北京市十五中2020届高三模拟测试(一)数学试题及答案

1、2020年高考模拟高考数学模拟试卷（一）一、选择题1 .若集合 A= x|x2+2x<0A. x| - 2<x< - 1 B.2 .已知 a, be R,且 a>b,B=x| x| >1,则 An B=()x| 1 < x<0C.x|0 v xv 1D. x|1 <x<2B.sin a> sin bD.2>b23.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0没有公共点，则实数a的取值范围为（）A. （- 8, 0B. 0, +oo）C. （0, 2）D. （- 8, 2）4 .设？是单位向量，%是非零向量，则“；，意

2、是“：？（：而）=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5 .设a, 3是两个不同的平面，mi, n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若mla ,ml n,则n"aB.若 a± 3 ,mla ,n，3,则ml nC.若n / a ,mH n,则mL aD.若 a/m 3 ,m?a ,n? 3 ,则m/n6 .在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示.如果小正方形网格的边长为1,那么该四面体最长棱的棱长为（）A .飞 1B. , _：C. 6D.'.'：7 .数列an是等差数列，bn是各项均为正数

3、的等比数列，公比q>1,且a5=b5,则（）A. a3+a7>b4+b6B, a3+a7Ab4+b6C. a3+a7V b4+b6D. a3+a7= b4+b68 . A、B两种品牌各三种车型 2017年7月的销量环比(与 2017年6月比较)增长率如表:A品牌车型AA2A3环比增长率7.29%10.47%14.70%B品牌车型BBR环比增长率-8.49% - 28.06% 13.25%根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论：Ai车型销量比B车型销量多；A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%;B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；A品牌三种车型总销量环比增长

4、率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率.其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 47T 兀I9 .设函数 f (x) = sin (co x+ 4 ) , A>0, w > 0,若 f (x)在区间下一，上单调，且2兀2TT兀f () = f (3一)=-f (),则f (x)的最小正周期为 ()上$0兀A. -B. 2兀C. 4兀D.兀10 .已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名.具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2.表1田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多

5、0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多 0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣表2某队模拟成绩明细姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.31.2411.8乙12.61.311.4丙12.91.2611.7丁13.11.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁、填空题（共5小题）11 .已知复数z满足（1- i） z = 2i （i是虚数单位），则复数 z的共轲复数工12 .已知点F为抛物线y2=8x的焦点，则点F坐标为；若双曲线g-亡=i（a>0）a 2

6、的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是 .13 .已知以上）7展开式中x5的系数为21,则实数a的值为 K14 .已知函数f （x） =sinx若对任意的实数CI £（一：，：），都存在唯一的实数3 C（0, m ,使f （a） +f （3） = 0,则实数m的最大值是 .X>115 .已知函数w其中a>0,且aw 1.K勺kSl 1（i）当a=2时，若f （x） vf （2）,则实数x的取值范围是 ;（ii ）若存在实数 m使得方程f （x）-m= 0有两个实根，则实数a的取值范围是三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.若

7、 ABC勺面积为一2b=l,。=dA,且/A为锐角.(I )求cosA的值;(D)求5 in2AsinC的值.17 .如图，在三锥V- ABC,平面VACL平面ABC AB/口 VAC匀是等腰直角三角形,AB= BC AO CV= 2, M N分别为 VA VB的中点.(I )求证：AB/平面CMN(n)求证：ABLVG(m)求直线 V*平面CMN/f成角的正弦值.B18 .某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：汽车型号IIIIIIIVV回访客户(人数)250100200700350满意率0.50.30.60.30.2满意率是指：

8、某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.(I )从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(n)从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为E,求E的分布列和期望；(出)用"刀 1=1","刀 2= 1 ","刀 3=1","刀 4= 1 ","刀 5=1”分别表示 I , II ,III ,IV,V 型号汽车让客户满意，1=0”， 2=0”， 3=0”， 入 4

