-转动惯量及其计算方法

1、渤海大学本科毕业论文（设计）转动惯量及其求法The Computing Method of Moment of Inertia学 院（系）： 数理学院 专 业： 物理师范 学 号： 12022004 学 生 姓 名： 郝政超 入 学 年 度： 2012 指 导 教 师： 王春艳 完 成 日 期： 2016年 3月 21日 渤海大学Bohai University转动惯量及其求法摘 要随着科学与技术的飞速发展，刚体的转动惯量作为一个十分重要的参数，使他在很多领域里受到了重视，尤其是工业领域。近几年来，伴随着高科技的飞速发展，关于刚体转动惯量的研讨，尤其是对于那些质地不均匀和形状不规则刚体的转动惯

2、量的深入探究，已经全然对将来的军事、航空、以及精密仪器的制作等行业产生了极为深远的影响。本篇文章将在这些知识基础上，遵循着循序渐进的原则，对常见刚体的转动惯量以及不同常见规则的刚体的转动惯量的计算进行深入的研究。 本文主要分为四个部分。首先本文系统介绍了刚体以及刚体的动量矩，转动动能和转动惯量的基础知识。其次介绍了刚体的平行轴定理和垂直轴定理，并且给出了转动惯量常见的的计算方法。接着，本文介绍了几类常见的刚体的转动惯量，其中包括圆环、圆柱体、圆盘、杆、空心圆柱体以及六面体的转动惯量。最后，通过具体实例给出了不规则刚体的转动惯量的测量方法。【关键词】 力矩；角加速度；摩擦力- -转动惯

3、量及其求法The compute of moment of inertiaAbstract Delve into the irregular inhomogeneous along with the science and technology rapid development, the rigid body rotational inertia is a very important parameter, make him in many fields by the attention, especially industrial fields. In recent y

4、ears, along with the high-tech rapid development of rigid body rotation inertia of research, especially for those texture and shape of rigid body inertia has been completely to the future military, aviation, and precision instrument manufacturing industry produced extremely far-reaching impact. This

5、 article will be in the knowledge base, follow the gradual principle of common rigid body inertia and common rules of rigid body rotation The calculation of inertia is deeply studied.This paper is divided into four parts. First of all, this paper systematically introduced the rigid body and the angu

6、lar momentum of a rigid body, rotational kinetic energy and rotational inertia based knowledge. Followed by the introduction of the parallel axis theorem of rigid body and vertical axis theorem, and gives the rotation inertia common calculation method. Then, this paper introduces the several common

7、types of rigid body's moment of inertia, which include ring, cylinder, disc, rod, hollow cylinder and hexahedron of the moment of inertia. Finally, through specific examples are given irregular rigid body rotational inertia measurement method.Key Words：Moment；Angular Acceleration；Friction- II -目

8、 录摘 要IAbstractII引 言11刚体的转动惯量1 1.1转动惯量的定义与物理意义21.2刚体的动量矩21.3刚体的转动动能与转动惯量52 转动惯量的相关定理及计算方法8 2.1刚体的平行轴定理92.2刚体的垂直轴定理与伸展定则92.3转动惯量的计算方法103 常见刚体的转动惯量143.1圆环的转动惯量143.2圆柱体的转动惯量153.3圆盘的转动惯量163.4杆的转动惯量173.5空心圆柱及六面体的转动惯量174不规则刚体转动惯量的测量204.1实验方法测量204.2对刚体的转动惯量的误差分析21参 考 文 献23转动惯量及其求法引 言在定轴转动过程中刚体的转动惯量是的一个十分重要的

9、概念,在表征刚体的转动定理中刚体的转动惯量是一个不可或缺的概念。物体的大小以及形状保持不变的物体叫做刚体。刚体的转动惯量是表示刚体在转动时惯量的量度，是反应刚体的特性的物理量。刚体的转动惯量会受到刚体的形状、大小、质量、质量的分布以及转动轴的位置的影响。刚体的转动惯量对于许多设计工作、研究都具有极其重要的实际意义。关于刚体转动惯量的研究与讨论，绝大多数科学家主要集中在对刚体转动惯量的计算方法上。参看了许多关于转动惯量的文献，对于刚体转动惯量的计算主要有下列几种常见的方法，它们分别是：质量投影法1、积分法、垂直轴定理、平行轴定理、组合法2、标度变换法3、量纲分析法4等等。本篇文章在不同刚体的转动

