专题椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展

1、专题7.12：椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展【问题提出】椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（ab0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？【探究拓展】探究1：在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F. 设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必

2、过x轴上的一定点（其坐标与m无关）解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即联立方程组，解得：，所以点T的坐标为（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、（方法1）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法2）若，则由及，得，此时直线MN的方

3、程为，过点D（1，0）若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）.探索解析几何问题中的两个技巧(1) 用“法”求直线方程已知两点坐标，求经过这两点的直线方程通常采取的方法是，或者“点斜式”，或者“两点式”其实采用下面介绍的“法”，运算将更加迅速简洁现介绍如下：若A（，），B（，），求直线AB的方程先将两个点的坐标上下对齐书写，假设最终求出的直线方程为AxByC0，则，这种方法既形象直观，又运算简洁，更重要的是避免了许多情况下，因为字母运算时需要分类讨论的繁琐大家不妨以“若A（2,1），B（3，1），求直线AB的方程”为例试试看.（2）巧

4、妙分解因式通常由直线方程与二次曲线方程联立方程组求交点坐标，这种运算是可怕的，尤其是含有大量字母运算时，但当直线与二次曲线有一个已知公共点时，则可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一个公共点的坐标下面以椭圆为例讲解这种运算技巧：若公共点为，椭圆方程为，设直线方程为，则由得，将代入上式得，显然有公因式，从而很方便地求出另一个交点坐标下面运用前面介绍的两个技巧解答2010江苏省高考数学第18题的第问先求点M的坐标：由 得将直线TA：代入上式得显然x30时，即为点A要求点M，则约去（x3）得代入直线TA：得点M的坐标为同理，可求出点N的坐标为用“法”写出直线MN的方程，并及时令y0得由于m0，化简

5、得，则x1即直线MN必过x轴上的定点（1，0）探究2：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2r2和直线l：xa（其中r和a均为常数，且0 < r < a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q（1）若r2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标解：（1）当r2，M(4，2)，则A1(2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x3y+2=0，解得直线MA2的方程：xy2=0，解得由两点式，得直线PQ方程为：2xy2=0另解：(1)当r2，M(4，2)，则A1(2，0)，

6、A2(2，0).直线MA1的方程：x3y+2=0，直线MA2的方程：x+y2=0，所以P、Q在曲线(x3y+2)( xy2)+t(x2+y24)=0上，当t=1时，2x2y2=0为直线PQ的方程. （2）证法一：由题设得A1(r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，直线MA1的方程是：y = (x+r)，直线MA1的方程是：y = (xr) 解得解得于是直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程为上式中令y = 0，得x，是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点证法二：由题设得A1(r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，直线MA1的方程是：y=(x+r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1)

7、直线MA2的方程是：y=(xr)；与圆C的交点Q设为Q(x2，y2) 则点P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在曲线(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr)=0上，化简得 (a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)0 又有P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2+y2r20t2×得 (a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2) t2( x2+y2r2)0，化简得：(a2r2)y2t(axr2) t2 y0所以直线PQ的方程为(a2r2)y2t(axr2)-t2 y0 在中令y = 0得 x = ，故直线PQ过定点变式：已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，.（1）求