角平分的性质定理

1、杨庄中学杨庄中学 段伟段伟新北师大版新北师大版1.1.角平分线的性质定理和判定定理。角平分线的性质定理和判定定理。2.2.用尺规作角的平分线。用尺规作角的平分线。AOBC活活 动动1（对折）（对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，

2、又该怎么办呢？证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活动动4(2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的平分线

3、上的点到这个角的两边的距离相等这个角的两边的距离相等. .证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于

4、点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE活活 动动5(3)验证猜想验证猜想角平分线的性质定理角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边的距离相等两边的距离相等 21EDCPOBA驶向胜利的彼岸w定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等. .强调：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.w如图如图, ,wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,PDOAPDOA于于D,PEOBD,PEOB于于E (E (已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到

5、这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).P PA AOOB BC CE ED D12如果有一个点到角两边的距离相等，如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上那么这个点必在这个角的平分线上 你能写出这个定理的逆命题吗你能写出这个定理的逆命题吗? 用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成这个命题是假命题角平分线是角内部的一条这个命题是假命题角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点角平分线性质定理的逆命题：在一个角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在角的内部且到角的两边距离相等

6、的点，在这个角的角平分线上这个角的角平分线上这是一个真命题吗这是一个真命题吗? 驶向胜利的彼岸已知已知: :如图如图,PA=PB, PDOA,PEOB,PA=PB, PDOA,PEOB,垂垂足分别是足分别是D,E.D,E.求证求证: :点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .分析分析: :要证明点要证明点P P在在AOBAOB的的平分平分线上线上, ,只要证明只要证明1=21=2即可。即可。你能写出规范的证明过程？你能写出规范的证明过程？21EDCPOBA已知：在已知：在AOB内部有一点内部有一点P，且，且PDOA，PEOB，D、E为垂足且为垂足且PD=PE，求证：点求证：点P在在

7、AOB的角平分线上的角平分线上用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成证明：证明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90在在RtODP和和RtOEP中中OP=OP，PD=PERtODP RtOEP(HL)1=2(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等) 点点P在在AOB的角平分线上的角平分线上21EDCPOBA角平分线的判定定理角平分线的判定定理 在一个角的内部在一个角的内部，且到角两，且到角两边距离相等的点，在这个角的边距离相等的点，在这个角的角平分线上角平分线上判定定理：在一个角的内部判定定理：在一个角的内部, ,且到角的两且到角的两边距离相等的点边距离相等的点, ,在这个角的平分线

8、上在这个角的平分线上. .PDOAPDOA于于D,PEOBD,PEOB于于E,E,且且PD=PE,PD=PE, 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个在一个角的内部角的内部, ,且到角的两边距离相等且到角的两边距离相等的点的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).AOCB12PDE例题：在例题：在 ABC 中，中， BAC = 60，点，点 D 在在 BC 上，上，AD = 10，DEAB，DFAC，垂，垂足分别为足分别为 E，F，且，且 DE = DF，求，求 DE 的长的长.ABCEFD你能用什么办法平分一个已知角呢？你能用什么办法平分一个已知角呢？1 1

9、可以用量角器可以用量角器2 2使用三角尺，也可以平分一个已知角使用三角尺，也可以平分一个已知角3 3用角尺也可以平分一个已知角用角尺也可以平分一个已知角4 4用直尺和圆规平分一个已知角用直尺和圆规平分一个已知角5. 5. 用折纸的办法也可以用折纸的办法也可以平分一个已知角平分一个已知角根据角平分仪的制作原理怎样作一个角根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM已知:AOBAOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOCAOC=BOC.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .作法:1.1.在在OAOA和和OBOB

10、上分别截上分别截取取OD,OE,OD,OE,使使OD=OEOD=OE.2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心, ,以以大于大于DE/2DE/2长为半径作弧长为半径作弧, ,两两弧在弧在 AOBAOB内交于点内交于点C.C.3 .3 . 作 射 线作 射 线 O C .O C .则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平的平分线分线. .ABOCDE你能说明射线OC为什么是AOBAOB的平分线吗？驶向胜利的彼岸w1. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等. CDABO 随堂练习随堂练习 随堂练习随堂练习2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).A区 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分