全等三角形的相关模型总结

1、全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1 .角平分性质模型：辅助线：过点G作GEL射线AC(1) .例题应用：如图1,在4ABe中，2c = 900, AD平分/CAB,BC=6cm，BD=4cm,那么点d到直线AB的距离是 cm.如图2,已知，/1=/2, /3=/4.求证：AP平分/BAC.图1图22(提示：作DELAB交AB于点E)1/1=/2,二 PM=PN, =/3=/4,，PN=PQ, PM =PQ,. PA平分/BAC.模型巩固:练习一：如图3,在四边形ABCDfr, BC>AB AD=CD BD平分工BAC .求证：NA+NC=180。图3练习二：已知如图4,四边形ABC

2、D,图4练习三：如图 5, RtABC中，/ACB=90°, CD_LAB,垂足为D，AF平分/CAB,交 CD 于点E,交CB于点F.求证：CE=CF.(2)将图5中的4ADE沿AB向右平移到AAD E的位置，使点E落在BC边上，其他一 一 、 - 、 一 、, 、 ' ，一 一一 一、 一 . . . 一 一一 一 一条件不变，如图6所不，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.练习四：如图 7, /A=90rAD/BC, P是AB的中点，PD平分/ADC求证：CP平分/ DCB练习五：如图8, AB>AC, /A的平分线与BC的垂直平分线相交于 D,自

3、D作DE±AB, DF,AC,垂足分别为 E, F.求证：BE=CF练习六:如图9所示，在 ABC中，BC边的垂直平分线口尸交 BAC的外角平分线AD于点D, F为垂足，DEL AB于E,并且AB>AC求证:BE- AC=AE练习七:如图10, D E、F分别是 ABC的三边上的点,CE=BF且 DCE勺面积与 DBF的面积相等，求证： AD平分/ BAC2 .角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长 ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF/射线OB(1) .例题应用: .如图1所示，在 ABC中，/ ABC=g C, AD是/ BAC的平分线，BE! AD于F。求证：BE

4、=1（ACAB）证明：延长BE交AC于点F。 .已知：如图 2,在AABC中， /BAC的角平分线AD交BC于D,且AB=AD, 分析：此题很多同学可能想到延长线段 CM但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于 AB=AD由此我们可以猜想过 C点作平行线来构造等腰三角形证明：过点C作CE/ AB交AM的延长线于点 E.例题变形：如图，N1=/2, B为AC的中点，CM ' FB于M,AN ' FB于N.1FB = (FM FN).求证：EF =2BM;2 .模型巩固:练习一、 如图3, A ABC是等腰直角三角形，/BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D,

5、 CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE图3练习一变形：如图4,在ODW, ND=900, EC是/DCO的角平分线，且OE,CE , 过点E作EF _LOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.练习二、如图 5,已知 ABC中，CE平分/ACB 且 AE! CE / AEA / CAE= 180度，求证：DE/ BCBC求证：点E是DC中点练习四、如图7 (a),BD、CE分另I是2C图6A 作AD _L BD、BC1 一 一DE = (AB BC AC)2AE ICE,垂足分别是 D、E,连接DE.求证:DE / BC,图 7 (a)图 7 (b)图 7 (

6、c)、如图7 (b), BD、CE分眼 &C 帧能线其蟋件咬、如图7 (C), BD为AABC的相幽|CE为2C 硼"其他条件不变.则在图7 (b)、图6 (c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与AABC三边又有怎 样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知 识证明线平行)练习五、如图8,在直角三角形ABC中，/C=90 口，/A的平分线交BC于D.自C作 CG_LAB交 AD 于 E ,交 AB 于 G .自 D 作 DF _L AB 于 F ,求证： CF _L DE .图8练习六、如图9所示，在iABC中，ACaAB, M为BC的中点，

7、AD是/BAC的平分 线，若 CF -Lad且交 AD的延长线于 F ,求证 MF =；(AC - AB ).图9练习六变形一：如图10所示，AD是丛BC中/BAC的外角平分线，CD_LAD于D, E 是BC的中点，求证 DE II AB 且DE =1(AB+AC).图10练习六变形二： 如图11所示，在MBC中，AD平分/BAC, AD=AB, CM _L AD于M , 求证 AB +AC =2AM .图11练习七、如图 12,在 MBC中，/B=2/C, /BAC的平分线 AD交BC与D .则有 AB+BD=AC.那么如图 13,已知在 AABC中，/ABC = 32C ,/1 =22 ,

