第十一章 曲线积分与曲面积分

1、第十一章 曲线积分与曲面积分一、基本要求（1） 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。（2） 掌握计算两类曲线积分的方法。（3） 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。（4） 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。（5） 知道散度与旋度的概念，并会计算。（6） 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。二、 教学重点（1） 两类曲线积分的计算方法；（2） 格林公式及其应用；（3） 两类曲面积分的计算方法；（4） 高斯公式、斯托克斯公式

2、；（5） 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 三、 教学难点（1） 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；（2） 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；（3） 应用格林公式计算对坐标的曲线积分；（4） 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；（5） 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。四、释疑解难问题11.1 如何认识多元函数的几种积分的定义？答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分： ，其中是将积分区域任意分割为块后的任一块，为内的任一点，它是定积分的推广。若为平面域，则是二重积分。若为空间区域，则是三重积分。若为曲线弧，则是对弧长的曲线积分。若为曲面，则是对

3、面积的曲面积分。另外 还有对坐标的曲线积分其中为有向曲线弧的切向量的方向角。对坐标的曲面积分，其中为有向曲面的法向量的方向角。问题11.2 如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量重心转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分，在所学过的积分中：区域无向的积分有：重积分第一类曲线积分和第一类曲面积分；区域有向的积分有：定

4、积分第二类曲线积分和第二类曲面积分。曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定。我们常会把两类积分相互转换，转换时必须注意符号，它体现了有向积分的方向。将无向域的积分化为有向域的积分，如重积分化为累次积分（定积分），方向性体现为定积分的上下限的确定，而将有向域的积分化为无向域的积分，如第二型曲面积分化为二重积分或三重积分，第二型曲线积分化为二重积分等，必须注意符号的确定问题。问题11.3 应用格林公式时应注意什么问题？答：应用格林公式应注意以下几点：1必须注意格林公式的条件是否满足，否则，就会出现错误。 例如，设，其中为取正向，若按如

5、下解法： , , 由格林公式，得 而事实上 。 上述前一种解法是错误的，因为在不连续，而，故不满足格林公式的条件，不能直接应用格林公式。2格林公式对复连通区域，结论也成立，但必须是的所有边界曲线取正向。 曲线正向的规定：沿的边界曲线正向前进，区域总在其左侧。 例如，其中是：的正向边界曲线，如图，的正向为的逆时针和的顺时针方向。因为 ，故由格林公式，得 。问题11.4 设为椭圆，为圆周 均为逆时针方向，问下列积分的计算是否正确？。 答：不正确。因为当时，故在与围成的区域中，因此。正确的解法是利用的参数方程：从变到，。注：将曲线积分改变为另一路径上的积分，一定要检查条件是否在与所围成的区域内成立，

6、且与方向要一致。问题11.5计算积分，为球面：的外侧。 下面作法是否正确： 。 答：这个作法不正确，错在三重积分的计算，像这样的错误，一不注意就会发生。因为给出的是上的曲面积分，在上应满足方程，这是对的。但在用了高斯公式以后，曲面积分已转换成了三重积分，积分域为：，即在闭域上变动,而对于内部的点，已不满足了。正确的结果应是 。问题11.6 设为平面在柱面内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？ （1）。 （2）。 答：第一个积分的解法是对的，第二个的解法不对。因为第二个积分是对坐标的曲面积分，其中的微分元是在面上的投影，故正确的作法是：，是在上的投影：，故 如果是下侧，那末。曲面积分 之

7、所以称为对坐标的曲面积分，就是上式中 和分别是的面积元素在坐标面和上的投影。因此计算时应分别把投影于和面上，化为二重积分，这时，需要注意的侧，据此以定投影的正负，亦即二重积分的正负。问题11.7 设是半球面的外侧。有人说：“由对称性知，故同样也有。”这样说对不对？答：这样说不对。我们知道，对面积的曲面积分与曲面（积分域）的侧（方向）无关。故考虑对称性时比较容易。但对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，所以在考虑它的对称性时，还要考虑曲面的侧。也即要顾及被积函数与曲面，情形就比较复杂。因此，在计算对坐标的曲面积分时，不如先把它转化为二重积分，再化为定积分，在转化过程中可考虑利用二重积分或定积分的对称性

8、，这是基本方法。利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解题技巧，并非每个曲面积分都具有这种特殊性质。问题中的积分是对的。因为曲面对称于平面，而被积函数在关于平面的对称点上，它的值差一个符号（奇函数）。所以，但是不对的。因为曲面虽关于平面对称，但在对称点上，的方向不同，因而投影不等。故对称性不能用。计算可用两种方法：（1）设将分为平面上下两部分，分别记为与，它们的方程是与。的外侧相当于的上侧和的下侧，所以 （上侧取正） （下侧取负）。 （2）补一个圆面：，并取左侧，使围成一半球体。由高斯公式，由于，故有。五、典型例子例11.1设为椭圆，记其周长为，则. 【分析】利用曲线积分的概念及积分曲线

