三角恒等变换知识总结

1、三角恒等变换知识点总结 2014/10/24 一、基本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：; ;对其变形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有时应用该公式比较方便。2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：. .要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。3.辅助角公式：;.4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公

2、式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5.常用知识点：（1）基本恒等式：（注意变形使用，尤其1的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：，；（3）向量的数量积：，；二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、的值等于（ ）2、若，则等于（ ）3、若则的值是_4、_.考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、coscos的值等于（ ） (提示:构造分子分母)6、（ ）7、 已知，且，那么等于（ ）考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知则的值等于（ ）9、已知则值等于（）10、函数是（ ）（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数（C）周期为的

3、奇函数（D）周期为的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：.其中（可以通过来判断最大最小值）如：1.若方程有实数解，则c的取值范围是_. 2.的最大值与最小值之和为_.7若则_.（二）三角函数式的化简与求值例1 1.； 2.;3. 求值;4.ABC不是直角三角形，求证：（三）三角函数给值求值问题1. 已知cos()sin，则sin()的值是_;2. 已知3.，求的值（四） 三角函数给值求角问题1.若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.2.已知，且是方程的两个根，求3.已知均为锐角，且，则的值（） 4.已知,并且均为锐角，求的值.（五）综合问题（求周期

4、，最值，对称轴，增减区间等）1.(2010·北京)已知函数.(1)求的值；(2)求的最大值和最小值2.已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值；（3）求函数在的单调区间。三、解题方法分析1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设则有（ ）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=，cos=，tantan=tan(+)(1- tantan)

5、等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2 已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析

6、角的特点， 2=（）+（+）例2解答： 例3化简：2sin50°+sin10°（1+tan10°）·【解析】：原式=【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未

7、知数的方程求解。 例4：已知sin（+）=，sin（）=，求的值。【解析】 =17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若求的取值范围。【解析】：令，则【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨

8、】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6：已知：向量 ，函数（1）若且，求的值； 或（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角【解析】：（2），当时，由得，【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.四、课堂练习1sin165º= （ ） A B C D 2sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A B C D3已知，则（ ） A B C D4化简2sin（x）·sin（+x），其结果是（）sin2xcos2xcos2xsin2x 5sincos的值是 （ ）A0 B C D 2 sin6A B C D7若，则角的终边一定落在直线（ ）上。A B C D89 10的值是