9、=0”，“刀5=0”分别表示I , II , III , IV, V型号汽车让客户不满意.写出方差 D1 1, 6 2, Dr 3, Dr 4, Dr 5的大小关系.19 .已知函数 f (x) = lnx ax2+2ax.(I)若a= - 1,求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n)若f (x) wx恒成立，求实数a的取值范围.22120 .已知椭圆c- 彳+2lOb>0)的离心率为与，右焦点为F (c, 0),左顶点为A右顶点B在直线l : x= 2上.(I)求椭圆C的方程；(n)设点P是椭圆C上异于A, B的点，直线AP交直线l于点n当点P运动时，判断 以BD

10、为直径的圆与直线 PF的位置关系，并加以证明.21 .设有限数列 耻 力,，定义集合 * ai+a|1/vj wn为数列A的伴随集合.(I)已知有限数列 P: -1, 0, 1, 2和数列Q 1, 3, 9, 27.分别写出P和Q的伴随 集合；(n)已知有限等比数列 A： 2, 22,，2n (nCN*),求A的伴随集合 M中各元素之和 S;(出)已知有限等差数列 A： d, 32,，22019,判断。.犯.一是否能同时属于 A的O-L U U伴随集合M并说明理由.参考答案、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项）1 .若集合 A= x|x

11、2+2x<0, B=x| x|>1,则 An B=（）D. x|1 <x<2A. x|2vxv1 B. x| 一1vxv0C. x|0vxv 1解:A= x| 2V x< 0,B= x| x< - 1,或 x> 1;b由指数函数的性质知，函数又a>b,故AH B= x| -2<x<- 1.故选：A.2 .已知 a, be R,且 a>b,则（）B. sin a> sin bD. a2>b2片3）支为R上的减函数,故选：C.3.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0没有公共点，则实数a的取值范围为（）

12、A.（- 8,0B.0,+8）C.（0,2）D. （- 8,2）解：依题意可知，直线与圆相离.圆 x2+y2+2x 2y+a = 0 即为（x+1） 2+ （y1） 2= 2 - a.由-J_1 2 > 寸 > 0,解得 0v a< 2. v2，实数a的取值范围为（0, 2）.故选：C.4 .设？是单位向量，用是非零向量，则“；，芯”是“之？ 6岳|） = 1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：W是单位向量，E是非零向量，则W?（W+E）= 1? 1+1大=1? W 口 = 0?工正，故言是"W?（+b）= 1

13、”的充分必要条件，故选：C.5 .设a, 3是两个不同的平面，m n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若 mLa ,mL n,则n"aB.若 a± 3,mLa , n，3,则ml nC.若 n / a ,mL n,则mL aD.若 a/m 3,n? a , n? 3 ,则m/ n解：对于 A垂直于同一直线的直线和平面可能平行，也有可能是n? a ,所以A错误；对于B,若“ 1 3 , m£a , n，3,则n,故B正确.对于C,若n/ a, mL n,贝U m±a或m/ n,故C错误；对于D,若a /1 3 , m? a , n? 3 ,则m

14、/ n或异面，故 D错误.故选：B.6 .在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示.如果小正方形网格的边长为1,那么该四面体最长棱的棱长为（A.二B.C. 6D.：.：解：由三视图可得，该几何体为三棱锥，直观图为侧棱垂直于底面，侧棱长为4,底面为底边长，为4,高为4的等腰三角形，多面体的最长的棱长为 716+4+16 = 6.故选：C.7 .数列an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，公比q>1,且a5=b5,则（）A. a3+a7>b4+b6B. a3+a7Ab4+b6C. a3+a7V b4+b6D. a3+a7= b4+b6解：数列an是等差数列，bn是各项均为正数的等

15、比数列，公比q> 1,由 a3+a7= 2a5= 2b5,b4+b6> 2'七 4 b &= 2b5,a3+a7< b4+a,由于 q> 1 可得 a+a7Vb4+b6,故选：C.8 . A、B两种品牌各三种车型 2017年7月的销量环比（与 2017年6月比较）增长率如表：A品牌车型AAA3环比增长率7.29%10.47%14.70%B品牌车型BBB3环比增长率8.49%28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论:Ai车型销量比B车型销量多；A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%;B品牌三款车型总销量环比增长率

16、可能为正；A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率.其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4解：根据表中数据，对关于 7月份销量的四个结论：对于，A车型销量增长率比 B车型销量增长率高，但销量不一定多，错误;对于，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%,所以总销量环比增长率不可能大于14.70%,错误；对于，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%,所以它的总销量环比增长率也可能为正，正确；对于，由题意知 A品牌三种车型总销量环比增长率，也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，正确;综上所述，其中正确的结论序号是.故选：B.9.设函数 f (x

