大学物理A习题选解

1、第六章真空中的静电场习题选解6-1三个电量为q的点电荷各放在边长为r的等边三角形的三个顶点上，电荷Q(Q0)放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零,Q之值应为多大？解：以三角形上顶点所置的电荷(q)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为3,方向如图所示，其大小为题6-1图中心处Q对上顶点电荷的作用力为f2,方向与fl相反，如图所示，其大小为由flf2 ,得、3Tq6-2在某一时刻，从U238的放射性衰变中跑出来的粒子的中心离残核Th234的中心为r9.01015m。试问：(1)作用在粒子上的力为多大？(2)粒子的加速度为多大？解：(1)由反应238U2390Th+2He,可知粒子带两个单位

2、正电荷，即Th离子带90个单位正电荷，即它们距离为r9.01015m由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：(2)粒子的质量为：由牛顿第二定律得：6-3如图所示，有四个电量均为q106C的点电荷，分别放置在如图所示的解：由图可知，第3个电荷 与其它各电荷等距，均为r ，2m。各电荷之间均为斥力，21,2,3,4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长1m,第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。且第2、4两电荷对第三电荷的作题6-3图用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为题6-3图力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x轴成45o角。6-4在直角

3、三角形ABC的A点放置点电荷qi1.8109C,B点放置点电荷q24.8109C,已知BC0.04m,AC0.03m,试求直角顶点C处的场强E。解：A点电荷在C点产生的场强为题6-4图E1,方向向下B点电荷在C点产生的场强为E2,方向向右根据场强叠加原理，C点场强设E与CB夹角为，tan巨E26-5如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在的P点处的电场强度为E 0彳，式中4 0r布的电四极矩题6-5图电四极子轴线的延长线上，离中心为r(rq)Q2qe2,称为这种电荷分解：由于各电荷在P点产生的电场方向都在X轴上，根据场强叠加原理由于r%,式中小可略去故已3Q40r4又电

4、四极矩Q2qr；题6-5图6-6如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀题6-6图带电，单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为d的P点处的电场强度。解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线元dx在P点产生的场强为dE场强dE可分解成沿x轴、y轴的分量题6-6图p点场强eJE2EJ«2y40d方向与Y轴夹角为arctanLE45oEy6-7一根带电细棒长为2l,沿x轴放置，具一端在原点，电荷线密度Ax（A为正的常数）。求x轴上，xb21处的电场强度。解：在坐标为x处取线元dx,带电量为dqAxdx,该线元在P点的场强为dE,题6-7图解：以圆心为原点建立如图所示Oxy坐标，方向沿x轴正方向

5、整个带电细棒在P点产生的电场为场强E方向沿x轴正方向6-8如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径为R的半圆形。其上一半均匀带电荷q,另一半均匀带电荷 q。求圆心O处的场强。题6-8图在胶棒带正电部分任取一线元dl,与OA夹角为，线元带电荷量dq冬dl,R在O点产生电场强度把场强dE分解成沿x轴和y轴的分量题6-8图同理，胶棒带负电部分在O点的场强E沿x轴方向的分量Ex与Ex大小相等,方向相同；沿y轴方向的分量Ey与Ey大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为E2Ex2q2方向沿x轴正向。2oR26-9一无限大均匀带电平面，电荷面密度为,在平面上开一个半径为R的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r处一点P

6、的场强。解：开了一个圆洞的无限大均匀带电平面，相当于一个无限大均匀带电平面又加了一块带异号电荷，面密度相同的圆盘。距洞心r处P点的场强题6-9图式中E为无限大均匀带电平面在P点产生的场强方向垂直于平面向外E为半径为R的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为r处的P产生的场强。在圆盘上取半径为r,宽为dr的细圆环，在P点产生场强(1-L)方向垂直圆盘向里20R2r2EP E Er2 o(R2 r2)12方向垂直平面向外6-10如图所示，一条长为21的均匀带电直线，所带电量为q,求带电直线延长线上任一点P的场强。解：在坐标为r处取线元，带电量该线元在带电直线延长线上距原点为x的P点产生的场强为题6-10

7、图题6-10图整个带电直线在P点的场强6-11用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为E20(提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分)。解：(1)建如图(a)xyz坐标，以板上任一点。为圆心，取半径为r,宽度为dr的环形面积元，带电量为：dq2rdr。由圆环电荷在其轴线上任一点P(OPx)的场强公式方向沿X轴正方向。题6-11(a)图P点总场强(0,E的方向沿x轴正方向)(2)建如图(b)所示的三维坐标，在场强公式，线元在x轴距原点。为a的点P的场强与z轴相距为y处取一细长线元，沿y轴方题6-11(b)图向单位长度带电荷为dy,由长直带电直线由于对称性，d

