高三数学一轮复习教案平面向量

1、高中数学讲座 高考中的平面向量问题龚天勇考纲解读§ 要掌握平面向量的概念与性质（共线、模、夹角、垂直等）；§ 在选择填空中要重视平面向量的几何运算,也要重视坐标运算（有时要自己建系）；要注意三角形的重心、垂心的向量判断；§ 在其它知识如解析几何中要注意平面向量的工具作用（如平行、垂直可转化向量的关系求解）。一、平面向量基本概念与性质：1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。零向量：长度为0的向量，记为，其方向是

2、任意的，与任意向量平行是零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。注意零向量与0的区别单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。注意：（1）、数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，（2）

3、、理解平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；相等向量经过平移后总可以重合，记为。两个向量相等的充要条件是对应坐标相等；即：。2向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+=。规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是始点重合，和向量是始点与两个已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是在向量“首尾相接”时，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就

4、表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。向量加上的相反向量叫做与的差，记作：作图法：当、有共同起点时，可以表示为从的终点指向的终点的向量；（3）实数与向量的积实数与向量的积是一

5、个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。5、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.6平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任

6、一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其起点、终点的相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：若，则；若，则；若=(x,y)，则=(x, y)；若，则。7两个向量的夹角 （1）定义：已知两个 非零 向量a和b,作 =a， =b，则AOB=叫做向量a与b的夹角. (2)范围： 向量夹角的范围是 ,a与b同向时， 夹角=0° ;a与b反向时，夹角= 180

7、6;(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°，则a与b垂直,记作 ab8、向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与的夹角；说明：当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°q180°。（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=·cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积（4）向量数量积的性质向量的模与

8、平方的关系：。乘法公式成立；平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。向量的夹角：cos=。当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：·O，平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 二、题型举例题型1：平面向量的概念例1给出下列命题：若|，则=；若

9、A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确； =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号

10、是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。例2、设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|·(2)若与a0平行，则=|·；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）A0B1C2D3解析：向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的

11、实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2：平面向量的坐标及运算例3已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC边上的高为AD，求。解析：设D(x,y)，则得；所以。例4已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。解析：设，则因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。即得，由点得，。得方程组，解之得。故直线与的交点的坐标为。题型3平面向量的性质例5平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求。解析：（1）由题意得，所以，得。（2），；（3）由题意得，得或。例6已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行， 平

12、行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为所以则（2），因为与平行，所以即得。此时，则，即此时向量与方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型4共线向量定理及平面向量基本定理例7平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）A3x+2y11=0 B（x1）2+（y2）2=5C2xy=0 Dx+2y5=0解法一：设，则。由得，于是，先消去，由得。再消去得，所以选取D。解法二：由平面向量共线定理，当，时，A、B、C共线。因此，点C的轨迹

13、为直线AB，由两点式直线方程得；即选D。点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。例8（06福建理，11）已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30°，设=m+n(m、nR)，则等于（ ）A B3 C D解析： B； 题型5数量积的概念例9判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数

14、乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零题型6向量的夹角例10、（1）ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC为正三角形易得3选B评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为（ ）A30°B60°C120°D1

15、50°解析：（2）；（3）由题意，且与的夹角为，所以，同理可得。而，设为与的夹角，则。（4）C；设所求两向量的夹角为即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握题型7向量的模例11（1）已知向量与的夹角为，则等于 A5B4C3D1（2）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |=A. B.2 C.4 D.12解析 由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×

16、;cos60°412解析：（1）B；（2）B点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。例12，（2010全国（2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于（A） （B） （C） （D）例12已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24x

17、y+25y ；将变形代入可得：y=±；再代回得：。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型8向量垂直、平行的判定例13已知，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算例14已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。 解析：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。题型9：平面向量在几何