10、轴位置相同、质量相同的情况下，从形状方面入手。首先对那些常见的、质地均匀刚体的转动惯量进行计算与分析，随后利用它们在形状方面之间的潜在联系，找出一些具有代表性的固定模型，来代表所有常见的、质地均匀的刚体。然后通过对这些固定模型的转动惯量的变换，就可以十分容易的得到关于质地均匀的刚体的转动惯量。这样会让我们在计算常见质地均匀的刚体转动惯量的过程中，只需要牢牢记住上述常见刚体的固定模型的转动惯量的表达式，然后就可以在刚体转动惯量的计算过程中十分容易地推导出与其他相关的刚体的转动惯量，可以大量减少在计算过程中的工作量，从而使刚体转动惯量的计算更加简单和方便。1 刚体的转动惯量1.1 转动惯量的定义与

11、物理意义 刚体是一种特殊的质点系，由一系列质点系组成，任何情况下形状与大小都不改变的物体。即任意两个质点之间的距离保持恒定的质点系，是一种理想模型。刚体的转动惯量就是刚体围绕一个确定的转动轴转动的惯性度量，其数值可以表示为：其中表示刚体中某一个质点的质量，则代表该质点到转动轴的垂直距离。由刚体的定义式可知转动惯量与以下三个元素有关：（1） 质量（2） 质量的分布（3） 转轴位置 对于刚体转动惯量的物理意义,我们可以从平动动能和转动动能的数学表达式的对比中看出,转动惯量就相当于质量,与此类似的对应关系还有很多，例如:动量和动量矩的对应；动量矩守恒定律=恒量与动量守恒定律=恒量的对应,我们可以从数

12、学表达式中的位置与对应关系的比较中看出,与具有相同的物理意义,由此我们可以得出刚体的转动惯量是表示刚体在转动过程中惯性大小的量度。虽然两者的物理意义有很多相似之处,但是也存在很多不一样的地方。1.2刚体的动量矩在质点组动力学与质点动力学的学习过程中，我们经常要用到动量矩定理，所以我们将使用大量的篇幅，来研究刚体的转动问题。现在我们先来研究一下，在转动的问题中，动量矩的表达式是什么样的？xyzOiriPiqir图1刚体的定点转动 如图1所示，假设在某一时刻，刚体以恒定角速度绕定点转动。在刚体里面任取一个质点称之为，这个质点的质量为，速度为（图1中没有画出）。如果对定点的位矢是，那么此质点对定点的

13、动量矩则为而对于整个刚体来说，对于定点的动量矩是刚体中所有的质点对于同一点动量矩的矢量和，即： （1.1）因为有 所以 即 （1.2） 由（1.2）我们可以得出，动量矩与角速度一般不在同一条直线上；然而在平动过程中，线速度与动量总是在同一直线上的；所以在绕定点转动的过程中，动量矩才和角速度共线的唯一条件是它们均在惯量主轴上。 现在我们先来求出在通常情况下，动量矩的分量表达式。我们把角速度矢量与动量矩矢量都分为沿坐标轴，方向上的分量，那么由于：故得出在方向的分量为： （1.3）同理可得： （1.4） （1.5）以及 （1.6）其中，和分别叫做刚体对轴、轴和轴的轴转动惯量，而、和因为式中包含两个坐

14、标的相乘项，所以称它们为惯量积。 把（1.5）式与（1.6）式中带入到（1.3）式和（1.4）两式可以得出： （1.7）1.3刚体的转动动能与转动惯量 再来求刚体对定点的转动动能，由图1可知：把式（1.7）中的，和的表达式代入到上式中，即可得到： （1.8）刚体的转动动能也可以写成： （1.9）上式中代表角速度矢量与的位矢之间的夹角，表示从到转动瞬轴的垂直距离（见图1），而则表示刚体绕瞬时转动轴的转动惯量。 我们也可以这样认为：刚体在转动过程中与集中在某一点上的一个质点的质量相等效，用来表示这个质点与转动轴线之间的距离，这个等效质点对这一转动轴线的转动惯量即为刚体对于这条条轴线的转动惯量，可以

15、表示为： （1.10）或者 （1.11）上式中的表示刚体对该条轴线的回转半径。回转半径是一个等效量，在计算过程中常常用来简化问题，所以质量就可以约去了。 刚体的转动惯量还取决于转动轴的位置。对于同一刚体来说，绕不同的转动轴转动，它们的转动惯量大小也不相同。但是，如果两条转动轴是相互平行的，并且其中一条转动轴线通过刚体的质心，那么另外一条转动轴线的转动惯量，就等于通过其质心转动轴的转动惯量再加上两平行轴之间的垂直距离的平方与物体质量的乘积，即为 （1.12）上式中表示平行于通过质心轴线的转动惯量，表示与通过质心相平行的转动轴线的转动惯量，代表两条平行转动轴之间的垂直距离。这个表达式就叫做平行轴定

