数学运算之数的分解与拆分专题

1、数学运算之数的分解与拆分专题数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大，不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。1分解因式型：就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。【例1】三个质数的倒数之和为a/231 ，则a=（ ）A.68 B.83 C.95 D.131【解析】将231分解质因数得231=3711，则 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ，故a=131。【例2】 四个连续的自然数的积为302

2、4，它们的和为（ ）A26 B.52 C.30 D.28【解析】分解质因数：3024=22223337=6789，所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。【例3】20n是2001*2000*1999*1998*3*2*1的因数，自然数n最大可能是多少？A 499 B500 C 498 D501【解析】20n=5*2*2的N次方，显然2001*2000*1999*1998*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以2001*2000*1999*1998*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值，由此计算所求应为【20015】+【200125】+【2001125】

3、+【2001625】=400+80+16+3=499。注：【】取整数部分。2已知某几个数的和，求积的最大值型：基本原理：a2+b22ab，（a，b都大于0，当且仅当a=b时取得等号）推 论：a+b=K（常数），且a，b都大于0，那么ab（a+b）/2）2，当且仅当a=b时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。【例1】3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为（ ）A.42 B.84 C.100 D.120【解析】以下内容需要回复才能看到 开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为554=100。也就是说，当不能满足拆

4、分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会.【例2】将17拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大值为（ ）A.256 B.486 C.556 D.376【解析】以下内容需要回复才能看到 开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时，其乘积最大，最大值为 2=486。3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。【例1】有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（ ）A

5、.4851 B.1000 C.256 D.10000【解析】以下内容需要回复才能看到 开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!插板法：100可以想象为100个1相加的形式，现在我们要把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。而从99个空任意选出两个空的选法有：C992=9998/2=4851（种）；故选A。(注：此题没有考虑0已经划入自然数范畴，如果选项中出现把0考虑进去的选项，建议选择考虑0的那个选项。)【例2】 学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？A.1152 B.3

6、84 C.28 D.12【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。1152=11152=2576=3384=4288=6192=8144=9128=1296=1672=1864=2448=3236，故有12种不同的拼法。解法二：（用排列组合知识求解）由1152=2732，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。具体地： 1）当2个3在一起的时候，有8种分配方法（从后面有0个2一直到7个2）； 2）当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。故共有8+4=12种。解法三：若1152=2732，那么1152的

7、所有乘积为1152因数的个数为（7+1）（2+1）=24个，每两个一组，故共有242=12组。【例1】将分拆成若干连续自然数的和，有多少种分拆办法？【解析】整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。 那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间

8、数”则为小数，并且是某个数的一半。 一、 把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。 例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？ 分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：200025=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80122=56，最大的为：80+122=104，故所求的这25个数为：56、58、80、102、104。 例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？ 分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：10510=1

9、0.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。 二、 把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。 例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？ 分析与解：我们先把84分解质因数，84=2237由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有

10、的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（222）个连续自然数的和。 分拆为3个连续自然数的和：（2237）3=28 ，确定了“中间数”28，再依据例2的方法确定其它数，所以这三个数是27、28、29。 同理，分拆为7个连续自然数的和：（2237）7=12 ，它们是9、10、11、12、13、14、15。 分拆为8（222）个连续自然数的和：（2237）8=10.5 ，它们是7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14。其它情况均不符合要求。 再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢？就84而言，它有三种分拆方法，下面我们看84的约数有：1、2、3