9、的对称性化简曲线积分后再进行计算。【详解】= 由于关于轴对称，而且在对称点（）与（）处被积函数2的值互为相反数，所以 此外， 将代入得 【评注】在计算关于弧长的曲线积分时，以下两点是值得注意的：()被积函数中的满足积分曲线方程，因此可以利用曲线方程化简被积函数的表达式：（）要尽量利用积分曲线的对称性，这是因为有以下结论：设是连续函数，如果的积分曲线具有某种对称性，P和P是任意一对对称点，则当 时，当（其中是按对称性划分的两部分之一）。例11.2设：, 为在第一象限的部分，则有（A） （B）。（C） （D） 【 】【分析】利用S的对称性排除三个不正确的选项即可。【详解】首先注意，此外，由于关于平

10、面对称，被积函数在对称点的值互为相反数，所以；由于S关于平面 对称，被积函数y在对称点处的值互为相反数，所以。由此排除选项（A）,(B),(D). 因此本题选（C）.【评注】（I）在重积分与曲面积计算中，应尽量利用积分区域的对称性，以简化计算。对称区域上的曲面积分有以下性质（以关与面积的曲面积分为例）：设曲面S具有某种对称性，按这种对称性将S划分成和两部分，和 是关于这种对称性的任意一组对称点， 是连续函数，则（a） 当时，；（b） 当时，。（）选项（C）正确的证明如下：由于S既关于平面=0对称，又关于平面对称，且在对称点处被积函数值相所以 另一方面关于平面对称，的对称点为，由于被积函数 在与

11、处的值为相反数，所以从而 由得 。（）计算的值 ：（其中 是在xoy平面的投影区域） 例11.3设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分值为 。【分析】将所给的曲线积分转化为定积分即可。【详解】由于的参数方程为且的起点参数为，终点参数为所以【评注】关于坐标的曲线积分的计算步骤为：（a） 将表示为参数方程，设为，且确定起点和终点参数分别为；（b） 将曲线积分转化为定积分，即（c） 计算上式右边的定积分。例11.5设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则【分析】利用高斯公式即可。【详解】由高斯公式【评注】（）在平面的投影区域是由两曲面与的交线在平面的投影所围成的区域，所以。（）由

12、于是球体的一部分，因此也可以用球面坐标计算：例11.6 计算其中为下半球面 的上侧，a为大于零的常数。【分析】利用积分曲面方程化简被积分，并适当添加一块曲面与组成封闭曲面，然后使用高斯公式。【详解】（ 表示与反向的曲面，即下半球面的下侧） （是平面上的圆的上侧）其中，（是由封闭曲面 围成的立体）=, (由于位于z=0平面上) =将代入得。【评注】本题的计算有两个关键之处：（I） 将积分曲面方程代入被积式中，使曲面积分得以化简；（II） 添加曲面使与组成封闭曲面的外侧，将曲面积分转化为三重积分。以上两点，也是计算关于坐标曲面积分时常用的方法。例11.7 设S为椭圆的上半部分，点P(x,y,z)为

13、S在点P处的切平面，为点到平面的距离，求.【分析】先计算的表达式，然后利用通常方法计算曲面积分。【详解】S的方程为，它在点P(x,y,z)的法向量为 所以切平面的方程为化简后得 所以点到的距离为于是=(其中是S在xoy平面的投影区域)=【评注】关于坐标曲面积分计算公式: 如果可表示为，则如果可表示为，则如果可表示为y= y(x,z)，则如果可表示为上述三种的任一种，则需将划分成若干块，使得每一块能表示成上述三种的某一种，然后逐块积分并相加。例11.8求，其中a,b为正常数，L为从点A（2a,0）沿曲线到点的弧。【分析】添上有向线段，使构成正向封闭曲线，然后利用格林公式。【详解】 = 其中，（D

14、是由闭曲线围成的平面区域） = 。 将 代入得 。【评注】对坐标的曲线积分，通常是将曲线方程改写成参数方程，代入所给的曲线积分，转化成定积分，当用这种方法不易计算时，可考虑利用格林公式，特别当积分曲线L不是封闭时，可适当添上一段曲线，使为封闭曲线并利用格林公式： 。 （应用格林公式）例11.9计算曲线积分，其中是以为中心，为半径的圆周，取逆时针方向。【分析】由于所给曲线积分的被积式比较复杂，为了去掉其中的分母，引入位于内的椭圆即可【详解】记为椭圆（其中是充分小的正数，使得位于的内部），取逆时针方向，并用表示取顺时针方向，则 由于 =（其中是以为边界的平面区域，如图的阴影部分） =，所以，I=（