16、理。2转动惯量的相关定理及计算方法2.1 刚体的平行轴定理在刚体转动时，刚体上的各个质点作曲线运动，因此从刚体的惯性与惯性运动的含义以及动力学来看，可以定义刚体的动量和动量矩均守恒的运动，称为刚体的惯性运动，即： （2.1）为了更准确地定义刚体的惯性运动，还需要满足作用在刚体上的合作用力与合作用力矩均为零，即 （2.2）由（2.1）（2.2）得出的这一刚体的惯性运动，也是质点惯性运动的推广。根据(2.1)(2.2)式其中的一个就可以判断出一个刚体是否作惯性运动。如图2所示，我们设轴为通过刚体质心的轴线，对于这个轴线来说刚体的转动惯量为。假如有另外一条轴线与通过质心的轴线相互平行，利用平行轴定理

17、可以得出相对于轴线的刚体的转动惯量为：       （2.3）式中表示刚体的质量，表示两平行轴之间的距离，这就是平行轴定理，这一定理有助于计算转动惯量的大小，对于研究刚体的滚动有极大的帮助。证明：在图（2）中，轴和轴与纸面垂直，带撇坐标系代表质心坐标系刚体对轴的转动惯量可表示为：（2.4）图2刚体绕定轴转动表示刚体的总质量。根据质心坐标式，则有 ，与分别表示质心坐标中的坐标，因为这一坐标的原点正在质心，因此，则上式中两项消掉，就表示对于轴刚体的转动惯量，且，可得： 由平行轴定理可知，刚体不同转动轴的转动惯量，越靠近质心越小，且质心所在位置的转动惯量最小。

18、2.2 刚体的垂直轴定理与伸展定则 在物理学中，垂直轴定理5（亦称之为“正交轴定理”）可以计算薄片的转动惯量。 设刚体为厚度无穷小的薄片，建立直角坐标系，轴与薄片垂直，坐标面在薄片平面内，则刚体对轴的转动惯量为： （2.5）等号右方的两部分顺次表示刚体对轴和轴的转动惯量，即为： （2.6）因此，厚度无穷小的薄片对与其垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄片对薄片平面内另外两直角坐标轴的转动惯量之和，这就是垂直轴定理。在物理学中，伸展定则表述如下：如果把一个物体上的任意一个点，沿某一直轴平行任意大小的位移，那么刚体对这一转轴的转动惯量保持不变。 我们可以想像，把一个物体平行于直轴向两端拉伸。在物体向外伸

19、展的同时，保证物体上任意一个点离直轴的垂直距离保持不变，那么伸展定则表明这个物体对这一转轴的转动惯量保持不变。垂直轴定理、平行轴定理和伸展定则，这些定理都可以用来计算出很多不同形状的刚体的转动惯量。2.3转动惯量的计算方法根据公式，我们可以看出，刚体的转动惯量的求法很简单。并且，如果刚体上的各个质点是连续分布的，那么它的转动惯量就可以使用积分的形式来进行计算，即：       （2.7） 一般的求解转动惯量的步骤如下：（1）在刚体上截取一个质量元：；（2）计算与转动轴的距离；（3）求出其积分。对于那些形状不规则的刚体来说，它们的转动惯量的求法，

20、我们可以尽量避免大量不易测量的物理量，转而去测量那些相对来说容易测量的物理量。有以下几种方法来供参考：（1）动力法：用一个大小和方向均固定的力来给刚体提供力矩，通过来计算。 （2）三线摆法：根据能量守恒和刚体的转动定律来计算。（3）复摆法：在重力的作用下，绕水平转轴且在竖直面内小角度摆动时适用。 （4）扭摆法：气垫摆。已知转动惯量的代数可加性，那么通过转动惯量的代数可加性来计算。例如物体由1和2两个部分组成，用来表示1加2对于轴的转动惯量，用来表示1部分对于轴的转动惯量，用来表示2部分对于轴的转动惯量。就可以得出物体的转动惯量： （2.8） 如果和都很容易计算，那么就可以利用上式（2.8）计算