17、) = sin (cox+(j) , A>0,兀 27T兀f (下)=f (飞一)=-f (丁)，则兀A. -j-B. 2 兀7T 兀0,若f(X)在区间二一，丁上单调，且 o 2.f (x)的最小正周期为()C. 4兀D.兀兀解：.函数 f (x) = sin(3 x+4) , A>0, 3>0,若 f (x)在区间:一兀 55上单调, 0V coW 3.，为f (x) =sin (cox+4)的一条对称轴,0)为f (x) = sin ( 3 x+ 4 )的一个对称中心,7V¥,解得3= 2 c (0, 3 ,T=故选：D10 已知某校运动会男生组田径综合赛以选

18、手三项运动的综合积分高低决定排名 具体积分规则如表 1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2表 1 田径综合赛项目及积分规则项目 积分规则100 米跑以 13 秒得 60 分为标准， 每少 0.1 秒加 5 分， 每多 0.1 秒扣 5分跳高以 1.2 米得 60 分为标准，每多 0.02 米加 2分，每少 0.02 米扣2分掷实心球以 11.5 米得 60分为标准， 每多 0.1 米加 5分， 每少 0.1 米扣5分表 2 某队模拟成绩明细姓名100 米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.31.2411.8乙12.61.311.4丙12.91.2611.7丁13.11.2211.6根据模

19、拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁解：由题意知，四名运动员的各项得分成绩如下；姓名100 米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）合计甲456475184乙807055205丙656670201丁556265182由表中数据知，乙的综合得分最高，应选乙参加比赛故选：B、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11 .已知复数z满足(1 - i ) z=2i (i是虚数单位)，则复数z的共轲复数上解：由(1 i ) z=2i ,得 zz=-i- i-故答案为：-1 - i .2212 .已知点F为抛物线y2=8x的焦点，则点F坐标为 (2, 0)；若双曲线%-斗丁=1 (

20、a>0)的一个焦点与点 F重合，则该双曲线的渐近线方程是y=±x .解：点F为抛物线y2=8x的焦点，2P=8,即p=4,由焦点坐标(Q)即有f°),22双曲线(a>0)的一个焦点与点 F (2, 0)重合，可得a2+2=4,可得a=。叵，即有双曲线的方程为 x2-y2=2,可得渐近线方程为 y=±x.故答案为：(2, 0) , y=±x.13.已知 小上)7展开式中x5的系数为21,则实数a的值为 -3 . x解：(冗-包)展开式中的通项公式Tr+1=C：J(- a) rC：x7 -2r,令 7-2r = 5,解得 r=1.- a?C； =

21、 21,解得 a= - 3.故答案为：-3.14.已知函数f (x) =sinx若对任意的实数Cl E (一；-),都存在唯一的实数3 C氾兀(0, m ,使f (a) +f (3) = 0,则实数m的最大值是解：由 f (x) = sin a e(一-，丁)，则 f ( a ) C (金2 ,-),存在唯一的实数 3(0,成，使 f ( a ) +f ( 3 ) = 0即f (3) = k, kC (母，苧)有且仅有一个解，1 V2当两图象只有一个交点时，由图知,7T4故实数m的最大值是作函数图象y=f (3)与直线 x = k, kC (i)当a=2时，若f (x) vf (2),则实数x

22、的取值范围是(-巴 2)；(ii )若存在实数 m使得方程f (x) - m= 0有两个实根，则实数 a的取值范围是 (0, 1) U ( 1, 2).解：(1)当 a=2 时，f (x)=,'秀，二,/ 1, x<l则 f (2) = 22=4,当x>1时，解不等式2x<4,解得：1vx<2,当x< 1时，解不等式x+1v4,解得：x< 1,综合得：实数x的取值范围是：(-巴2),(2)当0vav1时，由图一知，存在直线y=m与y=f (x)有两个交点，即0av 1满足题意，当a>1时，由图二知，当a<n<lT时，存在直线y=m与