8、 BE .L AE .求 证：AC AB =2BE .图12图13练习八、在 ABC中，AB =3AC , /BAC的平分线交 BC于D ,过B作BE _L AD , E为 垂足，求证： AD=DE.练习九、AD是AABC的角平分线，BE_LAD交AD的延长线于 E, EF / AC交AB于F . 求证：AF=FB.3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线 OA上取点B,使OB=OA从而使AOAC ©OBC.（1）.例题应用：、在 ABC中，/ BAC=60 , / C=4（J , AP平分/ BAC交 BC于 P, BO分/ ABC交 AC 于 Q 求证：AB+

9、BP=BQ+AQ思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+A皈势较为复杂，我们可以通过转化的 思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得4ADOizAQO得到OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O僦可以了。如图（5）,过P作PD/ BQ交AC于D,则4AB国/XADPA而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是

10、倍长中线，实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意 一点，试比较PB +PC与AB+AC的大小，并说明理由.【解析】PB+PC >AB+AC ,理由如下.【解析】 在AB上截取 AE = AC ,连结 EP ,根据 SAS证彳导 MEP"ACP , P PE = PC ,AE =AC又 ABEP 中，BE >PB-PE, BE=AB-AC, /.AB -AOPB-PC（2）、模型巩固：练习一、.如图，在 ABC中，ACL BC于D, C4 AB+ BD, / B的平

11、分线交 AC于点 E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知 ABC中，AB= AC, /A4 10尸彳区上的平分线交 AC于D,求证：AA BD- BC练习三、如图，已知 ABC中，BO AC, / C= 90° , / A的平分线交 BC于D,求证：AO CA AB练习四、已知：在 ABC中，/B的平分线和外少/CacM分线相交于D,DFBC,交 AC 于 E,交 AB 于 F,求证：EF=BFCE练习五、在 ABC 中，AB = 2AC, ADf# /BAC , E,电充/ B结 CE ,求证：BD =2CE二变式：已知：在 ABC 中，/B = 2/C,BD

12、平分/ABC , AD _L BQ于D, M-、-r1求证：BD = AC2练习六、已知：如图，在四边形 ABC前，AD/ BC,BC=DC,CFf分/BCD,DF/ AB,BF的延长线交DC于点E.求证：(1) BF=DF;(2) AD=DE.练习七、已知如图，在四边形ABCB, AB+BC=CD+D乂 ABC的外角平分线与/ CDA 的外角平分线交于点 P.求证：/ APB之CPD练习八、如图，在平行四边形 ABCD(两组对边分别平行的四边形)中，E, F分别是AD AB边上的点，且 BE DF交于G点，BE=DF求证：GC是/ BGD勺平分线。练习九、如图，在4ABC中，/AC昉直角，C

13、MLAB于M, AT平分/ BAC交CMT D,交BC于T,过D作DE/ AB交BC于E,求证：CT=BE.练习十、如图所示，已知MBC中，AD平分/BAC, E、F件别丐/B、AD上.DE=CD, EF =AC .求证：EF / ABAXk【补充】如图，在 MBC中，AD交BC于点D,点E6BCjtFC|F 'A交CA的延 长线于点F ,交AB于点G ,若BG =CF ,求证：AD为BAC的埼聿分线4.中考巡礼:(1).如图1, OP是/AOB的平分线，请你利用图形画一对以 OP为所在直线为对称轴的 全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。、如图2,在 ABC中，/A

14、CB直角，/ B=600, AD CE是/ BAC /BCA勺角平分线,相交于点F,请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。、如图3,在4ABC中，/ACB是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，(1)中的 结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。.如图，在平面直角坐标系中，B (-1 , 0), C (1, 0) D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且/ BAC=2/ BDO过点D作DWAC于M、求证：/ ABDW ACD、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分/ CAE、当点A运动时，(AC-AB /AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明 理由。二、等

15、腰直角三角形模型BBA ADDADMfe等腰直角二角 图3B1.在斜边上任取一点的旋转全等：(1) .相4AB泗寸针旋转90形.(但是写辅助线时不能这样写)(2) .过点C作MC 1BC ,连AM导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等: 操作过程：连AD.(1) .使 BF=AE(AF=CE,导出 ABD/AADE.(2) .使/EDF它 BAC=80°,导出 ABD/ ADE.(1)、例题应用：在等腰直角4SC巾，44090%点M-N在斜边BC上滑动，且 是探究£1八MV, CA之间的数量关系.ATC_LBC解析：方法过点C作方法二：过点上作N方

16、/万C,使AT'S=CA；连力N：2,两个全等的含30/0涌的三角板.5康口三角板46C,如图所示放置，E. A. C三点在一条直线上，连接君D,取53的申点M,连接ME,_ MC是判断型形状，并证明你的结论.证明：方法一：连接 AM证明 MDEAMAC特别注意证明/MDE = MAC.方法二：过点M作MM EC交ES点N,得出MN%直角梯形的中位线，从而导 出MEE等腰直角三角形.(2)、练习巩固： 已知：如图所示，RtAABC中，AB=AC /BAC=90；。为BC中点，若MN分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.、是判断 OMN勺形状，并证明你的结论.、当M N