8、E的y轴分量总和为零所以E dEx dEcos因为0 ,所以E的方向沿x轴正方向。6-12如图所示，半径为R的带电细圆环，线电荷密度0 cos ,0为常数,为半径R与x轴夹角，求圆环中心。处的电场强度。解：在带电圆环上任取一线元dl Rd ,带电量为dq dl0 cos Rd ,线元与原点O的连线与x轴夹角为，在。点的场强dE大小为题6-12图dE沿x轴和y轴的分量整个带电圆环在。点的场强E沿x轴和y轴的分量EExii4 oRE的方向沿x轴负方向。6-13别为 和如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为 ,求：d ,线电荷密度分(1)两线构成的平面的中垂面上的场强分布;(2)两直线单位长

9、度的相互作用力。解：(1)在两线构成平面的中垂直面上任取一点P距两线构成平面为y,到两线距离为Jy2(%)2。两带电直线在P点的场强为题6-13图由于对称性，两线在P点的场强沿y轴题6-13图方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消方向沿X轴正方向d_.d22.2o(y)4(2)两直线相距为d,带正电直线在带负电直线处的场强为E20d2FqE,带负电直线单位长度的电荷受电场力FE,方向指向带正电直20d2,方向指向带负电直线。2 0d沿同一直线放置，两棒近端相距为1 , 求两棒间的静电相互作用力。题6-14图线。同理，带正电直线单位长度受电场力F故有FF,两带电直线相互吸引。6-14如图所示，

10、长为1、线电荷密度为的两根相同的均匀带电细塑料棒，解：(1)建立如图所示x坐标，在左棒中坐标为x处取线元dx,带电量dqdx,线元dx在坐标r处的场强左棒在坐标r处点的场强题6-14图(2)在右棒中坐标为r处取线元dr,带电量dqdr,该线元受电场力右棒受总电场力为F的方向沿x轴正方向。两棒间的静电力大小相等，方向相反，互为斥力。6-15用细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，棒两端点间的空隙为2cm,棒上均匀分布着3.12109C的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧题6-15图长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，

11、圆心。场强对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心。的电场强度为零，E圆环0°上一带负电小圆弧棒相对于圆心O可近似看成一个点电荷，电量为：圆心处场强EoEAB0.714Vm1,方向指向空隙。6-16如图所示，一点电荷q处于边长为的正方形平面中垂线上，q与平面中心O点相距a/2,求通过正方形平面的电场强度通量e解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为a的正方体，由高斯定理知：通过正方体表面的电通量为题6-16图则通过该正方形平面的电通量为-q-o606-17设匀强电场的场强为E,E与半径为R的半球面的轴线平行。试计算通过此半球面的电场强度通量。解：方法一：在半球面上取宽为d

12、l的环状面积元，通过面元dS的电场强度通量题6-17图通过整个半球面的电场强度通量方法二：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面S的电场强度通量相等。通过S面的电场强度通量：故通过半球面的电场强度通量亦为R2E06-18在量子模型中，中性氢原子具有如下的电荷分布：一个大小为e的电荷被密度为rCe2r/a0的负电荷所包围，0是玻尔半径”，00.53101°m,C是为了使电荷总量等于 e所需要的常量。试问在半径为°的球内净电荷是多少？距核°远处的电场强度多大?解：由rCe2r/a0,可得323332r/a02田erdr0a。2r/a02r,2ra。x2,a0ca。e

13、dexdx280a0ao8084原式成为4Ca0所以C二a0要求半径为ao的球内的静电荷。应先求半径ao的球内的负电荷q球内净电荷为qeq0.677e1.081019c由高斯定律0EdS4a02Eq006-19在半径分别为Ri,R2的两个同心球面上，分别均匀带电为Qi和Q2,求空间的场强分布，并作出Er关系曲线。解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。(1)以球心O为圆心，r为半径(R1r0)作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即因而EI0(2)以O为圆心，半径为r(R2rR)题6-19图作一同心球面，由高斯定理(3)以。为圆心，半径为r(R

14、2r)作一同心的球面，由高斯定理所以EmQf4°rEr曲线如图6-19所示。6-20设均匀带电球壳内、外半径分别为R和R2,带电量为Qo分别利用高斯定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出Er图。解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。(1)在rR的区域，电量为零。由高斯定理?sEdS0,因而各点场强为零因此(2)在R rR2区域，以r为半径作同心球面由高斯定理Q 4q V (4 R3 4 .3V3R2Ri33Q r3(3)在 r由高斯定理r3 4Ri3)3Ri3°r2 R3R3R2区域，以r为半径作同心球面,题6-20图E r曲线如图6-20所示