23、y=f (x)有两个交点，即a<l点即1 v av 2综合得:实数a的取值范围是为：0vav1或1vav2,故答案为：(-巴 2) , ( 0, 1) U ( 1, 2)三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.若 ABC勺面积为 喙，c=V6,且/ A为锐角.(I )求cosA的值;(D)求言in2AsinC的值.解：（I）因为 ABC勺面积为与，b=l，.巫,所以X 1 sinA="-V3所以氯nA分.因为 ABC4 / A为锐角,所以821一小笳 ( II ) 在 ABC 中， 由 余 弦 定 理a2=b2+c2-2b<cDsA=

24、 12 + (76) 2一2丈 1父右 乂坐F，所以a=V3由正弦定理a gsi nA sinC所以式 nA _ asinC cB所以5in2A 2si nA*cosA 2a厂，-*cosA=sinC sinl* c17.如图，在三B隹 V ABCK 平面VACL平面ABC ABCF口 VAC均是等腰直角三角形,AB= BC AC= CV= 2, M N分别为 7A VB的中点.(I )求证：AB/平面CMN(n)求证：ABLVG(m)求直线 V*平面CMNf成角的正弦值.解：(I)证明：. M N分别为VA VB的中点, MIN/ AB,. AB?平面 CMN MN?平面 CMN，AB/平面

25、 CMN(n)证明： ABC VAC匀是等腰直角三角形,AB= BC AC= CV= 2, M N分别为 VA VB的中点. ABL BC VCL AC 平面VACL平面 ABC平面VA6平面 ABC= ACVCL平面ABC. AB?平面 ABC AB! VC（出）解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面间直角坐标系,ABC勺垂线为z轴，建立空0, 1) , A (0,心，0),M(,1),BV=（次，。，2），而=（-附V2Z-， Z-1），CN=（一V (也，0, 2) , B (0, 0, 0) , C (百，0设平面CMN勺法向量门=（x, y+z=0取 x=2，得由=22,

26、0, ,y-2),sin 0 =|M| - Ini 一蕊随机抽取了一些客户设直线VB与平面CM断成角为。，则直线VB与平面CM断成角的正弦值为:画si18.某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况,进行回访，调查结果如，表:汽车型号IIIIIIIVV回访客户（人数）250100200700350满意率0.50.30.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.（I）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（n）从I型号和V型号汽车的所

27、有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为E,求E的分布列和期望;（出）用"刀 1=1","刀 2= 1 ","刀 3= 1","刀 4= 1","刀 5=1”分别表不 I , II , III , IV, V 型号汽车让客户满意，1=0”， 2=0”， 3=0”， 入 4=0”，“刀5=0”分别表示I , II , III , IV, V型号汽车让客户不满意.写出方差Dh 1, D 2,Dr 3, Dr 4, Dr 5的大小关系.【解答】（本小题满分13分）解：（I）由题意知，样本中的回访客户的总数是2

28、50+100+200+700+350= 1600,满意的客户人数 250 X 0.5+100 X 0.3+200 X 0.6+700 X 0.3+350 X 0.2 = 555,故所求概率为5551600 =320(n) E = 0, 1, 2.设事件A为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且 A B为独立事件.根据题意，P (A)估1t为0.5 , P (B)估1t为0.2 .则 p(E =o)=p(!K)=(l-pO), Cb)而 5x 隹 s=o.,P仁三1)*(AB 讪)*稹卫)+P (屈)咛(1 -MB) + (1叩(A)

29、P =0.5 X0.8+0.5 X 0.2 =0.5 ,P ( E =2) = P (AB) = P (A) P (B) = 0.5 X 0.2 = 0.1 .的分布列为E012P0.40.50.1工的期望 EG) = 0X 0.4+1 X 0.5+2 X 0.1 = 0.7 .(出)用"Y 1=1" , " Y 2= 1 ","刀 3=1","刀 4= 1","刀 5 = 1”分别表示 I , II ,III , IV, V型号汽车让客户满意，"刀 1 = 0","刀 2=

