求圆锥曲线的离心率的常用方法

1、求圆锥曲线的离心率的常用方法c一、根据条件先求出 a， c，利用 e= 求解a例 1 若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)， F2(3， 0)，则其离心率为 ()解析：由 F1 2的坐标知2c=3 1， c=1，又椭圆过原点， a c=1，a+c=3， a=2，、Fc=1,c 1所以离心率 e=a=2.故选 C.例 2如果双曲线的实半轴长为2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为 ()363A.2B. 2C. 2D2c 3解析：由题设 a=2， 2c=6，则 c=3，e=a=2,因此选 C二、构建关于a， c 的齐次等式求解x2y2例 3设双曲线 a2 b2 1(0<a<b)的半焦距

2、为 c，直线 L 过(a,0)，(0,b)两点 .已知原点到直线的距离为34 c，则双曲线的离心率为 ()3,3)解析： 由已知，直线L 的方程为 bx+ay -ab=0.ab3由点到直线的距离公式，得a2 +b24 c，又 c2=a2+b2, 4ab= 3c2 ,两边平方，得 16a2 (c2 a2)=3c4.两边同除以 a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得4.又 0<a<bc2a2+b2b2e2 4 或 e2 ， e22a2=1+ 2>2， e2 4， e 2.故选 A.3aa例 4双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1 ，F2， F1MF2 120，则双

3、曲线的离心率为（）663（A） 3（B） 2（C） 3（D） 3解析： 如图 2 所示，不妨设M(0 ， b)，F12(-c,0), F (c,0),则|MF 1|=|MF2|= c2+b2.又 |F 1F2| 2c，在 F11 22 2|F12 22中， 由余弦定理，得12|MF | +|MF |F |MFcos F MF2|MF 1| ·|MF 2 |,(c2+b2)+(c2 +b2) 4c21b 2 c2图 21即) cos120，22，2 c2+b2 · c2 +b22b c2 a213， e6 b2 c2 a2 ，222， 3a22c2， e22.故选 B.2c

4、a2例 5双曲线x2y222 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为()ab解析： 由条件易知，双曲线为等轴双曲线，a=b， c= 2a， e c 2.故选 C.a三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e 的取值范围例 6 设 (0， 4 )，则二次曲线x2cot y2tan=1 的离心率的取值范围为()112)A.(0， )B.( ，2222C.(2 ， 2)D.( 2， + )解析： 由 x2cot y2tan =1， (0，4)，得 a2 tan， b2= cot , c2 a2+b 2 tan+ cot,2 1+ cot2 , (0， e2 c2 tan + cot4)， c

5、ot 2>1, e2>2， e>2.故选 D.atan四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围例 7 如图，已知梯形 ABCD中， AB 2CD，点 E分有向线段 AC所成的比为，双曲线过 C、 D、 E三点，且以 A、 B为焦点当23时，求双曲线离心率 e的取值范围34解析：以 AB 的垂直平分线为y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立如图 3 所示的直角坐标系 xOy，则 CD y 轴 .因为双曲线经过点 C、 D，且以 A、 B 为焦点，由双曲线的对称性知C、 D关于 y 轴对称依题意，记c1A(c，0)，C( ，h),E(x0 ，y0)，其中 c= AB为双22曲线的半焦距， h 是梯形的高c由定比分点坐标公式得x0-c+· 2(-2)c， y0 h 图 31+2(1+ )1+22设双曲线的方程为 x2 y2 1，则离心率 e=c.aba由点 C、 E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得c2h2， 12b24ac2 2h2将点 E 的坐标代入双曲线方程得2(1+)2 (1+)2 214abce2h2h2e2e2 21 h2再将 e=a、得4 b 21， b24 1，4 ( 1+ )