常微分方程习题及解答_第1页
常微分方程习题及解答_第2页
常微分方程习题及解答_第3页
常微分方程习题及解答_第4页
常微分方程习题及解答_第5页
已阅读5页，还剩1页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、常微分方程习题及解答一、问答题：1 常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。2 举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为，然后将常数变易为的待

2、定函数，令，微分之，得到 ，将上述两式代入方程中，得到即 积分后得到进而得到方程的通解3高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：阶线性微分方程的初值问题其中是区间上的已知连续函数，是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题但是需要指出的是每一个阶线性微分方程可化为个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。4若常系数线性方程组和有相同的基本解矩阵， 则与有什么关系？答：设常系数方程组的基解为，的基解为，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知，则可得，为非奇异的常数矩阵。5写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：1.解：

3、方程可化为，当时，是伯努利方程。其中。令，方程可化为，则将代入上面的式子，可得或者也是方程的解。2解：令，则原方程可化为对求导，可得，则那么：或者当时，则当时，则，那么，可得，其中是任意常数。3.解：方法一：方程两端同时乘以，转化为欧拉方程。它的特征方程，特征根为0，0，1.方程的基本解组为故其通解为方法二：令，将方程转化为一阶线性方程，解之得。即有，积分得，再积分得其通解为4. 解：原方程可写成，方程的左边可写成则 积分可得， 那么 因为，所以，则 利用常数变易法可求得方程的解为： 5. 解：特征方程为可得特征值为。对应于特征值的特征向量为，对应于特征值的特征向量为，对应于特征值的特征向量为。令，可得方程组的基解为。三、证明题1给定方程，其中在上连续，设是上述方程的任一两个解，证明极限存在。证明：齐次方程的特征方程为解之得，。所以齐次方程的通解为因为是非齐次方程的两个解，有解的性质可得，是对应齐次方程的解，也就是说存在适当的常数使得=从而2证明：已知二阶非齐次方程对应齐次方程的一个非零解，则该方程可以求得通解。证明：对于二阶线性方程，经过变换，得到再作变换，即这是一个以为未知函数的一阶线性非齐次方程，容易求出它的通解为再积分 则该方程的解可表

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 中学教育

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论