21、出，而不必对2区域再作积分，从而避免复杂的计算过程。惯量张量是运用理论力学的知识，已经知道物体在通常情况下惯量张量可表示为： （2.9）并且将它称做对O点的惯量张量。这个惯量矩阵里的每一个元素就称作惯量系数，也可以称作惯量张量。（2.9）式中各分量如下： （2.10） （2.11） 对于形状规则并且质量分布均匀的刚体来说，我们可将上面两个式改写为积分的形式： （2.12） （2.13）所以，与就可以称为刚体分别对于转动轴、轴的转动惯量，而，则因为包含有两个坐标的乘积项，所以称之为惯量积。3 常见刚体的转动惯量3.1圆环的转动惯量 将圆环（图3）分成若干等份质量为的质量元，根据转动惯量的定义式可

22、得 Rmz(b)（a）mRz （3.1）图3圆环 在（3.1）式中我们已经求出了圆环绕中心轴的转动惯量，根据垂直轴定理:，对于圆环有，所以圆环绕直径轴的转动惯量（图3b）为 ： 把圆盘分为许多半径为，宽度为的薄圆环（图4a），用来表示面密度，用表示薄圆环的质量为：，薄圆环对轴的转动惯量表示为:对上式积分可得: （3.2）Rz（b）(a)mrdxx图4圆盘在上式中已经求出圆盘绕中心轴的转动惯量，根据垂直轴定理可亦推导出圆盘绕直径轴的转动惯量（图4b）: （3.3）3.2圆柱体的转动惯量我们已经计算出圆盘绕中心轴的转动惯量为：，因为对中心轴的转动惯量跟刚体的厚度L无关，并且厚度归于质量6，所以以圆

23、柱体的中心轴线为刚体的转动轴的转动惯量（图5a）可表示为： （3.4）zRxLllm （b） （a）LzRm图5圆柱体如图5b，将圆柱体分成厚度为的若干等份的薄圆盘，将圆柱体的密度设为，那么薄圆盘的质量可表示为：。我们知道薄圆盘绕直径轴的转动惯量为，根据平行轴定理我们可以得出：即：上式积分可得 （3.5） 3.3圆盘的转动惯量如图6a，同理将环形圆盘分为半径为r，宽度为的若干等份的圆环，并用来表示环形圆盘的密度，那么 由定义式： 上式积分可得 zm （b） （3.6） （a）zmdxr图6环形圆盘 在上式中我们已经求出环形圆盘绕中心轴的转动惯量为：，根据垂直轴定理我么可以求出环形圆盘绕直径轴转

24、动惯量（图6b）为： （3.7）3.4杆的转动惯量如图7，在细棒上取长度元为，表示距离转轴z的距离为x，那么质量元（表示线密度），由定义可得7： （3.8）Lzx图7 杆3.5空心圆柱及六面体的转动惯量我们已经知道决定刚体转动惯量的三个要素，分别是刚体的形状、质量、和转动轴位置。所以我们让刚体的转轴的位置与质量相同的情况下，从形状入手。那么以上计算的这些常见的质地均匀的刚体的质量，我们均将它们设为m，转动轴则可以分为两大类：一类是中心轴线，另一类是中心直径轴线。mLz (a)通过仔细的分析和对比，我们可以发现这些刚体可通过空心圆柱体绕下面两类转动轴（如图8a、b），变换而得到。zmL (b)

25、图8空心圆柱体 空心圆柱体围绕中心轴线转动（见图8（a）时的转动惯量可表示为 8 （3.9）经过参量的变换，由上式可以推导出下面几种常见的质地均匀的刚体围绕中心轴线的转动惯量的表达式：(1) 若时，可知圆环（见图3a）的转动惯量可表示为：(2) 若L=0，时，可得圆盘（见图4a）的转动惯量可表示为：(3) 若时，可得实心圆柱体（见图3b）的转动惯量为： (4) 若L=0时，可得环形圆盘（见图6a）的转动惯量为：(5)如果空心圆柱体的转动轴为中心直径时（见图8b），它的转动惯量可表示为： （3.10）通过参量的变换，我们可以从上式中推导出以下几种常见的质地均匀的刚体围绕中心直径轴时的转动惯量：当