15、其中的参数方程为，起点参数为终点参数为）【评注】（I）由于仅在点（0，0）处不成立，因此在去掉点一个小邻域后的多连通区域（如题解中的D）上可以使用格林公式，使得L上的曲线积分转化为（D的边界曲线）上的曲线积分。(II)题解中取为椭圆是为了使上的曲线积分计算简单，实际上取有向圆:也是可以的，具体计算如下： （其中的参数方程为，起点参数为，终点参数为） .显然计算稍复杂些。例11.10 设对于半空间内任意光滑有向封闭曲面，都有其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求.【分析】利用高斯公式导出关于f(x)的微分方程即可。【详解】由高斯公式得（其中是由S围成的立体，当S为外侧时，三重积分前取+号，否则取

16、-号，由于S是任意的封闭曲面，所以是半空间中的任意立体，因此，在半空间 即（一阶线性微分方程）它的通解为。利用因此所求的函数为【评注】题中假设“对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，都有”等价于假设“在半空间内有。”例11.11 设函数f(x)在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为,终点为，记（1）证明曲线积分I与路径L无关；（2）当ab=cd时，求I的值。【分析】：（1）利用曲线积分与路径无关的充分必要条件即可；（2）由（1）可知I的积分曲线可取为从点经点到点的折线段。【详解】：（1）由于在上半面有所以，曲线积分I与路径L无关。 （2）由（1）知（如图） （由于，的参数

17、为的参数为；的参数为的参数为） 【评注】的值也可以如下那样计算，由于 所以 （其中是的一个原函数）例11.12 已知平面区域，为的正向边界。试证：（1）（2）【分析】：由于L是封闭曲线，所以可以考虑应用格林公式。【详解】：（1） 比较，得（2）【评注】：在本题的证明中两次出现“x与y对换”，这里给出由此得到的积分等式的证明。（I）的证明：由于D关于直线y=x对称，所以的对称点记 ，则 ，所以，从而有 。(II)同样可证。例11.13 计算曲面积分其中为曲面的上侧【分析】先在曲面上添加曲面，并取为下侧，则是闭曲面的外侧，记由它围成的立体为，然后应用高斯公式计算I。【详解】= 其中=是的竖坐标为的

18、截面在平面上的投影区域） （其中是去掉方向后的曲面，或在平面上的投影区域）=0（由于关于轴的对称，在对称点处被积函数的值互为相反数）。 将代入得【评注】（I）高斯公式是计算关于坐标曲面积分的有力工具，当不是闭曲面时，可以适当添加一块有向曲面使构成闭曲面（外侧），于是对上式右边第二项应用高斯公式。本题就是根据这一想法计算的。（II）三重积分通常将它化为一个定积分和一个二重积分后计算，对此有两种方法可采用： (1) 如果则，（称为“先一后二”方法）；(2) 如果则，（称为“先二后一”方法）。题解中的三重积分就是采用“先二后一”方法计算的。例11.14 求，其中是球面与平面的交线。解法1 解法2 求

19、曲线的参数方程。由，消去，得即 令，则于是得到两组参数方程 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性，则解法3 作坐标旋转。就坐标是，新坐标是，旋转角为，则旋转变换的一般公式为 ， 因为平面的单位法矢为，则它与轴的夹角余弦为。下面分两步进行旋转，先将平面旋转，得新坐标系；再将平面旋转，得新坐标系。即 由旋转公式得 于是得 在这组变换下，曲线：，变为，故 注1 三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。解法2常规的方法，即 写出参数方程 套公式 计算定积分这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法。解法3先通过坐标旋转

20、，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。坐标系下的线积分 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。例11.15计算曲线积分，（1）是球面三角形，的边界线，从球的外侧看去，的方向为逆时针方向；（2）是球面和柱面的交线位于平面上方的部分，从轴上点看去，是顺时针方向。解 （1）显然，具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将分为三段：， （，） ：， （，）：， （，）则 或 注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。它们的区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为上的积分的3倍。第二种方法：积分曲线不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。问题1 是否可化为既是上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即（2）曲线关于平面对称，且方向相反同理 故 下面求曲线的参数方程。方法1 利用球面的参数方程，代入柱面方程得，于是得的参数方程， ， ， 从到方法2 利用柱面的参数方程，代入球面方程，得的参数方程， ，