)2x2x.当x(1，)时，h(x)>0，h(x)在区间(1，)上为增函数，所以h(x)>h(1)>0.所以对于x(1，)，g(x)>f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方规律方法 (1)函数在闭区间上一定存在最值；在开区间上不一定存在最值，若存在，一定是极值(2)构造新函数，转化成研究其单调性，是解决这类题目的常用方法【训练3】 (2013·福建卷)已知函数f(x)xaln x(aR)(1

15、)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x>0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x>0知：当a0时，f(x)>0恒成立，所以函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a>0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)<0；当x(a，)时，f(x)>0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为

16、f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.失分案例(二)分类讨论的思想应用错误分类讨论思想是一种“化繁为简、化整为零，分别对待，各个击破，再化零为整”的思维策略考生对分类讨论的思想很难从整体上把握，往往使得解答半途而废，即使解答了也是漏洞百出分类讨论的思想应用错误的主要原因是：1.思维过于简单，只是按一种形式解答；2.分类标准不明确，有重复；3.分类对象模糊不清；4.讨论不全面，出现遗漏(建议用时：50分钟)1函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析

17、由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0<x1，所以函数的单调递减区间为(0,1答案B2(2013·江西卷)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1<S2<S3 BS2<S1<S3CS2<S3<S1 DS3<S2<S1解析S1；S2ln xln 2<ln e1；S3exe2e2.722.74.59，所以S2<S1<S3.答案B3已知函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为()A.B.C.D.解析xf(x)<0或当x时

18、，f(x)单调递减，此时f(x)<0.当x(，0)时，f(x)单调递增，此时f(x)>0.故选B.答案B4已知函数f(x)x3ax2x2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(1,1)内，则实数a的取值范围是()A(0,2 B(0,2) C，2) D(，2)解析由题意可知f(x)0的两个不同解都在区间(1，1)内因为f(x)3x22ax1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.答案D5(2013·潍坊模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)xf(x)<0成立，若a30.3f(30.3)，

19、blog3f(log3)，clog3f，则a，b，c间的大小关系是()Aa>b>c Bc>b>aCc>a>b Da>c>b解析设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)<0(x<0)，当x<0时，g(x)xf(x)为减函数又g(x)为偶函数，当x>0时，g(x)为增函数1<30.3<2,0<log3<1，log32，g(2)>g(30.3)>g(log3)，即c>a>b.答案C6设P为曲线C：f(x)x2x1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是1,3，则点P的

20、纵坐标的取值范围是_解析设P(x0，y0)，则f(x)2x1.12x013，即0x02.y0f(x0)xx012，x00,2，y03，故点P的纵坐标的取值范围是.答案7已知函数f(x)aln xx在区间2,3上单调递增，则实数a的取值范围是_解析f(x)aln xx.f(x)1.又f(x)在2,3上单调递增，10在x2,3上恒成立，a(x)max2，a2，)答案2，)8(2013·盐城调研)若a>0，b>0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_解析依题意知f(x)12x22ax2b，f(1)0，即122a2b0，ab6.又a>0，b&

21、gt;0，ab29，当且仅当ab3时取等号，ab的最大值为9.答案99已知f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围解(1)f(x)exax1(xR)，f(x)exa.令f(x)0，得exa.当a0时，f(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有xln a综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，)(2)由(1)知f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0恒成立，即aex在R上恒成立xR时，ex>0，a0，即a的取值范围是(，010(2013·西安五校二次联考)已知函数f(x)ax2(2a1)x2ln x，aR.(1)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间解f(x)ax(2a1)(x>0)(1)由题意得f(1)f(3)，解