-版两角和与差正弦、余弦和正切公式

1、第五节 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式考纲传真1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2会用两角差 的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3会用两角差的余弦公式推导出两角 和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在 联系4能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、 半角公式，但不要求记忆）.抓基础自主学习| -初自切评2 1 cos a= 2(1 + cos 2o).(3)公式的逆用：2 1 isin 2a= (sin aicos a ;4.辅助角公式as in a+ bcos a= a2 + b2sin(a+(D 其中 tan = .

2、学情自测1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X” ）（1）存在实数a,3 使等式 sin(a+ 3= sin a+ sin 3成立.()在锐角厶ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.（）八亠tan a+ tan 3(3)公式 tan( a+ 3 =彳丄 丄c可以变形为tan a+ tan A tan(计3(1 tan1 tan aan 3atan 3,且对任意角a, 3都成立.（）（4）公式asin x+ bcos x= a2 + b2sin（x+中的取值与a,b的值无关.（）答案(1)2(2)X (3)X X(教材改编)sin 20 co

3、s 10 cos 160sin 10 =()2 B. 22.C.D1sin 20cos 10 cos 160sin 10 = sin 20cos 10+ cos 20sin 10 =1sin(20 +10 = sin 30 =?,故选 D.13. (2016全国卷川)若 tan = 3,则 cos 2 9=()B.-11C.54d4cos 0 sin 0 1 tan BD Hos 2 0=2亍=亍.cos 0+ sin 0 1 + tan 01 1119 4又，.tan 0= 3 ,cos 2 0= 5.1 + 9的最小值为4 . (2017 云南二次统一检测)函数 f(x) = 3sin x

4、 + cos x2 函数f(x)= 2sin+f的最小值是2.5.若锐角 a, B满足(1 + Q3tan a(1 +3tan 3 = 4,贝U a+ n 由(1 + , 3tan c)(1 + . 3tan 3 = 4,tan a+ tan 3 ll可得=3, 即卩 tan(a+ 3 = 3.1 tan atan 3又a+氏(0, nn二 a+ 3= 3.明考向题型突破|沪冋丄II二角函数式的化简(1)化简:2sin 2 a 2cos a(2)化简:4212cosx 2cos x+ 2i n2ta n4 x.2 nin 4+x(1)2 2cos a22sin aos a 2cos a原式=2

5、= 2! 2cos a2 sin a cos a112cos 2x.规律方法1三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1) 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最 常见的是“切化弦”(3) 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.2. 三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幕或升幕.变式训练1化简sin2asin2 ；a+ 孑sin2 a=1 cos 2a+ 32 sin ar n1 cos 2 a 3 I1 1 lcos(2a n+ C0S2a+sin2 a= 1 cos

6、 2 a cos 扌-sin2 a= 1 COS 2 a 法一：原式=2+ cos 2a 1 2 2二 2.111法二：令a= 0，则原式=1+ 4= 2|L? iML =：1三角函数式的求值?角度1给角求值卜例2-12cos 10 sin 20(1) sin 70A.1bFC. .3(2)sin 50 (1 3tan 10) =D. 22coq30 20 sin 20(1)C (2)1(1)原式=sin 702(cos 30 os 20 牛 sin 30 Sin 20)sin 20sin 703cos 20 =cos 20 = 3.(2)sin 50 (1 V3tan 10)=sin 50s

7、in 10 cos 10 =sin 50cos 10 + V3si n 10 乂 cos 10=sin 502 1cos 10 毘in 10乂 2cos 10_ 2sin 50 s 50 =sin 100 =cos 10 = = cos 10 _ cos 10 _ cos 10 _ 1.?角度2给值求值卜例(1)(2016 全国卷 u )若 cos na l：35,贝U sin 2 a=()A.25Bi1C51_25n=（2016安徽十校联考）已知a为锐角，且7sin a 2cos 2a,则sin,a+ 3/1 + 35 A. 81 + 5)3B.rC.1- 3 ,58D.1-5；38D (2

8、)Aj n(1) TCOS4 sin 2、(n)2 a = COS 2 4 a2 n=2cos2 4-9仁 2X 251725.由 7sin a 2cos 2a得 7sin a 2(1 2sin a,即 4sin a+ 7sin a 2= 0, in(n 1 1J3sin a+ 3 = 4X尹三込1J5a= 2(舍去)或 Sin a= 4. % 为锐角,COs a=1 + 3 ；58 ，故选A.角度3给值求角已知sin a=*5，s in (a00，a B均为锐角，则角B等于(冗nD6nnC Ta, B 均为锐角，一 2 a B 2.又 sin( a- B)=.1010， COs(a B =3

9、1010又sina=f， COs a=2；55sin B= sin a (a B)=sin acos( a B cos o(sin( a B=叵远5X匚血L迄-5105 厂 10 丿2 .n-，B= 4规律方法1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.2. “给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函 数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.3. “给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角三角变换的简单应用卜例已知函数 f(

10、x)= sinx sin2 x g，x R.【导学号：31222124】(1)求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间一3，4上的最大值和最小值.解(1)由已知，有1 cos 2xf(x) 21 cos 2x 3=2 2cos 2x23sin 2x cos 2x.nsin 2x4COS 2x=劳“ 2x g .2冗所以f(x)的最小正周期T 冗5分因为f(x)在区间n n上是减函数, n n|在区间卜6, 4上是增函数,n 13 4,n 16 2,所以f(x)在区间扌，才上的最大值为 普，最小值为2.12分规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公