15、。6-21无限长共轴圆柱面，半径分别为Ri和R2( R2R),均匀带电，单位长度上的电量分别为i和2。求距轴为r处的场强(i)rRi； R rR2； (3)rR2。解：(1)在半径为Ri的圆柱面内作半径为r ( rRi ),高为l的同轴圆柱面，作为高斯面。通过此高斯面的通量各点E垂直于轴线，上下底面电通量为零因而E 0 (rRi )(2)在半径为Ri、R2的两圆柱面间作半径为R2 r Ri ),高为l的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理可见E 2 or(3)同理在rR2的区域E-_220r6-22 一半径为R的无限长带电圆柱,轴圆柱面。圆柱面包围的电荷具体电荷密度为0r (r R),0为常数。求

16、场强分布0题6-22图解：(i)在圆柱体内r处(rR),取一点P,过P以底面半径为r,高为l作闭合同通过圆柱侧面的电通量为2rlE,通过两底面的电通量为零，由高斯定理可得E的方向沿矢径r的方向(2)在圆柱体外r处(rR)取一点P,过P点以底面半径为r,高为l作闭合同轴圆柱面。圆柱面包围电荷量由高斯定理?EdSq03得ERE的方向沿矢径r的方向3 0r6-23如图所示，一电量为2107C的电荷从坐标原点。运动到点(4,4)。设电场强度为E1八叵(ij)104NC1。(1)试计算经下述路径时，电场力做的功(2)点(4,4)相对坐标原点。的电势差。解：(1)电荷在电场中运动时，电场力做功(a)路彳全

17、为(0,0)(4,0)(4,4)(b)路径为(0,0)(4,4)题6-23图(c)路彳空为(0,0)(0,4)(4,4)(2)点(4,4)相对于坐标原点的电势，即它们之间的电势差U,等于单位正电荷从点(4,4)移到O时，电场力所做的功。6-24如图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为Q,沿半径方向有一均匀带电细线，线电荷密度为，长度为l,细线近端离球心的距离为l。设球和细线上的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。题6-24图解：以带电球面圆心。为原点，通过带电直线作X坐标如图。带电球面在轴线X处场强为EQ2方向沿X轴正方向4 oX该点的电势为VEdlQ2dxQxx4oX4oX在带电细线上x

18、处取线元dx,带电量为dqdx,线元dx的电势能为QdWVxdqdx40x2IQdx细线在电场中的电势能WdWQ-Q In x402IQ cIn 2I 40在很远处（r re）的电势。电势解：在距电四极子很远处取一点P ,题6-25图距2q为r ,夹角为,由点电荷电场的由于rri题6-25图6-26 如图所示,点电荷q 10 9C ,与它在同一直线上的A、B、C三点分别距q 为 10cm、20cm、30cm若选B为电势零点，求A、C题6-26图6-25如图所示，试计算线性电四极子两点的电势VA、Vc0解：以点电荷q为原点，沿q,A,B,C的连线建题6-26图x坐标，在x坐标轴上，各点场强方向都

19、沿x轴正方向。对于A、B两点,电势差由Vb0Va 45V对于B、C两点,电势差为:由VB06-27 真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为求其圆心处电势。解：在细圆环上取长为dl的线元，带电量为dqdlVc15V在圆心处产生的电势整个带电圆环在圆心O的电势题6-27图6-28半径为2mm的球形水滴具有电势300V。求：(1)水滴上所带的电荷量(2)如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少(假定结合时电荷没有漏失)？解：(1)设水滴所带电荷均匀分布在水滴表面。水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等。对于水滴外任一点xR,电场强度水滴的电势 VREdXR 二R4 0XdxQ

20、4 0RV 66.7 10 12C66.7pC题6-28图(2)两水滴合成一较大水滴，电量 Q2Q ,半径R V2R 1.26R ,水滴外任点x(x1.26R)的电场强度大水滴的电势2QVEdx2dxR1.26R40x26-29两个同心的均匀带电球面，半径分别为R15.0cm,R220.0cm,已知内球面的电势为V160V,外球面的电势V230Vo(1)求内、外球面上所带电量;(2)在两个球面之间何处的电势为零？解：(1)设内球面带电量为Q,外球面带电量为Q2,由电势叠加原理V1-2-60V40R140R2V2QQ230V40R240R2由-得：-Q-R2R1Q19040R1R240R1R将Q1的数值代入式可得：(2)在两球面之间，电势表达式为令Vr0,得r-Q1R210.0cmQ26-30如图所示，已知长为l ,均匀带电,电量为Q的细棒，求z轴上一点P(0,a)的电势Vp及场强Ep的z轴分量Ez(要求用EV来求场强)解：在细棒某点x取线元dx,带电量d