全国高考理科数学试题及其解析

1、1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟第卷(选择题共65分)一选择题：本大题共15小题；第110题每小题4分，第11 15题每小题5分，共65分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A) (B) (C) (D) (2) 函数y=a|x|(a1)的图像是( ) (3) 曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为( )(A) x2(y2)2=4 (B) x2(y2)2=4 (C) (x2)2y2=4 (D) (x2)2y2=4(4) 两条直线A1xB1

2、yC1=0，A2xB2yC2=0垂直的充要条件是( )(A) A1A2B1B2=0 (B) A1A2B1B2=0 (C) (D) (5) 函数f(x)=( x0)的反函数f1(x)= ( )(A) x(x0) (B) (x0) (C) x(x0) (D) (x0)(6) 已知点P(sincos，tg)在第一象限，则在内的取值是( )(A) ()() (B) ()()(C) ()() (D) ()()(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º(8)

3、 复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是( )(A) i (B) i (C) ± i (D) ±i(9) 如果棱台的两底面积分别是S，S，中截面的面积是S0，那么( )(A) 2 (B) S0=(C) 2 S0=SS (D) (10) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( ) (11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段

4、PF1的中点在y轴上，那么|P F1|是|P F2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) (14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A) arccos (B) arcsin (C) arccos (D) arcsin(15) 在等比数列an中，a1>1，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是( )(A)(1，) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，)第卷(

5、非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分把答案填在题中横线上16设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_17(x2)10(x21)的展开式中x10的系数为_（用数字作答）18如图，在直四棱柱A1B1C1 D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1 CB1 D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19关于函数f(x)=4sin(2x)(xR)，有下列命题:由f(x1)= f(x2)=0可得x1x2必是的整数倍；y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x)；y=f(x)的图像关于点(，0)对

6、称；y=f(x)的图像关于直线x=对称其中正确的命题的序号是_ (注：把你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题：本大题共6小题；共69分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(20)(本小题满分10分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设ac=2b，AC=求sinB的值以下公式供解题时参考：sinsin =2sincos， sinsin=2cossin，coscos=2coscos， coscos=2sinsin.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1 l2，点Nl1以A， B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角

7、形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABCA1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA1 A1C，AA1= A1 C求侧棱A1A与

8、底面ABC所成角的大小；求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；求顶点C到侧面A1 ABB1的距离(24)(本小题满分12分)设曲线C的方程是y=x3x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1写出曲线C1的方程；证明曲线C与C1关于点A(，)对称；如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t且t0(25)(本小题满分12分)已知数列bn是等差数列，b1=1，b1b2b10=145求数列bn的通项bn；设数列an的通项an =loga(1)(其中a0，且a1)，记Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论1998年普通高等学校招生

9、全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算）1D 2B 3B 4A 5B 6B 7C 8D 9A 10B 11D 12A 13B 14B 15D二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）16 1717918ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件例如ABCD是正方形，菱形等19，三、解答题20本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力解：由正弦定理和已知条件a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式得2sincos=2sinB.由A+B+C= 得 sin=cos ，又AC

10、= 得 cos=sinB，所以cos=2sincos.因为0<<，cos0，所以sin=，从而cos=所以sinB=.21本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点设曲线段C的方程为y2=2px（p>0），（xAxxB，y>0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|.所以 M（，0），N（，0）.由|AM|

11、= ，|AN|=3 得（xA+）2+2pxA=17， （xA）2+2pxA=9. 由，两式联立解得xA =.再将其代入式并由p>0解得因为AMN是锐角三角形，所以> xA，故舍去所以p=4，xA =1.由点B在曲线段C上，得xB =|BN|=4.综上得曲线段C的方程为y2=8x（1x4，y>0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点作AE l1，AD l2，BF l2，垂足分别为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）.依题意有xA =|ME|=|DA|=|AN|=3，yA =|DM|=，由于AMN为锐角三角形，故有xN =

12、|ME|+|EN|=|ME|+=4xB =|BF|=|BN|=6.设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合（x，y）|（xxN）2+y2=x2，xAxxB，y>0.故曲线段C的方程为y2=8（x2）（3x6，y>0）.22本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），得 b=（0<a<30）. 于是 y=

13、，当a+2=时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=10（舍去）.将a=6代入式得b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知 4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），即 a+2b+ab=30（a>0，b>0）.因为 a+2b2，所以 +ab30，当且仅当a=2b时，上式取等号.由a>0，b>0，解得0<ab18.即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b2=18.解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小23

14、本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以A1AD为A1A与面ABC所成的角.因为AA1A1C，AA1=A1C，所以A1AD =45º为所求.解：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB.所以A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得EDBC.又D是AC的中点，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=， tgA1ED=.故A1ED=60º为所求.解法

15、一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.连结HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HBA1E，且BCED，所以HBC=A1ED=60º所以CH=BCsin60º=为所求.解法二：连结A1B.根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h.由得，即 所以为所求.24本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.解：曲线C1的方程为y=（xt）3（xt）+s.证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）.设B2（x2，y

16、2）是B1关于点A的对称点，则有， .所以 x1=tx2， y1=sy2.代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：sy2=（tx2）3（tx2），即 y2=（x2t）3（x2t）+ s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上.反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.因此，曲线C与C1关于点A对称.证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解.消去y，整理得 3tx23t2x+（t3ts）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.所以t0并且其根的判别式 =9t412t（t3ts）=0.即 所以 且 t0.25本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：设数列bn的公差为d，由题意得解得所以 bn =3n2.由bn =3n2，知Sn=loga（1+1）+ loga（1+）+ loga（1+）= loga（1+1）（1+）（1+），loga bn+1= loga.因此要比较Sn与loga bn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小.取n=1有（1+1）>，取n=2有（1+1）（1+）>，由此推测（1+1）（1+）（1+）>. 若式成立，则由对数函数性质可断定：当a>1时，Sn>loga bn+1.当0&