26、，时，我们可以求出圆环（图3b）的转动惯量为：当L=0，时，我们可以求出圆盘（图4b）的转动惯量可表示为：当时，我们可以求出实心圆柱体（图5b）的转动惯量可表示为：当时，我们可以求出环形圆盘（图6b）的转动惯量可以表示为： 当时，我们可以求出棒（图7）的转动惯量为： 接下来我们从质地均匀的六面体（图9）的转动惯量来入手9，推导出其它几种常见的刚体的转动惯量。运用垂直轴定理与质量投影法我们可以得出质地均匀的六面体的转动惯量为： （3.11）mz图9六面体将质地均匀的六面体的进行变换，我们可以得出以下几种常见刚体，当它们绕转动轴转动时的转动惯量为：mLz图10正方体当时，我们可以得出正方体（图10

27、）绕转动轴z转动时的转动惯量为： mz a 当时，我们能够得到一个长度为，宽度为的长方形（图11a）绕转动轴z转动时的转动惯量为：mzb 图11长方形 当=0时，我们可以得到一个长度为，宽度为的长方形（图11b）绕转动轴轴转动时的转动惯量为：4不规则刚体转动惯量的测量4.1 实验方法测量 对于那些不规则的刚体来说，我们只能通过实验来测量它们的转动惯量。基本方法与实验装置如图13：图13不规则刚体转动惯量测量仪器图13即为测量刚体转动惯量的实验装置，承物台上放置着质量为 的刚体，再用砝码和细线连接起来。（测量出砝码所下降的距离 ，时间，记录下来）滑轮的质量与滑动摩擦力年均可以忽略不计。实验装置的

28、原理：此装置中有两种类型的运动，一种是转动，另一种是匀变速机械运动，我们可以运用这两种运动的规律，来计算形状不规则的刚体的转动惯量的大小。如果用来代表形状不规则的刚体的转动惯量、而圆盘的转动惯量为： 所以刚体总的转动惯量就可以表示为： （4.1）转动部分的运动规律则可以表示为： （4.2）其中代表圆盘的角加速度，的大小与砝码所乘受的重力大小相等，它与圆盘切向加速度的关系可表示为： （4.3）测量出砝码所下降的距离为 ，时间为 以后，那么砝码的运动方程就可表示为: （4.4）因高度是确定，且时间可以用秒表来记录。从而就可以计算线加速度的大小。从式（4.2）（4.3）（4.4）可以计算出，它的值可

29、表示为： （4.5）代入数据即可以得出，并且有： （4.6） 将（4.5）（4.6） 代入式（4.1）中，那么形状不规则刚体的转动惯量就可表示为： （4.7）4.2对刚体的转动惯量的误差分析利用上述实验装置，对形状不规则的、质地不均匀的刚体的转动惯量进行测量，作为一个物理实验，误差是实验过程中不可避免的。下面我们就一起来探讨一下误差产生的原因，以及如何减小误差。根据刚体转动惯量的定义式我们可以看出，刚体的转动惯量等于刚体上各个质点质量与各个质点到转动轴之间的距离平方的乘积之和。并且如果刚体的质点是连续分布的，那么它的转动惯量就可以用积分的形式来进行计算，即：。下面我们针对本实验装置进行具体的误

30、差分析。（1）时间测量的误差: 在实验过程中需要使用秒表来测量砝码下落的时间，由于实验员需要大约0.1秒的反应时间，并且在开始计时与停止计时时需要一定的操作时间，将这一过程的时间误差认定为大约0.2秒，秒表自身的仪器误差相对来说比较小，我们可以忽略不计。（2） 下落高度的误差： 我们难以准确测量砝码下落的高度，人为判断的误差远远大于米尺的仪器误差，这个误差可以达到1 以上，下落高度通常约为1 左右，由此产生的相对误差可以达到大约0.1%,如果想要减小误差。塔轮不同的半径可以使用游标卡尺以便精确测量，砝码的质量则需要用天平来测量，这两个量的相对误差很小，主要是由于仪器的误差以及随机误差产生的。（3） 不能保证远大于产生的误差： 当所加的砝码质量较大时，这时候的加速度会随着所加砝码的质量增大而增大，但是通常不能完全满足条件远远大于 ，因而导致产生系统误差。（4） 细线的质量不能忽略所产生的误差： 实验室使用的细线直径约为=0.88，一米长的细线的质量大约是0.4 ，不能完全看作是质量无限小的细线。所以，在计算过程中细线的质量不能够忽略不计。砝码盘下落的高度不同，起作用的细线质量也不同，下落的高度越大，细线质量所产生的拉力矩也会随之增大。结论本篇文章从刚体的转动惯量、转动惯量中经常使用的定理以及各种转动惯量的计算