17、分别在线段AC AB上移动时，四边形 AMONJ面积如何变化？ 思路：两种方法: 在正方形 ABC师，BE=3 , EF=5 , DF=4 ,求/ BAE=： DC两多少度.提示如右图:3 .构造等腰直角三角形(1)、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角(略)(2)、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角如下图：图3-1图3-2操作过程：在图3-2中，先将4ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将 此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M D与E重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，A(1，° B(2，-1)C0，3),求/OCA+/ OC

18、B勺度数.4 .将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：图4-1图4-2例题应用：思路：构造正方形 ACBM可以构造出等边 APM从而造出,又根据，可得，再由于，故而得到从而得 证.例题拓展：若 ABC不是等腰直角三角形，即尸 ，而是其他条件不变，求证：/ 2=2/1.练习巩固：在平面直角坐标系中，A (0 , 3),点B的纵坐标为2,点C的纵坐标为0,当 A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B C的坐标.(1)、当点B为直角顶点:图1图2(2)、当点A为直角顶点：图3图4(3)、当点C为直角顶点：图5图6三、三垂直模型(弦图模型).由4AB草BCD1出由4AB/ BCD1由4AB昭 BCD

19、t出ED=AE-CD出 EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD1 .例题应用：例1.已知：如图所示，在 ABC+, AB=AC /BAC=90； D为AC中点，AF，B阡 E,交BC于F,连接DF.求证：/ADB4 CDF.思路：方法一：过点C作MCL AC交AF的延长线于点 M.先证ABHzXCAM再证 zCDF ©zXCMFW可.方法二：过点 A作AML BC分别交BD BC于H M先证4AB由zCAF 再证 CDF 仁 ZXADH 即可.方法三：过点 A作AML BC分别交BD BC于H M先证RtzXAMF ©RtzXBMH得出 HF/ AC.由M D分别为

20、线段AC BC的中点，可得MMzABC的中位线 从而推出MD/ AB,又由于jBAC=90：故而MDL AC MDL HF所以MM 线段HF的中垂线.所以/ 1=/2.再由/ADBV 1=/ CD+/2 ,则 /ADB/CDF.例1拓展（1）：已知：如图所示，在 ABC中，AB=AC AM=CN AF±BM于E,交BC于F,连接NF.求证： ZADB=ZCDF. BM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样 .拓展（2）:其他条件不变，只是将 BM和FN分别延长交于点P,求证：PM=PN PB=PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样.例2.如图2-1 ,已知AD/ BQ A

21、ABEH CDF是等腰直角三角形，/ EA庄/ CDF=90二,AD=2 BC=5求四边形AEDF的面积.图2-1解析：如图2-2,过点E、B分别作ENL DA BML DA交DA延长线于点N、M. 过点F、C分别作FPL AD CQL AD交AD及AD延长线于点 P、QAB刖4CDF是等腰直角三角形，. ZEAB=ZCDF=90', AE=AB DF=CD.ENJ± DA BML DA FP± AR CQL AD , . / NM=/ENA= FPD= DQC901 ./ENAWMBA , /FDP玄 QCD./.AENAAABM AFPtADQC.NE=AM P

22、F=DQ .NE+PF=DQ+AM=MQ-AD. AD/ BC CQ/ BM /BMN90：.四边形 BMQC1夕|形. . BC=MQv AD=2 BC=5 . . NE+PF=5-2=31&g边形 EAFD =2 2 3 = 3.图2-22.练习巩固：(1)、如图(1) -1,直角梯形ABCg, AD/ BC, ZADC：90 : 是AD的垂直平分线,交ADF点M,以腰AB为边做正方形ABFE EPL l于点P.求证：2EP+AD=2CD.(1) -1(1) -2(2)、如图，在直角梯形 ABCLfr, ZABC=90', AD/ BC AB=AC E是 AB的中点, CE

23、L BD.求证：BE=AD;求证：AC是线段ED的垂直平分线；ABCD等腰三角形吗？请说明理由.四、手拉手模型1. AABEH4ACF均为等边三角形结论：（1） . AABFAAEC./boe=baE00 (“八字模型证明”)(3) .OA平分/EOF拓展：条件：/XABCffi zCDE匀为等边三角形结论：(1)、AD=BE (2)、/ACBWAOB (3)、 PCM等边三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、COF分/AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD (7), (8)需构造等边三角形证明)2. zXABDft ACE匀为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD (2) BEX CD3. ABE林口 ACH国为正方形结论：(1)、BDL CF (2