11、式的逆用和变形使用.2.把形如 y= asin x+ bcos x化为 y=- ： a2+ b2sin(x+ 其中 tan 片,可进步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.变式训练 2(1)(2016 山东高考)函数 f(x) = (一 3sin x+ cos x)( 3cos x sin x)的最小正周期是()7t3nC.gD. 2n(2014全国卷U )函数f(x)= sin(x+ 2sin杞os x的最大值为(1)B (2)1法一：-f(x) = C.3sin x+ cos x)(V3cos x sin x)惶sin x+ 2cosx 胯cos x坯 x)n4sin x+6 cosx+

12、診 2sin2n-T= 2 = n.法二：行(刈二(3sin x+ cos x)/3cos x sin x)=3sin xcos x+ 3 cos x/3s in2x sin xcos x=sin 2x+ . 3cos 2x=2sin 2x+T= 2 = n故选 B.(2) f(x)= si n(x+ 2sin cos x=sin xcos + cos xsin 2si n cos x=sin xcos cos xsin = si n(x .f(x)max= 1.名师微博思想与方法三角恒等变换的三种变换角度(1) 变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系常用的拆角、拼角方法是:B.1若已a+B

13、cc p a_B (,位 fa2 a= ( a+ + ( a , a ( a+ p, A_2 22 好 2 &+(2) 变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幕与降幕 的代换等.(3) 变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.易错与防范1. 三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增 解的有效措施.求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数， 知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是 (0，n)选余弦较好；若角2. 计算形如y= sin（3x+）, xCa, b形式的函数最值时，不要将 3x+的范围和x的范围混淆.课时分层训练（二一）

14、两角和与差的正弦、余弦和正切公式A组基础达标（建议用时：30分钟）、选择题1 .已知 sin 2a= 3，则 cos21 a+ n等于(【导学号：31222125】1c.2A.6D.fA 因为 cos a+(n二1 + cos2 a+ 21- sin 2a 1_2= 2 = zOCO2.cos 25 一等于（)A.2B. 2c，2D. 1C厂2c厂0sin 5 + 2 sin 25原式=cos 250o1 cos 25 2.sin 30。- 25 +-sin 25 0 2cos 25cos 25x x9x3. （2017杭州二次质检）函数f（x）= 3sin 2cos 2+ 4co2（x R）

15、的最大值等于5A.29-2B D1 + cos x 3=si n x+ 2cos x+ 292,故选B.n4. （2016福建师大附中月考）若sin a = 4 贝U COS 扌+ 2 a =()C.4d.7A cos冗2 n- 2n- 2a=- 1-2si-1-2X|.5.定义运算=ad - bc.若 cos a1=7,sin a sin B3血cos a cos B14,0V BV aB 由题意知 f(x) = |sin x+ 4X ?nV2,则B等于（【导学号：31222126】冗nD37.（2016吉林东北师大附中等校联考）已知0v 9 ntan 0+ 4 = 7，那么sin/ n t

16、an +113由 tan 0+ 4 = 1匚=7,解得 tan 0=4,“ sin 03即 cos 0= 4,cos 0=|sin 0,sin2 0+ cos 0= sin2 (+ sin2 0= sin2 0= 1.0 n sin 0= 3，cos = 5,sin 0+ cos = 5.8 .化简 一 2+ 2cos 8+ 2 1 sin 8= 0D 依题意有 sin acos p cos osin = sin(a 3 = 313, 又 0 B a扌,n a_32,故 cos( a 3 = cos(90+ 101 + sin 101 sin2 1 + sin 10 2 1 + sin 10

17、2 a 3 = 1|,H14/3而 cos a= 7，.sin a= 7 ,于是 sin = sin a (a=sin acos( a 3 cos ocsin( a 3=込进1x疤並故汀714 7142 .故 3 3.二、填空题sin2506.1 + sin 10sin2501 cos 1001 + sin 10 2 1 + sin 10 【导学号：31222127】=j 2X 2cos24 + 2寸(si n 4- cos 4)=一 2cos 4+ 2(cos 4 sin 4)= 2sin 4.三、解答题,.n 口 . aa 69.已知 a ，冗，且 sin + cos 2 = 2*求COS

18、 a的值;(2)若 sin (a 3 =aa / 61 n解(1)因为sin 2 + cos2= 2，两边同时平方，得sin a= 2.又2 * n所 以 COS a= 23.5 分nn(2)因为 2 av nnnnn所以一 n 一 3 一 2，故一 2 a 3 2*7 分.3 /口又 sin( a- 3 = 一 5,彳得 cos( a一cos 3= cos a (a 3)= cos aos( a 3+ sin osin(a 33 41寸 4+ 2X34 3+ 3一 5 =一 10*12 刀10.已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的定义域；4设a是第四象限的角，且tan a= 3，求f(

19、M的值.解(1)要使f(x)有意义，则需cos XM 0,1 2(2)f(x)=#sin 2x#cos 2xcos x2cos x4gcos a1 + cos 2x sin 2x 2cosx2sin xcos x（建议用时:15分钟）cos 2a1.若 一sin a2，贝U cos 计 sina的值为（【导学号：31222128】dFA .-于C-2I-(sinoc- cos a小cos 2acsin a2 - cos a Sin a厂.亚 .oc+ cosn2，贝U sin 3a+ sin 3：. 2(sin a+ cos c) 2 , sin 2.已知 sin a+ sin #V3(cos p-cos c), a,英.0,0 由已知得：sin a+ 3cos a= Q3cos p sin B,即cos(6=cos 时6，n nn故 a E+g，即 a= p+ 3.sin 3a+ sin 3 f si n(3B+ n + si n 3 p 0.3.已知函数 f(x) 2sin xs in x+ g .(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;当x 0,扌时，求函数f(x)的值域.解(1)f(x) 2sin x毘in x+|cos1 cos 2x 12+ 2sin 2x sin 2x所以函数f(x)的最小正周期为