30、0","刀 3=0","刀 4= 0","刀 5= 0”分别表不 I , II , III ,IV, V型号汽车让客户不满意. 方差 D 1, D 2, Dr1 3,4, D 5 的大小关系为：D 1 >3>2=Dy1 4>Dy!5.19.已知函数 f (x) = lnx - ax2+2ax.(I)若a=- 1,求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n)若f (x) wx恒成立，求实数a的取值范围.解：(I )函数f (x)的定义域为(0, +00).2当 a= 一 1 时，f (x) = lnx

31、 +x 2x.-l fy1耳)二"2工-2, zf ' (0) = 1,且 f (1) = T .所以曲线y= f (x)在点(1, f (1)处的切线方程为 y- ( - 1) =x- 1,即x-y- 2=0.(II )若f (x) wx恒成立，即f (x) - xw。恒成立.设 g (x) = f (x) - x= lnx - ax2+ (2a- 1) x.只要 g (x) max< 0 即可；g，(刈=_.当 a=0 时，令 g' ( x) = 0,得 x=1.x, g' (x) , g (x)变化情况如下表：x(0, 1)1(1, +00)g&#

32、39; (x)+0-g (x)/ 极大值所以g (x) max= g (1) = - 1 < 0,故满足题意.当 a>0 时，令 g' ( x) =0,得 x= - 4 (舍)，或 x= 1 ；x, g' (x) , g (x)变化情况如下表：x(0, 1)1(1, +8)g' (x)+0-g (x)/ 极大值所以 g (x) max= g (1) = a - 1< 0,得 0v aw 1.当 a<0 时，存在 x=2-二>1,满足 g (2-) = In (2- ) >0,所以 f (x) < 0 a软软不能恒成立，所以 a&

33、lt;0不满足题意.综上，实数a的取值范围为0,1.20.已知椭圆C：的离心率为右焦点为F （c,a b2右顶点B在直线l : x= 2上.（I）求椭圆C的方程；（n）设点P是椭圆C上异于a B的点，直线AP交直线l于点D,当以BD为直径的圆与直线 PF的位置关系，并加以证明.解：（I）依题可知 B （a, 0） , a=2因为二一二一二，所以 c= 1,22故椭圆C的方程为一 二1.430）,左顶点为A,P运动时，判断（n）方法一：以 BD为直径的圆与直线 PF相切.证明如下：由题意可设直线 AP的方程为y=k （x+2） （kw。）则点D坐标为（2, 4k） , BD中点E的坐标为（2,

34、2k）,直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2） x2+16k2x+16k2- 12 = 0.设点P的坐标为（x0, y0）,则-2x0=±d_卢3+4 k 2所以xo =6-水3+4k212kyo=3.y3+4 k2因为点F坐标为（1,0）,当k=±£时，点P的坐标为（1,直线PF的方程为x= 1,D的坐标为（2,±2)此时以BD为直径的圆（x- 2） 2+ （y-1） 2=1与直线PF相切.1 汴 4k当 ±不时，则直线PF的斜率kPF=-=TT.2 xDl-l l-4k所以直线PF的方程为y=（x - 1）,即乂上立 j7Q .b4k4k

35、点E到直线PF的距离12-d= r2九一1+4后2 丁 12kl4k又因为| BD =2R= 4| k| ,故以BD为直径的圆与直线 PF相切.综上得，当直线 AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线 PF相切综上得，当点 P运动时，以BD为直径的圆与直线 PF相切.方法二：以BM直径的圆与直线 PF相切.证明如下：设点 P（X0, 10）,则当Xo=1时，点P的坐标为（1,直线PF的方程为x= 1,D的坐标为（2, ±2）.此时以BD为直径的圆（x- 2） 2+(y t )2=1与直线PF相切.当X丰1时直线AP的方程为yg点D的坐标为p（2,匕支0+2）,BD中点E的坐标为12.2yo工口十2y0直线PF的斜率为kpF=元口 -1故直线PF的方程为广？ G-1）,即打-1xy-1=0y 口所以点E到直线PF的距离12d=qT 乂 2九MH；九=I BE |故以BD为直径的圆与直线 PF相切.综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切.21.设有限数列 一 11m，定义集合M= ai+a|1 wi vj wn为数列A的伴随集合.（I）已知有限数列 P： -1, 0, 1, 2和数列Q：1, 3, 9, 27.分别写出P和Q的伴随集